การค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดด้วยอัลกอริทึมของ Eppstein

ฉันพยายามที่จะหาว่ากราฟเส้นทาง$P(G)$ตามอัลกอริทึมของ Eppstein ในบทความนี้ทำงานอย่างไรและฉันสามารถสร้างเส้นทางที่สั้นที่สุด$k$จาก$s$ถึง$t$ด้วยการสร้างฮีปที่สอดคล้องกัน$H(G)$ได้อย่างไร

จนถึงตอนนี้:

$out(v)$มีขอบทั้งหมดออกจากจุดสุดยอด$v$ในกราฟ$G$ที่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของเส้นทางที่สั้นที่สุดในG$G$พวกเขาจะได้รับคำสั่งจากกอง "เสียเวลา" ที่เรียกว่า$\delta(e)$เมื่อใช้ขอบนี้แทนที่จะเป็นหนึ่งในเส้นทางที่สั้นที่สุด โดยใช้ Dijkstra ฉันหาเส้นทางที่สั้นที่สุดเพื่อทุกจุดสุดยอดจากเสื้อ$t$

ฉันสามารถคำนวณโดยการใช้ความยาวของขอบ + (ค่าของจุดสุดยอดหัว (ที่ขอบกำกับชี้) ที่ -. ค่าของยอดหาง (ที่ขอบกำกับจะเริ่มต้น) ถ้าเป็นมัน ไม่ได้อยู่ในเส้นทางที่สั้นที่สุดหากเป็น= 0มันอยู่ในเส้นทางที่สั้นที่สุด$> 0$$= 0$

ตอนนี้ผมสร้าง 2 นาทีกองโดย heapifying ชุดของขอบo ยูที( วี)ตามที่พวกเขาδ ( E )สำหรับการใด ๆวี∈ Vที่รากo U T r o o t ( v )มีลูกเพียงคนเดียว (= ทรีย่อย)$H_{out}(v)$$out(v)$$\delta(e)$$v \in V$$outroot(v)$

เพื่อที่จะสร้างผมแทรกo ยูทีR o o T ( โวลต์)ในH T ( n E x เสื้อT ( วี) )เริ่มต้นที่จุดสุดยอดมินัลตัน ทุกยอดสัมผัสอย่างใดขณะที่ใส่มันจะมีเครื่องหมาย*$H_T(v)$$outroot(v)$$H_T(next_T(v))$$t$$*$

ตอนนี้ฉันสามารถสร้างโดยการใส่ส่วนที่เหลือของH o ยูที ( W )ในH T ( วี ) จุดยอดทุกอันในH G ( v )ประกอบด้วยเด็ก2คนจากH T ( v )และ1จากH o u t ( w )หรือ0จากที่หนึ่งและที่2จากที่สองและเป็น 3 กอง$H_G(v)$$H_{out}(w)$$H_T(v)$$H_G(v)$$2$$H_T(v)$$1$$H_{out}(w)$$0$$2$

ด้วยฉันสามารถสร้าง DAG เรียกว่าD ( G )ที่มีจุดสุดยอดสำหรับแต่ละ*จุดสุดยอดที่มีตำหนิจากH T ( V )และสำหรับแต่ละจุดสุดยอดที่ไม่ใช่รากจากH o ยูที ( วี )$H_G(v)$$D(G)$$*$$H_T(v)$$H_{out}(v)$

รากของในD ( G )จะเรียกว่าเอช( วี)และพวกเขาจะเชื่อมต่อไปยังจุดที่พวกเขาอยู่ตามo ยูที( V )ด้วย "การทำแผนที่"$H_G(v)$$D(G)$$h(v)$$out(v)$

