แผนภาพ Voronoi ในกราฟ

ให้เป็นกราฟที่มีขอบถ่วงน้ำหนัก (บวก) ฉันต้องการที่จะกำหนดแผนภาพ Voronoi สำหรับชุดของโหนด / เว็บไซต์เพื่อเชื่อมโยงกับโหนด subgraph ของที่เกิดจากโหนดทั้งหมดอย่างเคร่งครัดใกล้ชิดกับกว่าไปยังโหนดอื่น ๆ ใน , วัด ความยาวของเส้นทางด้วยผลรวมของน้ำหนักบนส่วนโค้ง คือ 's ภูมิภาค Voronoi ตัวอย่างเช่นโหนดสีเขียวด้านล่างอยู่ใน $G$ $S$ $v \in S$ $R(v)$ $G$ $v$ $S$ $R(v)$ $v$ $R(v_1)$ และต่อมน้ำเหลืองที่อยู่ใน ) ฉันต้องการที่จะเข้าใจโครงสร้างของแผนภาพ Voronoi เมื่อเริ่มต้นไดอะแกรมของสองไซต์และมีลักษณะอย่างไรเช่นbisectorแบบ 2 ไซต์มีลักษณะอย่างไร (สีน้ำเงินในตัวอย่างด้านบน) ผมคิดว่าของเส้นแบ่งครึ่งเป็นส่วนประกอบของ ในGต่อไปนี้เป็นคำถามสองข้อ: $R(v_2)$
ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่
$v_1$ $v_2$ $B(v_1,v_2)$ $R(v_1) \cup R(v_2)$ $G$

ไตรมาสที่ 1 เส้นแบ่งระหว่างสองไซต์เชื่อมโยงกันในบางแง่มุมหรือไม่?

ไตรมาสที่ 2 คือนูนในแง่ที่ว่ามันมีเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างสองโหนดใน ? $R(v)$ $R(v)$

แน่นอนว่าสิ่งนี้ได้รับการศึกษามาก่อน ทุกคนสามารถให้การอ้างอิง / ตัวชี้? ขอบคุณ!

ภาคผนวกสำหรับความคิดเห็นของ Suresh:
ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

reference-request graph-theory cg.comp-geom

— Joseph O'Rourke
แหล่งที่มา

สำหรับไตรมาสที่ 1 คุณต้องใช้ความรู้สึกของใบหน้าใช่ไหม? ไม่เช่นนั้นเส้นแบ่งครึ่ง "จริง" จะอยู่ตรงกลางของขอบและแนะนำจุดยอดก่อนและหลังจุดนี้รับประกันว่าเส้นแบ่งครึ่งจะตัดการเชื่อมต่อ บางทีถ้าคุณสมมติว่ากราฟเป็นคอร์ดคุณสามารถพิสูจน์บางสิ่งได้ สำหรับ Q2: สิ่งนี้เป็นเท็จแม้สำหรับ geodesics ในรูปหลายเหลี่ยมที่มีรู (หรือภูมิประเทศ) ฉันเดาว่าคุณจะต้องสมมติว่ามีอะไรที่ค่อนข้างแรงบนกราฟเพื่อให้ได้คำตอบทั้งสองคำถาม

— Sariel Har-Peled

ขอบคุณ Sariel สำหรับข้อสังเกตเหล่านั้น ใช่ดูเหมือนว่าฉันหวังไว้มากเกินไปและบางทีในกราฟระดับพิเศษจะมีคุณสมบัติโครงสร้างที่ดี

— Joseph O'Rourke

อาบนโลกทรงกลมปกติเซลล์โวโรนอยไม่สามารถใหญ่กว่าซีกโลกได้ดังนั้นคุณไม่มีปัญหานี้ แต่ความคิดเห็นของฉันโดยทั่วไปก็เหมือนกับของซาเรียลในที่ที่คุณขอให้เซลล์นูนของโวโรโนอิในท่อร่วม riemannian ทั่วไปที่อาจเกิดขึ้นและนั่นไม่ควรเป็นจริง

— Suresh Venkat

S

$S$

S

$S$

K_{2, n}

$K_{2, n}$

ดังนั้นตอนนี้ฉันคิดว่าอาจมีคำถามที่น่าสนใจที่นี่ เกิดอะไรขึ้นถ้าตัวชี้วัดพื้นฐานเป็นท่อร่วม (ตามที่แนะนำโดย Suresh) ตอนนี้เราเชื่อมต่อสองจุดถ้าหากมีจุดที่สามอยู่ q จุดสองจุดนั้นเป็นเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดสองคน (คิดว่านี่เป็นคอมเพล็กซ์พยาน) การคาดเดาตามธรรมชาติจะเป็นไปได้ว่าหากท่อร่วมไอดีเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าจากนั้นก็สามารถเพิ่ม O (1) คะแนนเช่นว่า bisector เชื่อมต่อ อืม ...

— Sariel Har-Peled

Mehlhorn, K .: อัลกอริทึมการประมาณที่เร็วขึ้นสำหรับปัญหา Steiner ในกราฟ ตัวประมวลผลข้อมูล 27, 125–128 (1988)

Erwig, M .: ไดอะแกรมกราฟ Voronoi พร้อมแอปพลิเคชัน เครือข่าย 36 (3), 156–163 (2000)

ทั้งการอ้างอิงที่คัดลอกมาจาก

Matthew T. Dickerson, Michael T. Goodrich, Thomas D. Dickerson, Ying Daisy Zhuo: ไดอะแกรม Voronoi แบบไปกลับและความหนาแน่นเป็นสองเท่าในเครือข่ายทางภูมิศาสตร์ ธุรกรรมทางวิทยาศาสตร์การคำนวณ 14: 211-238 (2011)

— David Eppstein
แหล่งที่มา

สิ่งนี้จะต้องใช้การขุดบ้าง แต่เพียงผิวเผินดูเหมือนว่าจะไม่มีการระบุคุณสมบัติโครงสร้างของไดอะแกรมในเอกสารเหล่านี้ (อาจเป็นเพราะมีคุณสมบัติโน้ตน้อย!)

— Joseph O'Rourke

ดูเหมือนจะไม่ค่อยมีใครรู้จัก เรามีบทแทรกอีกหนึ่งหรือสองเรื่องในsommer.jp/voronoi.htm

— Christian Sommer