Body Convex พร้อม l2 norm ขั้นต่ำที่คาดไว้

พิจารณาร่างกายนูนศูนย์กลางที่กำเนิดและสมมาตร (เช่นถ้าแล้ว ) ฉันต้องการหาตัวนูนที่แตกต่างเช่นและการวัดต่อไปนี้จะลดลง:$K$$x\in K$$-x\in K$$L$$K\subseteq L$

$f(L)=\mathbb{E}(\sqrt{x^T \cdot x})$โดยที่คือจุดที่เลือกอย่างสุ่มจาก L$x$

ฉันโอเคกับการประมาณปัจจัยคงที่กับการวัด

บางบันทึกย่อ - การเดาที่เข้าใจง่ายเป็นครั้งแรกว่านั้นเป็นคำตอบที่ผิด ยกตัวอย่างเช่นคิดว่าเป็นกระบอกสูบบาง ๆ ในมิติที่สูงมาก จากนั้นเราจะได้ซึ่งโดยให้มีระดับเสียงใกล้เคียงกับจุดกำเนิดมากขึ้น$K$$K$$L$$f(L)<f(K)$$L$

หากเรา จำกัดและเป็นรูปวงรีทั้งคู่ดังนั้นปัญหาของคุณสามารถแก้ไขได้อย่างแม่นยำด้วย SDP ฉันรู้ว่านี่ไม่ใช่สิ่งที่คุณถามตอนแรก แต่ดูเหมือนว่าเราไม่มีวิธีแก้ปัญหาสำหรับกรณีที่ถูก จำกัด นี้และอาจช่วยได้โดยทั่วไป$K$$L$

ดังนั้นสมมติว่าเป็นทรงรีอินพุทและเรากำลังมองหาที่ดีที่สุดล้อมรอบรีJมีแผนที่เส้นตรง stและแผนที่ stโดยที่คือลูกบอลหน่วย แล้วTG) นอกจากนี้ที่เป็นร่างกายขั้วโลกของEทำเลที่สะดวกสบายและ\} มันตามมาว่า$E$$J$$F$$E = FB_2$$G$$J = GB_2$$B_2$$\mathbb{E}_{x \sim J}[\|x\|_2^2] = \frac{1}{n}\mathsf{Tr}(G^TG)$$E \subseteq J \Leftrightarrow J^\circ \subseteq E^\circ$$E^\circ$$E$$E^\circ = \{x: x^TF^TFx \leq 1\}$$J^\circ = \{x: x^TG^TGx \leq 1\}$$J^\circ \subseteq E^\circ$ (และดังนั้น ) ถ้าหากเป็นเมทริกซ์ semidefinite บวก$E \subseteq J$$G^TG - F^TF$

ดังนั้น SDP จึงถูกกำหนดโดย: เนื่องจากเมทริกซ์ PSD แบบสมมาตรหาเมทริกซ์ PSD แบบสมมาตร stคือ PSD และถูกย่อให้เล็กสุด สามารถพบได้โดยการแก้ SDP และแล้ว SVD จะให้แกนและแกนยาวของJ$M$$N$$N - M$$\mathsf{Tr}(N)$$N$$J$

(ดังที่ได้กล่าวไว้ในความคิดเห็นวิธีการต่อไปนี้ใช้ไม่ได้วัตถุที่ได้มานั้นไม่ได้เป็นการนูนซึ่งจะอธิบายลักษณะของวัตถุ "รูปดาว" ด้วยระยะทางที่คาดไว้ต่ำสุด)