จนถึงตอนนี้ดีมาก

กระดาษกล่าวว่าฉันสามารถสร้างโดยการใส่รากR = R ( s )และการเชื่อมต่อนี้ไปยังเอช( s )โดยขอบ inital กับδ ( H ( s ) ) จุดยอดของD ( G )เหมือนกันในP ( G )แต่ไม่มีการถ่วงน้ำหนัก ขอบมีความยาว จากนั้นสำหรับแต่ละขอบชี้นำ( u , v ) ∈ D ( G $P(G)$$r = r(s)$$h(s)$$\delta(h(s))$$D(G)$$P(G)$$(u,v) \in D(G)$ขอบที่สอดคล้องกันในมีการสร้างและถ่วงน้ำหนักด้วยδ ( วี) - δ ( U ) พวกเขาเรียกว่า Heap Edges จากนั้นสำหรับแต่ละจุดยอดv ∈ P ( G )ซึ่งหมายถึงขอบที่ไม่ได้อยู่ในเส้นทางที่สั้นที่สุดที่เชื่อมต่อจุดยอดคู่กับuและw "ข้ามขอบ" ถูกสร้างขึ้นจากvถึงh ( w )ในP ( G ) ที่มีความยาวδ ( h ( $P(G)$$\delta(v) - \delta(u)$$v \in P(G)$$u$$w$$v$$h(w)$$P(G)$ ) จุดยอดทุกอันใน P ( G )มีระดับการออกสูงสุด 4สูงสุดเท่านั้น$\delta(h(w))$$P(G)$$4$

เส้นทาง 's เริ่มต้นจาก Rที่ควรจะเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งต่อหนึ่งระยะเวลาในการติดต่อระหว่าง s -เสื้อ -paths ในG$P(G)$$r$$s$$t$$G$

ในที่สุดกองใหม่สั่ง 4-Heap คือการสร้าง แต่ละจุดสุดยอดสอดคล้องกับเส้นทางในP ( G )ที่ฝังรากที่R พาเรนต์ของจุดสุดยอดใด ๆ มีขอบที่น้อยกว่าหนึ่ง น้ำหนักของจุดยอดคือความยาวของเส้นทางที่สอดคล้องกัน$H(G)$$P(G)$$r$

เพื่อหาสิ่งที่เส้นทางที่สั้นที่สุดที่ผมใช้ BFS เพื่อP ( G )และ "แปล" ผลการค้นหาเพื่อเส้นทางโดยใช้H ( G )$k$$P(G)$$H(G)$

น่าเสียดายที่ฉันไม่เข้าใจว่าฉันสามารถ "อ่าน" แล้ว "แปล" ผ่านH ( G )เพื่อรับเส้นทางที่สั้นที่สุด$P(G)$$H(G)$$k$

มันนานพอแล้วที่ฉันเขียนว่าตอนนี้การตีความของฉันเกี่ยวกับสิ่งที่อยู่ในนั้นอาจไม่ได้รับการบอกเล่ามากไปกว่าผู้อ่านคนอื่น ๆ แต่ถึงอย่างไร:

ฉันเชื่อว่าคำอธิบายที่คุณกำลังมองหาคือย่อหน้าสุดท้ายของการพิสูจน์เล็มม่า 5 โดยทั่วไปขอบบางส่วนใน P (G) ("ข้ามขอบ") สอดคล้องกับ sidetracks ใน G (นั่นคือขอบที่ แตกต่างจากแผนผังเส้นทางที่สั้นที่สุด) เส้นทางใน G เกิดจากการติดตามทรีทรีที่สั้นที่สุดไปยังจุดเริ่มต้นของซิดแทร็คแรกตามขอบซิดแทร็คตัวเองตามหลังทรีพา ธ ที่สั้นที่สุดอีกครั้งไปยังจุดเริ่มต้นของไซด์แทรคถัดไปเป็นต้น

Pseudocode สำหรับอัลกอริธึมของ Eppstein (และรุ่นขี้เกียจของผู้เขียน) มีให้ใน: VM Jiménez, A. Marzal, รุ่นขี้เกียจของอัลกอริทึมเส้นทางที่สั้นที่สุดของ Eppstein ใน: การประชุมเชิงปฏิบัติการระดับนานาชาติครั้งที่ 2 เกี่ยวกับขั้นตอนการทดลองและประสิทธิภาพ ใน: บันทึกการบรรยายในวิทยาการคอมพิวเตอร์, บทที่. 2647, Springer, 2003, pp. 179–190 https://pdfs.semanticscholar.org/3a31/5a14a2fc773d2d800186121905016de31705.pdf