ฉันต้องการอุปกรณ์ง่ายๆเพื่อพิสูจน์ Planar Hamiltonian Cycle NP-Complete (จาก Hamiltonian Cycle)

เป็นที่ทราบกันดีว่ารอบแฮมมิลโตเนียน (แฮมสำหรับระยะสั้น) นั้นสมบูรณ์แบบ NP และสมบูรณ์ที่ระนาบแฮมรอบนั้นเป็น NP-Complete การพิสูจน์สำหรับ Planar Ham Cycle ไม่ได้มาจาก Ham Cycle

มีแกดเจ็ตที่ดีที่จะให้กราฟ G แทนการข้ามทั้งหมดด้วยแกดเจ็ตภาพถ่ายบางอันเพื่อให้คุณมีกราฟภาพถ่าย G 'เช่นนั้น

G มีวัฏจักรของแฮมถ้าหาก G 'มีวัฏจักรของแฮม

(ฉันจะมีความสุขกับสายพันธุ์ - เช่นเส้นทางแฮมหรือรอบแฮมหรือเส้นทางแฮมกำกับ)

— Bill GASARCH
แหล่งที่มา

การสังเกตเล็กน้อย สมมติว่าคุณฝัง

G

$G$ และ edge

(x, y)

$(x,y)$ และ

(u, v)

$(u,v)$ cross, โดยที่

x, v, y, u

$x,v,y,u$ ปรากฏตามเข็มนาฬิการอบจุดข้าม แทนที่ด้วยแกดเจ็ต

P_{x v y u}

$P_{xvyu}$ ที่มีจุดเข้าสี่จุด

x^{'}, v^{'}, y^{'}, u^{'}

$x',v',y',u'$ สอดคล้องกับ

x, v, y, u

$x,v,y,u$ ยู

ถ้าวงรอบ hamiltonian ใน

G

$G$ ใช้ขอบทั้งสอง

(x, y)

$(x,y)$ และ

(u, v)

$(u,v)$ จากนั้นใน

G^{'}

$G'$ รอบที่สอดคล้องกันจะต้องข้ามตัวเอง หลักสูตรนี้จะถือว่าการตีความที่ไร้เดียงสาที่สุดของสิ่งที่ `` แกดเจ็ต" และยังว่าวงจร Hamiltonian ใน

G^{'}

$G'$ ความต้องการที่จะปฏิบัติตามขอบเดียวกับวงจรที่สอดคล้องกันใน

G

$G$ .

— มาเรคโครบัค

แฮมไซเคิลคืออะไร โปรดอย่าสันนิษฐานว่าทุกคนเข้าใจตัวย่อของคุณ

— Tsuyoshi Ito

@MarekChrobak: ฉันเห็นด้วยกับคำพูดของคุณ คุณให้สองวิธีในการหลบหนีการโต้แย้งของคุณ ผมคิดว่ามากที่สุดคนหนึ่งของธรรมชาติเป็นคนที่สอง: มีมิลวงจร

ใน

IFF มีอยู่มิลรอบ

x \to y \to \dots \to u \to v \to \dots \to x

$x\to y\to\dotsb\to u\to v\to\dotsb\to x$

G

$G$

x \to x^{'} \to \dots \to u^{'} \to u \to \dots \to y \to y^{'} \to \dots \to v^{'} \to v \to \dots \to x

$x\to x'\to\dotsb \to u'\to u\to\dotsb\to y\to y'\to\dotsb\to v'\to v\to\dotsb\to x$

— Bruno

@Tsuyoshi: มันหมายถึงวงจร Hamiltonian ฉันคิดว่ามันสมเหตุสมผลที่จะสมมติว่าทุกคนสามารถเข้าใจได้

— domotorp

@ บิล: ฉันสงสัยว่าทำไมคุณถึงคิดว่าแกดเจ็ตดังกล่าวควรมีอยู่จริง จำนวนการข้ามเมื่อรวมกราฟโดยพลการลงในระนาบสามารถมีขนาดใหญ่มาก (

สำหรับกราฟที่สมบูรณ์ - ดูข้ามบทแทรก) ดังนั้นถ้าคุณเริ่มต้นด้วยกราฟที่มี

ขอบและขอบจำนวนมาก (พูดอยู่ใกล้กับกำลังสอง) แล้วรูปแบบของกราฟฝังตัวอยู่กับนํ้าเพิ่มเป็นจุดที่มีโครงสร้างที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง ...

