การใช้วิธี GCT ของ Mulmuley-Sohoni นั้นยากเพียงใดในการแสดงการแยกความซับซ้อน * รู้จัก *

ในการโพสต์ของผู้เข้าพักนี้โดยJosh Grochowที่เว็บบล็อกที่ซับซ้อนเขารายงานเกี่ยวกับการประชุมเชิงปฏิบัติการเมื่อเร็ว ๆ นี้เพื่อรองรับ GCT ที่จัดขึ้นที่ Princeton ในเดือนกรกฎาคม ผู้เข้าร่วมประชุมหลายคนแย้งว่าเราควรใช้ GCT เพื่อโจมตีปัญหาที่ง่ายกว่า vs. N Pเพื่อสร้างสัญชาตญาณและดูว่าวิธีการนั้นมีศักยภาพหรือไม่$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

คำถามที่ดักฟังฉัน:

มันเป็นไปได้ที่จะใช้ GCT ที่จะแสดงให้เป็นที่รู้จักในการแยกเช่นหรือL ≠ P S P C E ?$\mathsf{P} \neq \mathsf{EXP}$$\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

ทำอะไรเช่น$\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

1. ไม่เข้าใจในบริบท GCT หรือ
2. เป็นเรื่องเล็กน้อยและไม่น่าสนใจอย่างเต็มที่ในกรอบ GCT หรือ
3. นำไปสู่การคาดเดาเช่นเดียวกับกับN P ?$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

คำตอบสั้น ๆ : อาจจะไม่ (1) ไม่แน่นอน (2) และอาจเป็น (3)

นี่คือสิ่งที่ฉันคิดเกี่ยวกับการออกไปและในขณะนี้ อันดับแรกในแง่หนึ่ง GCT มีจุดประสงค์เพื่อลดขอบเขตการใช้งานคอมพิวเตอร์แทนที่จะเป็นปัญหาในการตัดสินใจ แต่คำถามของคุณจะทำให้ความรู้สึกที่สมบูรณ์แบบสำหรับรุ่นระดับการทำงานของ , P , P S P C EและE X P$L$$P$$PSPACE$$EXP$

ประการที่สองการพิสูจน์เวอร์ชั่นบูลีน - คนที่เรารู้จักและชื่นชอบเช่น - อาจเป็นเรื่องยากอย่างเหลือเชื่อในแนวทาง GCT เนื่องจากต้องใช้ทฤษฎีการแทนแบบแยกส่วน (ทฤษฎีการแสดงแทนขอบเขต จำกัด เขตข้อมูล) ซึ่งไม่เข้าใจในบริบทใด ๆ $FP \neq FEXP$

แต่เป้าหมายที่เหมาะสมอาจจะมีการใช้ GCT ที่จะพิสูจน์อนาล็อกพีชคณิต P$FP \neq FEXP$

เพื่อให้ได้คำถามของคุณ: ฉันเชื่อว่าคำถามเหล่านี้สามารถจัดทำขึ้นในบริบทของ GCT แม้ว่ามันจะไม่ชัดเจนในทันที มากขึ้นหรือน้อยลงคุณต้องการฟังก์ชั่นที่สมบูรณ์แบบสำหรับชั้นเรียนและมีลักษณะสมมาตร โบนัสพิเศษหากทฤษฎีการเป็นตัวแทนที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชั่นนั้นง่ายต่อการเข้าใจ แต่หลังนี้มักจะค่อนข้างยาก

แม้ว่าคำถามจะถูกกำหนดในบริบทของ GCT ฉันก็ไม่รู้ว่ามันจะยากแค่ไหนที่จะใช้ GCT เพื่อพิสูจน์ (แอนะล็อกเชิงพีชคณิตของ) ฯลฯ การคาดเดาเชิงทฤษฎีที่จะเกิดขึ้นในบริบทเหล่านี้ จะมีรสชาติคล้ายกันมากกับสิ่งที่เกิดขึ้นในP vs N $FP \neq FEXP$$P$$NP$หรือดีเทอร์มิแนนต์ vs ใคร ๆ ก็หวังว่าหลักฐานอันคลาสสิกของผลลัพธ์การแยกเหล่านี้อาจให้แนวคิดว่าจะหา "สิ่งกีดขวาง" ที่เป็นตัวแทนในเชิงทฤษฎีที่จำเป็นสำหรับการพิสูจน์ GCT ได้อย่างไร อย่างไรก็ตามการพิสูจน์ของข้อความที่คุณพูดถึงคือทฤษฎีลำดับชั้นทั้งหมดที่อิงตามแนวทแยงมุมและฉันไม่เห็นว่า diagonalization จะทำให้คุณเข้าใจถึงทฤษฎีการแสดงที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันที่สมบูรณ์สำหรับ (เชิงพีชคณิตของ) พูด ในทางกลับกันฉันยังไม่ได้เห็นวิธีการกำหนดF E X Pในบริบทของ GCT ดังนั้นจึงเป็นเรื่องที่เร็วที่จะพูด$FEXP$$FEXP$

$2 \times 2$$\frac{3}{2}n^2 - 2$

$2 \times 2$$3 \times 3$$3 \times 3$$FP \neq FEXP$$P \neq NP$, whereas we know diagonalization does not.

There's a new paper on the arXiv by Joshua Grochow, which shows how to put several known lower bound techniques into the GCT framework and seems like it answers your question somewhat.

(This is mostly just a comment, but no one would notice a comment so I'm posting it as an answer.)

Unifying and generalizing known lower bounds via geometric complexity theory

Joshua A. Grochow

We show that most arithmetic circuit lower bounds and relations between lower bounds naturally fit into the representation-theoretic framework suggested by geometric complexity theory (GCT), including: the partial derivatives technique (Nisan-Wigderson), the results of Razborov and Smolensky on $AC^0[p]$, multilinear formula and circuit size lower bounds (Raz et al.), the degree bound (Strassen, Baur-Strassen), the connected components technique (Ben-Or), depth 3 arithmetic circuit lower bounds over finite fields (Grigoriev-Karpinski), lower bounds on permanent versus determinant (Mignon-Ressayre, Landsberg-Manivel-Ressayre), lower bounds on matrix multiplication (B\"{u}rgisser-Ikenmeyer) (these last two were already known to fit into GCT), the chasms at depth 3 and 4 (Gupta-Kayal-Kamath-Saptharishi; Agrawal-Vinay; Koiran), matrix rigidity (Valiant) and others. That is, the original proofs, with what is often just a little extra work, already provide representation-theoretic obstructions in the sense of GCT for their respective lower bounds. This enables us to expose a new viewpoint on GCT, whereby it is a natural unification and broad generalization of known results. It also shows that the framework of GCT is at least as powerful as known methods, and gives many new proofs-of-concept that GCT can indeed provide significant asymptotic lower bounds. This new viewpoint also opens up the possibility of fruitful two-way interactions between previous results and the new methods of GCT; we provide several concrete suggestions of such interactions. For example, the representation-theoretic viewpoint of GCT naturally provides new properties to consider in the search for new lower bounds.