อัลกอริธึมการประมาณเวลาแบบพหุนามขั้นสูงสำหรับ MAX 3SAT

พีซีทฤษฎีบทรัฐว่าไม่มีอัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับ MAX 3SAT ที่จะหางานที่น่าพอใจคำสั่งของสูตร 3SAT พอใจเว้นแต่NPP = N $7/8+ \epsilon$$P = NP$

มีอัลกอริธึมเวลาพหุนามเล็กน้อยที่ตอบสนองของอนุประโยค ดังนั้นเราสามารถทำได้ดีกว่าถ้าเราอนุญาตอัลกอริทึมแบบพหุนาม อัตราส่วนการประมาณแบบใดที่เราสามารถทำได้ด้วยอัลกอริธึมกึ่งเวลาแบบโพลิโนเมียล ( ) หรือด้วยอัลกอริธึมเวลาแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลย่อย ( ) ฉันกำลังมองหาการอ้างอิงถึงอัลกอริทึมดังกล่าว7 / 8 + ε n O ( บันทึกn ) 2 o ( n $7/8$$7/8+ \epsilon$$n^{O(\log n)}$$2^{o(n)}$

หนึ่งสามารถรับ7/8ประมาณ MAX3SAT ที่ทำงานในเวลาโดยไม่มีปัญหามากเกินไป นี่คือความคิด แบ่งชุดของตัวแปรออกเป็นกลุ่มของตัวแปรแต่ละตัว สำหรับแต่ละกลุ่มลองทั้งหมดวิธีกำหนดตัวแปรในกลุ่ม สำหรับแต่ละสูตรที่ลดลงให้เรียกใช้ Karloff และ Zwick 8- การประมาณค่า เอาท์พุทการมอบหมายให้เป็นไปตามจำนวนสูงสุดของคำสั่งทั้งหมดจากการทดลองเหล่านี้2 O ( ε n ) O ( 1 / ε ) ε n 2 ε n 7 /$7/8+\varepsilon/8$$2^{O(\varepsilon n)}$$O(1/\varepsilon)$$\varepsilon n$$2^{\varepsilon n}$$7/8$

ประเด็นคือมีตัวแปรบล็อกบางอย่างที่การกำหนดที่ดีที่สุด (จำกัด เฉพาะบล็อกนั้น) เป็นไปตามที่ส่วนของจำนวนสูงสุดของอนุประโยคที่พอใจ คุณจะได้รับส่วนเพิ่มเติมที่ถูกต้องอย่างแน่นอนและคุณจะได้รับของส่วนที่เหลือของการใช้คาร์ลอฟและซวิค7 /$\varepsilon$$7/8$

เป็นคำถามที่น่าสนใจหากมีเวลาสำหรับการประมาณประเภทเดียวกัน มี "Linear PCP Conjecture" ที่สามารถลดขนาด 3SAT ในเวลาพหุนามเป็น MAX3SAT เช่น:$2^{O(\varepsilon^2 n)}$

• ถ้าอินสแตนซ์ 3SAT เป็นที่น่าพอใจอินสแตนซ์ MAX3SAT นั้นน่าพอใจอย่างสมบูรณ์
• ถ้าอินสแตนซ์ 3SAT ไม่เป็นที่น่าพอใจอินสแตนซ์ MAX3SAT ไม่ใช่ 7/8น่าพอใจและ$7/8+\varepsilon$
• การลดจะเพิ่มขนาดของสูตรโดยปัจจัยเท่านั้น$poly(1/\varepsilon)$

สมมติว่านี้เป็น Linear PCP การคาดคะเนเป็น -timeประมาณสำหรับทุกและจะนำมาซึ่งการที่ 3SAT อยู่ในเวลา สำหรับทั้งหมด (นี่คือจำนวนคำสั่ง ) การพิสูจน์จะใช้ Sparsification Lemma ของ Impagliazzo, Paturi และ Zane 7 / 8 + ε คε 2 ε n ε $2^{O(\varepsilon^c m)}$$7/8+\varepsilon$$c$$\varepsilon$$2^{\varepsilon n}$$\varepsilon$$m$

เพื่อพูดย้ำสิ่งที่ Ryan Williams เขียนในย่อหน้าสุดท้ายของเขา:

ทฤษฎีบท Moshkovitz-Raz แสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชั่นซึ่งถ้า Max-3Sat สามารถประดับในเวลาแล้วรุ่นการตัดสินใจของ 3SAT อยู่ในเวลา(n)} เป็นที่เชื่อกันโดยทั่วไปว่าสิ่งหลังเป็นไปไม่ได้ (นี่คือสมมุติฐานเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียล) ซึ่งในกรณีนี้อดีตก็เป็นไปไม่ได้เช่นกัน ในการทำให้มันไม่แม่นยำคุณไม่สามารถเอาชนะสำหรับ Max-3Sat ในสิ่งที่ดีกว่าเวลาเอ็กซ์โปเนนเชียลแบบเต็ม ( 7 / 8 + 1 / ( บันทึกบันทึกn ) 0.000001 ) T ( n ) 2 o ( n ) 7 /$T(n) = 2^{n^{1-o(1)}}$$(7/8 + 1/(\log \log n)^{.000001})$$T(n)$$2^{o(n)}$$7/8$