จำนวนของประตูไบนารี่ที่จำเป็นในการคำนวณ AND และ OR ของบิตอินพุตพร้อมกัน

จำนวนประตูไบนารีที่น้อยที่สุดที่ต้องใช้ในการคำนวณ AND และ OR ของบิต $n$ อินพุตพร้อมกันคืออะไร จิ๊บจ๊อยบนปกเป็น2n-2ฉันเชื่อว่านี่เป็นสิ่งที่ดีที่สุด แต่จะพิสูจน์ได้อย่างไร เทคนิคการกำจัดเกทแบบมาตรฐานไม่ทำงานที่นี่เช่นกันโดยการกำหนดค่าคงที่ให้กับตัวแปรอินพุตใด ๆ ที่ทำให้หนึ่งในเอาท์พุตเล็กน้อย $2n-2$

ปัญหายังได้รับจากการฝึก 5.12 ในหนังสือ "ความซับซ้อนของฟังก์ชันบูลีน" โดย Ingo Wegener ในรูปแบบที่แตกต่างกันเล็กน้อย: "ให้โดยวิธีการกำจัดเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าขอบเขตที่ต่ำกว่าขนาดพยายามพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าให้ใหญ่ขึ้น " $f_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_n$ $n+\Omega(1)$

cc.complexity-theory lower-bounds circuit-complexity

— Alexander S. Kulikov
แหล่งที่มา

@ Ryan: คำถามไม่เกี่ยวกับ AND of OR แต่เกี่ยวกับ AND และ OR ฉันไม่ทราบคำตอบสำหรับคำถามของ Sasha

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi ฉันขอขอบคุณอย่างใดฉันจัดการแยกมันไม่ถูกต้อง เป็นมั่นเหมาะปัญหาขี้ปะติ๋ว - หนึ่งสามารถจินตนาการโดยใช้ชนิดอื่น ๆ ของประตูที่จะได้รับประโยชน์มากกว่า

2 n - 2

$2n-2$

— Ryan Williams

@Sasha คุณลองใช้ตัวแก้ SAT กับตัวอย่างเล็ก ๆ (เช่น

) เหมือนในเอกสารก่อนหน้านี้บ้างไหม?

n = 4

$n=4$

— Ryan Williams

@ Ryan ใช่แน่นอน สิ่งที่เรารู้ก็คือ

นี่คือฟังก์ชั่นจากหนังสือ (มันคือ

iff บิตอินพุต

เท่ากันทั้งหมด) นี้เติบโตเหมือน

และวงจรที่มีขนาด

นั้นง่ายต่อการสร้าง: คำนวณครั้งแรก

สำหรับทุก

C_{3} = 3

$C_3=3$

C_{4} = 5

$C_4=5$

C_{5} \leq 7

$C_5 \le 7$

1

$1$

n

$n$

2 n - 3

$2n-3$

2 n - 3

$2n-3$

x_{i} \equiv x_{i + 1}

$x_i \equiv x_{i+1}$

(

ประตู) แล้วคำนวณการรวมของพวกเขา (

ประตู)

i = 1, \dots, n - 1

$i=1,\dots,n-1$

(n - 1)

$(n-1)$

(n - 2)

$(n-2)$

— Alexander S. Kulikov

@Tsuyoshi: ผมคิดว่า

ประตูทำงานของ Sasha เป็นฟังก์ชั่นที่สองของคำถาม (

) ที่สามารถสร้างขึ้นด้วย

ประตู XNOR (ใช้กับ

) และ

และประตูที่ใช้กับ XNOR

2 n - 3

$2n-3$

f_{n} (x) = x_{1} \dots x_{n} \lor {\bar{x}}_{1} \dots {\bar{x}}_{n}

$f_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_n$

n - 1

$n-1$

x_{i}, x_{i + 1}

$x_i,x_{i+1}$

n - 2

$n-2$

— Marzio De Biasi

คำตอบ:

บทความของ Blum & Seysen นี้อาจมีประโยชน์:

N.Blum, M. Seysen ลักษณะของเครือข่ายทั้งหมดที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการคำนวณพร้อมกัน AND และ NOR Acta Inf 21: 171-181 (1984)

ฉันมีความคิดว่าสำหรับขอบเขตล่างสามารถรับใช้วิธีการของบลัม & Seysen แต่ดูเหมือนว่านี้ไม่ได้เป็นกรณีที่ $x_1\dots x_n\vee \bar{x}_1\dots\bar{x}_n$ $2n-c$

