(ดังที่ได้กล่าวไว้ในความคิดเห็นวิธีการต่อไปนี้ใช้ไม่ได้วัตถุที่ได้มานั้นไม่ได้เป็นการนูนซึ่งจะอธิบายลักษณะของวัตถุ "รูปดาว" ด้วยระยะทางที่คาดไว้ต่ำสุด)
ฉันคิดว่าวัตถุที่เหมาะสมที่สุดคือการรวมกันของและลูกบอลบางส่วนอยู่ที่จุดกำเนิด นี่คือความคิดของฉัน ตามคำจำกัดความของคุณของ ,
ที่คือระยะทางจากจุดกำเนิดถึงพื้นผิวของตามทิศทางที่กำหนด ฉันใช้แทนที่จะ = เพราะฉันทำค่าคงที่บางส่วน ตอนนี้เราต้องการลดภายใต้ข้อ จำกัด ที่Kf(L)
f(L)∼∫Sd−1∫rL0xd(xd/xdL)dxrLvol(L)dxdS∼∫Sd−1r2Lvol(L)dS∼∫Sd−1r2LdS∫Sd−1rLdS=defg(L),
rLL∼g(L)rL≥rKไปในทิศทางใดก็ได้ โปรดสังเกตว่าถ้าบางทิศทางมีขนาดเล็กกว่าเราสามารถทำให้ใหญ่ขึ้นเล็กน้อยพูดเพิ่มมันด้วยเพื่อทำให้เล็กลง นั่นเป็นเพราะเราเพิ่มตัวแจงนับโดยน้อยกว่าปัจจัยของการเพิ่มตัวส่วน ดังนั้นเราจึงสามารถคิดทีละน้อย "การเปลี่ยนรูป" (โดยการเพิ่มออบเจ็กต์ซ้ำ ๆ เล็กน้อยและอัปเดต ) เพื่อทำให้มีขนาดเล็กลง ให้เป็นวัตถุนูนในที่สุด จากนั้นทุกจุดบน
rKg(K)/2ϵ≤g(K)/2−rKg(K)(rL+ϵ)2−r2L=ϵ(2rL+ϵ)g(K)Kg(⋅)g(⋅)K∗∂K∗∖∂Kอยู่ที่ระยะทางจากแหล่งกำเนิดเช่นเป็นสหภาพของและลูกมีรัศมี 2
g(K∗)/2K∗Kg(K∗)/2
แท้จริงพิจารณาวัตถุนูนอีกดังกล่าวว่า(K) จากนั้นมิฉะนั้นเราสามารถเพิ่มส่วนของภายในเพื่อทำให้เล็กลง ในทางกลับกันเพราะมิฉะนั้นด้วยความคิดเดียวกันเราสามารถย่อส่วนของนอกเพื่อทำให้เล็กลง ดังนั้นจึงมีทางออกที่ดีที่สุดที่ไม่เหมือนใครK′g(K′)=g(K)K∗⊆K′K′K∗g(K′)K′⊆K∗K′∖KK∗g(K′)