SERF-reducibility และอัลกอริทึมแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

ฉันมีคำถามเกี่ยวกับ SERF-reducibility ของImpagliazzo, Paturi และ Zaneและอัลกอริทึมย่อย คำจำกัดความของ SERF-reducibility มีดังต่อไปนี้:

ถ้าสามารถลดค่าและมีอัลกอริทึมสำหรับสำหรับแต่ละดังนั้นจะมีอัลกอริทึมสำหรับสำหรับแต่ละ0 (พารามิเตอร์ความแข็งสำหรับปัญหาทั้งสองจะแสดงโดย ) $P_1$ $P_2$ $O(2^{\varepsilon n})$ $P_2$ $\varepsilon > 0$ $O(2^{\varepsilon n})$ $P_1$ $\varepsilon > 0$ $n$

แหล่งข้อมูลบางแหล่งดูเหมือนว่ามีสิ่งต่อไปนี้เช่นกัน

หากเป็นข้าแผ่นดิน-ออกซิเจนและมีอัลกอริทึมสำหรับแล้วมีอัลกอริทึมสำหรับP_1 $P_1$ $P_2$ $O(2^{o(n)})$ $A_2$ $O(2^{o(n)})$ $P_1$

คำถามของฉันคือข้อเรียกร้องหลังนี้มีอยู่จริงหรือไม่และถ้ามีมีการพิสูจน์หลักฐานบ้างไหม?

เป็นพื้นหลังฉันได้พยายามทำความเข้าใจกับพื้นที่รอบ ๆ สมมติฐานเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียล IPZ กำหนดปัญหา subexponential เป็นสิ่งที่มีอัลกอริธึมสำหรับแต่ละแต่สิ่งนี้เห็นได้ชัดว่าไม่เพียงพอในความรู้ในปัจจุบันที่จะบ่งบอกถึงการดำรงอยู่ของอัลกอริธึมพิเศษสำหรับปัญหา . ดูเหมือนว่าช่องว่างเดียวกันจะปรากฏในการลดขนาด SERF แต่ฉันคาดหวังว่าฉันจะพลาดบางสิ่งบางอย่างที่นี่ ... $O(2^{\varepsilon n})$ $\varepsilon > 0$

cc.complexity-theory reference-request

— Janne H. Korhonen
แหล่งที่มา

แก้ไข:ตามที่ Ryan ชี้ให้เห็นปัญหาอาจมีอัลกอริทึมแบบ nonuniform ซึ่งมีเวลาทำงานสำหรับค่าคงที่ใด ๆ (อัลกอริธึมเข้าถึง ) แต่ไม่มีเครื่องแบบอัลกอริธึมเวลา $O(2^{\epsilon n})$ $\epsilon > 0$ $\epsilon$ $2^{o(n)}$

เนื่องจาก SERF Reduction เป็นตระกูลของการลดลงของทัวริงหนึ่งสำหรับแต่ละฉันสรุปได้ว่าพวกมันสามารถใช้เพื่อรับอัลกอริธึมเวลาจากหรืออัลกอริธึมเวลา $\epsilon>0$ $O(2^{\epsilon n})$ $O(2^{\epsilon n})$ $2^{o(n)}$

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์โดยเฉินและคณะ [2009]

ทฤษฎีบท 2.4 ปล่อยให้เป็นฟังก์ชันที่ไม่เพิ่มและไม่มีขอบเขตและปล่อยให้เป็นปัญหาที่กำหนดพารามิเตอร์ จากนั้นข้อความต่อไปนี้จะเทียบเท่า: (1)สามารถแก้ไขได้ในเวลาสำหรับค่าคงที่ใด ๆโดยที่คือพหุนาม (2)สามารถแก้ไขได้ในเวลาโดยที่คือพหุนาม $f(k)$ $Q$
$Q$ $O(2^{\delta f(k)}p(n))$ $\delta > 0$ $p$
$Q$ $2^{o(f(k))} q(n)$ $q$

การรับเราได้รับว่าปัญหามีอัลกอริธึมเวลาสำหรับทุก ๆถ้าหากว่ามันมีอัลกอริธึมเวลา $f(k)=n$ $O(2^{\epsilon n})$ $\epsilon>0$ $2^{o(n)}$

มันถูกกล่าวถึงในกระดาษโดยเฉินและคณะ ความเท่าเทียมนี้เคยถูกใช้มาก่อน แต่มันทำให้เกิดความสับสนในหมู่นักวิจัย

— เสิร์จ Gaspers
แหล่งที่มา

เพียงทราบ: มีเงื่อนไขอื่น ๆ ที่จำเป็นต้องสันนิษฐานว่าหลักฐานของพวกเขาในการทำงาน สำหรับหนึ่งจะต้องคำนวณอย่างมีประสิทธิภาพ ประการที่สองจะต้องมีขั้นตอนวิธีการเครื่องแบบเดียวซึ่งประสบความสำเร็จในสำหรับแต่ละ (คิดเป็น input อื่นเพื่อ) เป็นไปได้ทั้งหมดที่ไม่มีเงื่อนไขเหล่านี้ปัญหาสามารถตอบสนอง (1) แต่ไม่ (2)

f

$f$

A

$A$

2^{δ f (k)}

$2^{\delta f(k)}$

δ

$\delta$

δ

$\delta$

A

$A$

— Ryan Williams

ขวา. นำทฤษฎีบท 2.4 ออกมาจากบริบทของทั้งสองเงื่อนไขเหล่านี้ได้หายไป ในกระดาษเชิงอรรถ 1 ให้เงื่อนไขกับและเงื่อนไขที่สองได้รับในหมายเหตุ 2

f

$f$

— Serge Gaspers

คำถามนี้เกี่ยวกับสิ่งนี้มากเลยทีเดียว! ขอบคุณมาก. ในฐานะที่เป็นคำพูดที่น่าสนใจในขณะที่ดูเหมือนว่าการลดลงของ SERF จะไม่รักษาอัลกอริทึมแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล แต่ดูเหมือนว่า Sparsification Lemma ของ IPZ ในความเป็นจริงนั้นแข็งแกร่งพอที่จะให้อัลกอริทึมถึง k -SAT หากมีอัลกอริทึม

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

2^{o (m)}

$2^{o(m)}$

— Janne H. Korhonen

บันทึกสุดท้ายในกรณีที่มีคนสะดุดในภายหลัง: เห็นได้ชัดว่าบางแหล่งใช้คำว่า "nonuniform" คำจำกัดความของเวลาเอ็กซ์โพแนนเชียล (สำหรับมีอัลกอริธึม) และคนอื่น ๆ คำจำกัดความ (มีอัลกอริธึม ) โดยเฉพาะ IPZ ใช้ตัวเก่า สำหรับหลังคุณต้องแก้ไขคำจำกัดความของการลดลงของ SERF เพื่อให้พารามิเตอร์ถูกกำหนดให้เป็นการลดลงเป็นอินพุต เปรียบเทียบกับทฤษฎีบทข้างต้นของ Chen และคณะ ดูรายละเอียดได้ที่บทที่ 16 ของทฤษฎีความซับซ้อนเชิงพารามิเตอร์ (Flameter and Grohe) (2006) โดย Flum และ Grohe

ε > 0

$\varepsilon > 0$

O (2^{ε n})

$O(2^{\varepsilon n})$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

ε

$\varepsilon$

— Janne H. Korhonen

ยังดูเหมือนว่า Flum และ Grohe ให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทในคำตอบในหนังสือของพวกเขา; ดูบทแทรก 16.1

— Janne H. Korhonen