Θ (n^{4})

$\Theta(n^4)$

n

$n$

— Sariel Har-Peled

ไม่อย่างน้อยไม่มีแกดเจ็ต "ดี" สำหรับครอสโอเวอร์หนึ่งครั้ง

ให้และเป็นรูปกากบาทที่เราต้องการแทนที่ $(a, b)$ $(x,y)$ enter image description here

มีหลายกรณีสำหรับกราฟเรา แต่เราต้องตอบสนองอย่างน้อยสี่ข้อต่อไปนี้ กรณีที่ 1: มีรอบ hamiltonian อย่างน้อยหนึ่งรอบ แต่ไม่มีการใช้ขอบอย่างใดอย่างหนึ่ง กรณีที่ 2: มีอย่างน้อยหนึ่งรอบและรอบทั้งหมดใช้หนึ่งในสองขอบ กรณีที่ 3: มีอย่างน้อยหนึ่งรอบและรอบทั้งหมดใช้ขอบทั้งสอง กรณีที่ 4: ไม่มีวงจร hamiltonian $G$

ถ้าแกดเจ็ตของเรามีสอง (หรือมากกว่า) จุดสำหรับแต่ละที่อยู่ติดกับเพื่อนบ้านเดียวกัน (เพื่อให้และรักษาเพื่อนบ้าน) แล้วจะไม่จำเป็นต้องยังคงเป็นระนาบ เพื่อให้เป็นไปตามกรณีแรกของเราด้านบนเราจึงไม่สามารถมีจุดยอดใหม่ในแกดเจ็ต $a, b, x, y$ $a_0$ $a_1$ $a$ $G'$

เพื่อให้เป็นไปตามกรณีที่ 3 ด้านบนเราต้องมีขอบอย่างน้อยสองเส้นในอุปกรณ์ ทั้งภาพถ่ายและปกคู่หรือตรงกับกรณีที่ 2 ดังนั้นเราจึงต้องการขอบที่สาม โดยไม่สูญเสียของทั่วไปให้ทั้งสาม BE ) $(a, x), (y, b)$ $(a, y), (x, b)$ $(a, y), (y, b), (x,b)$

อย่างไรก็ตามการแทนที่นั้นแบ่งคดีที่สี่เนื่องจากอาจมีวงจรของแฮมิลตันเมื่อไม่ได้ ยกตัวอย่างเช่นโดยที่และ $G'$ $G$ $G = (V, E)$ $V = \{a, b, x, y, p, q, r, s, t\},$ } ไม่ใช่ภาพถ่ายและไม่มีวัฏจักร hamiltonian $E = \{(a, b), (x, y), (a, r), (a, p), (a, q), (b, s), (b, x), (p, s), (p, t), (p, y), (q, x), (r, y), (t, x)\}$ $G$ enter image description here

จากนั้นโดยที่ $G' = (V, E')$ $E' = \{(a, y), (y, b), (x, b)\} \cup$ } คือภาพถ่ายและมีวัฏจักร hamiltonian ( $\{(x, y), (a, r), (a, p), (a, q), (b, s), (p, s), (p, t), (p, y), (q, x), (r, y), (t, x)\}$ $G'$ ) $a, q, x, t, p, s, b, y, r, a$

โปรดทราบว่าหากเป็นขอบไม่ได้เพิ่มเข้ามาแทนที่ดังนั้นจะไม่มีวัฏจักร hamiltonian ดูเหมือนว่าคุณต้องมีความรู้เกี่ยวกับวงจรที่เป็นไปได้ในการเลือกขอบอย่างถูกต้อง $(b, y)$ $(a, x)$ $G'$

ปัญหาที่คล้ายกันอยู่สำหรับการมีแกดเจ็ตรวมถึงหนึ่งในขอบเส้นทแยงมุมเช่น: ) $(a, b), (a, y), (x, b)$

เนื่องจากการเพิ่มสามขอบจะแบ่งกรณีที่ 4 การเพิ่มจะไม่ช่วย

ดังนั้นจึงไม่มีแกดเจ็ต "ดี" อาจเป็นไปได้ว่ามีแกดเจ็ตที่ให้ความสำคัญกับเพื่อนบ้านของและแต่ก็ดูไม่ดีนัก $a, b, x$ $y$

(หมายเหตุ: โปรดแจ้งให้เราทราบหากฉันทำผิดพลาดด้านบน!)

( ~~หมายเหตุ 2: ฉันมีตัวเลขที่ดี แต่ไม่สามารถโพสต์ได้โพส~~ ต์)

— ไคล์
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าคุณน่าจะสามารถโพสต์ตัวเลขได้ในตอนนี้

— Jukka Suomela