การแก้ Superstring อย่างแน่นอน

สิ่งที่เป็นที่รู้จักกันเกี่ยวกับความซับซ้อนที่แน่นอนของปัญหา superstring ที่สั้นที่สุด? สามารถแก้ไขได้เร็วกว่า$O^*(2^n)$หรือไม่ มีอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีในการแก้ปัญหา superstring ที่สั้นที่สุดโดยไม่ลดลงถึง TSP หรือไม่?

UPD: $O^*(\cdot)$ยับยั้งปัจจัยพหุนาม

ปัญหา superstring ที่สั้นที่สุดคือปัญหาที่คำตอบคือสตริงที่สั้นที่สุดซึ่งมีแต่ละสตริงจากชุดของสตริงที่กำหนด คำถามนี้เกี่ยวกับการเพิ่มประสิทธิภาพการขยายตัวของปัญหา NP-hard ชื่อ Shortest Superstring (Garey and Johnson, p.228)

สมมติว่าสตริงมีพหุนามยาวเป็นแล้วใช่มีอย่างน้อย2 n - Ω ( $n$การแก้ปัญหาเวลา เหตุผลก็คือการลดที่รู้จักกันดีจากปัญหา superstring ทั่วไปที่สั้นที่สุดถึง ATSP ที่มีน้ำหนักจำนวนเต็มขนาดพหุนามซึ่งคุณสามารถแก้ไขได้โดยการประมาณพหุนามหากคุณสามารถนับรอบมิลโตเนียนในการเขียนด้วยลายมือหลายทิศทาง ปัญหาหลังมี2n-Ω($2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log n})}$การแก้ปัญหาเวลา Björklund 2012$2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log n})}$

ลดลงจาก ATSP มีน้ำหนักสำหรับคู่ของจุดแต่ละU , Vเพื่อมิลวงจรนับไปดังต่อไปนี้:$w_{uv}$$u,v$

สำหรับที่W ผลรวมเป็นขอบเขตบนของจำนวนเงินทั้งหมดของnน้ำหนักในกรณี ATSP การสร้างกราฟG Rที่คุณแทนที่แต่ละน้ำหนักW ยูวีกับR W U vโค้งจากมึงไปวี$r=1,2,\cdots,w_\mbox{sum}$$w_\mbox{sum}$$n$$G_r$$w_{uv}$$r^{w_{uv}}$$u$$v$

โดยการแก้นับรอบมิลสำหรับแต่ละคุณสามารถสร้างผ่านการแก้ไขพหุนามพหุนามΣ W รวม L = 0 L R Lกับลิตรเท่ากับจำนวนของทัวร์ TSP ในรูปแบบของกราฟเดิมของน้ำหนักลิตร ดังนั้นตำแหน่งที่เล็กที่สุดลิตรเช่นว่าลิตรเป็นที่ไม่ใช่ศูนย์แก้ปัญหา$G_r$$\sum_{l=0}^{w_\mbox{sum}} a_lr^l$$a_l$$l$$l$$a_l$

ฉันได้ศึกษาปัญหาและพบผลลัพธ์บางอย่าง Shortest Common Superstring (SCS) สามารถแก้ไขได้ในเวลาด้วยพื้นที่พหุนามเท่านั้น ( Kohn, Gottlieb, Kohn ; Karp ; Bax, Franklin )$2^n$

ค่าประมาณที่รู้จักกันดีที่สุดคือ (Paluch)$2\frac{11}{30}$

การประมาณการบีบอัดที่รู้จักกันดีที่สุดคือ (Paluch)$3\over4$

หาก SCS สามารถประมาณค่าได้โดยปัจจัยมากกว่าตัวอักษรไบนารีก็สามารถประมาณค่าได้โดยปัจจัยαที่อยู่เหนือตัวอักษรใด ๆ ( Vassilevska-Williams )$\alpha$$\alpha$

SCS ไม่สามารถประมาณได้ด้วยอัตราส่วนที่ดีกว่าเว้นแต่ว่า P = NP ( Karpinski, Schmied )$1.0029$

การบีบอัดสูงสุดไม่สามารถประมาณได้ด้วยอัตราส่วนที่ดีกว่ายกเว้น P = NP ( Karpinski, Schmied )$1.0048$

ฉันจะขอบคุณสำหรับการเพิ่มเติมและข้อเสนอแนะใด ๆ

นี่เป็นปัญหา superstring สั้น: คุณจะได้รับสตริงs 1 , ... , s nบางตัวอักษรΣและคุณต้องการที่จะหาสตริงที่สั้นกว่าΣที่มีแต่ละs ฉันเป็น subsequence ของตัวละครต่อเนื่องเช่นสตริงย่อย$n$$s_1,\ldots, s_n$$\Sigma$$\Sigma$$s_i$

เมื่อเราพูดถึงอัลกอริธึมที่แน่นอนสำหรับปัญหาการค้นหาความยาวของ superstring ที่สั้นที่สุดเทียบเท่ากับการค้นหาการบีบอัดสูงสุดCซึ่งเป็นผลรวมของการซ้อนทับสตริงทั้งหมดที่อยู่ติดกันใน superstring สุดท้ายเช่นC = ∑ i | s i | $L$$C$ .$C=\sum_i |s_i|-L$

เท่าที่ฉันรู้อัลกอริทึมที่แน่นอนที่เร็วที่สุดสำหรับ superstring ที่สั้นที่สุดจะทำงานใน ( 2 n ) โดยที่nคือจำนวนสตริง นี่เป็นอัลกอริทึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกที่เรียบง่ายคล้ายกับอัลกอริทึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกสำหรับเส้นทางที่ยาวที่สุด (และปัญหาอื่น ๆ ):$O^*$$2^n$$n$

For each subset of strings $S$ and string $v$ in $S$ we compute the maximum compression over all superstrings over $S$ where $v$ is the first string appearing in the superstring, storing this as C(($v,S$)). We do this by first processing all subsets with only one element, and then building up the C(($v,S$)) values for subsets $S$ on $k$ strings from those on $k-1$ strings. Specifically:

For each string $u$ we look at all subsets $S'$ on $k-1$ strings that don't include $u$ and set the value for ($u,{u}\cup S'$) to the maximum over strings $v$ in $S'$ of the sum of the maximum overlap of $u$ with $v$ with C(($v,S'$)).

The final runtime is no more than O($n^2 2^n + n^2 l$) where $l$ is the maximum string length.

There are better algorithms if you assume that $l$ is small, or the pairwise overlaps are small, the alphabet size is small etc, but I am not aware of any algorithm that's faster than $2^n$.