— Vladimir Lysikov
แหล่งที่มา

มีไฟล์ Blum และ Seysen สาธารณะรุ่น pdf หรือไม่

— Marzio De Biasi

@ วลาดิเมียร์ขอบคุณสำหรับการอ้างอิง! ฉันจะพยายามตรวจสอบว่าวิธีการของพวกเขามีผลบังคับใช้ในกรณีนี้เมื่อค้นหาบทความหรือไม่

— Alexander S. Kulikov

@ วลาดิเมียร์แล้วอีกครั้ง! ที่จริงแล้วบทความนี้มีคำตอบที่ตรงกับคำถามของฉันมากขึ้น: มันบอกว่าการคำนวณ AND และหรือพร้อมกันเราต้องการ

และวงจรใด ๆ ของขนาดนี้คำนวณและและหรือเป็นอิสระ (นี่น่าสนใจ!) นอกจากนี้ยังเป็นไม่ยากที่จะแสดงให้เห็นว่า

2 n - 2

$2n-2$

C (f_{n}) \geq C (A N D, O R) - c \geq 2 n - c^{'}

$C(f_n) \ge C(AND,OR)-c \ge 2n-c'$

— Alexander S. Kulikov

@Sasha ใช่ฉันพลาดการก่อสร้างที่เรียบง่ายนี้ เพื่อชี้แจงสิ่งในกระดาษและฟังก์ชั่นและไม่ได้รับการพิจารณาเพื่อให้ AND และ OR เราได้รับ

ขีด จำกัด ล่างโดยการเปลี่ยนหนึ่งประตูและ

---

2 n - 2

$2n-2$

x_{1} \dots x_{n} \lor {\bar{x}}_{1} \dots {\bar{x}}_{n}

$x_1\dots x_n\vee \bar{x}_1\dots \bar{x}_n$

2 n - 5

$2n-5$

— Vladimir Lysikov

เพียงแค่เตือนความจำ @SashaK หากคุณชอบคำตอบโปรด "ยอมรับ" โดยคลิกที่เครื่องหมายขีดใต้คะแนนการนับ

— Suresh Venkat

คำถามของคุณเกี่ยวข้องกับคำถามที่รู้จักกันดีเกี่ยวกับการคำนวณขั้นต่ำและสูงสุดของรายการพร้อมกันโดยใช้จำนวนการเปรียบเทียบขั้นต่ำ ในกรณีที่ว่าคำตอบคือ ⌋ $3\lfloor n/2 \rfloor$

อัลกอริทึมที่ชาญฉลาดที่พิสูจน์ขอบเขตที่ถูกแปลไปเป็นวงจร AND / OR ที่มีขอบเขตเท่ากันคุณจะได้รับเนื่องจากการเปรียบเทียบข้อใดข้อหนึ่งคำนวณทั้งขั้นต่ำและสูงสุด

อย่างไรก็ตามขอบเขตล่าง (ที่กำหนดโดยอาร์กิวเมนต์ของฝ่ายตรงข้าม) ดูเหมือนจะแปลอย่างน้อยในกรณีของวงจรโมโนโทน (เนื่องจากวงจร AND และ / หรือแปลเป็นอัลกอริธึมสูงสุด / นาที) นี้จะหมายความถึงความผูกพันที่ต่ำกว่าของ ⌋บางทีขอบเขตล่างที่แน่นสามารถทำได้โดยการวิเคราะห์ข้อโต้แย้ง $3\lfloor n/2 \rfloor$

ขอบเขตบนจะปรากฏใน "รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับอัลกอริธึม" ซึ่งคุณสามารถหาอาร์กิวเมนต์ง่าย ๆ ที่แสดงว่าวงจรเปรียบเทียบสูงสุด / นาทีนั้นถูกต้องถ้ามันทำงานกับอินพุตบูลีน (ใช้เกณฑ์ที่เหมาะสม) ขอบเขตที่ต่ำสามารถพบได้เช่นที่นี่

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

หมายเหตุในคำถามของ Sasha ฟังก์ชันบูลีน 2 บิตทั้งหมดสามารถใช้เพื่อสร้างวงจร

— Ryan Williams

ใช่มันไม่ชัดเจนว่าสามารถแปลขอบเขตล่างเป็นกรณีของฟังก์ชันไบนารีทั้งหมดได้อย่างไร

— Alexander S. Kulikov