ฉันคิดว่าวัตถุที่เหมาะสมที่สุดคือการรวมกันของและลูกบอลบางส่วนอยู่ที่จุดกำเนิด นี่คือความคิดของฉัน ตามคำจำกัดความของคุณของ , ที่คือระยะทางจากจุดกำเนิดถึงพื้นผิวของตามทิศทางที่กำหนด ฉันใช้แทนที่จะ = เพราะฉันทำค่าคงที่บางส่วน ตอนนี้เราต้องการลดภายใต้ข้อ จำกัด ที่$K$$f(L)$

$$f(L) \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \int_{0}^{r_L} x\frac{\mathrm{d}(x^d/x_L^d)}{\mathrm dx}\frac{r_L}{\mathrm{vol}(L)} \mathrm dx\mathrm dS \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \frac{r_L^2}{\mathrm{vol}(L)}dS \sim \frac{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L^2 dS}{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L dS} \stackrel{\mathrm{def}}{=} g(L),$$ $r_L$$L$$\sim$$g(L)$$r_L \ge r_K$ไปในทิศทางใดก็ได้ โปรดสังเกตว่าถ้าบางทิศทางมีขนาดเล็กกว่าเราสามารถทำให้ใหญ่ขึ้นเล็กน้อยพูดเพิ่มมันด้วยเพื่อทำให้เล็กลง นั่นเป็นเพราะเราเพิ่มตัวแจงนับโดยน้อยกว่าปัจจัยของการเพิ่มตัวส่วน ดังนั้นเราจึงสามารถคิดทีละน้อย "การเปลี่ยนรูป" (โดยการเพิ่มออบเจ็กต์ซ้ำ ๆ เล็กน้อยและอัปเดต ) เพื่อทำให้มีขนาดเล็กลง ให้เป็นวัตถุนูนในที่สุด จากนั้นทุกจุดบน$r_K$$g(K)/2$$\epsilon \le g(K)/2 -r_K$$g(K)$$(r_L+\epsilon)^2 -r_L^2 = \epsilon(2r_L + \epsilon)$$g(K)$$K$$g(\cdot)$$g(\cdot)$$K^*$$\partial K^*\setminus \partial K$อยู่ที่ระยะทางจากแหล่งกำเนิดเช่นเป็นสหภาพของและลูกมีรัศมี 2$g(K^*)/2$$K^*$$K$$g(K^*)/2$

แท้จริงพิจารณาวัตถุนูนอีกดังกล่าวว่า(K) จากนั้นมิฉะนั้นเราสามารถเพิ่มส่วนของภายในเพื่อทำให้เล็กลง ในทางกลับกันเพราะมิฉะนั้นด้วยความคิดเดียวกันเราสามารถย่อส่วนของนอกเพื่อทำให้เล็กลง ดังนั้นจึงมีทางออกที่ดีที่สุดที่ไม่เหมือนใคร$K'$$g(K') = g(K)$$K^*\subseteq K'$$K'$$K^*$$g(K')$$K'\subseteq K^*$$K'\setminus K$$K^*$$g(K')$

วิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้มีพื้นฐานจาก assumpotion / การคาดคะเน [ที่จะพิสูจน์]:

การคาดคะเน : ความคาดหวังของฟังก์ชั่นนูนบนมีขนาดเล็กกว่าขนาดใหญ่ระหว่างความคาดหวังเกี่ยวกับและความคาดหวังเกี่ยวกับK'$\textrm{conv}(K\bigcup K')$$K$$K'$

[เราจะต้องการข้างต้นเฉพาะสำหรับนูน แต่อาจเป็นจริงโดยทั่วไป]$K,K'$

ใช้เวลาในขณะนี้ชุดใด ๆและใช้การหมุนมันแน่นิ่งอยู่บนต้นกำเนิดที่ได้รับ(K) คุณจะมี , เนื่องจากการหมุนจะทำให้ความยาวขององค์ประกอบของคงที่ ถ้าฉันถูกต้องเกี่ยวกับการคาดเดา,(K) เนื่องจากเหมาะสมที่สุดคุณสามารถพิจารณาโดยที่บ่งบอกถึงการรวมกันของการหมุนทั้งหมดและมี , ดูเหมือนว่าเหมาะสมที่สุดสามารถเลือกให้เป็นทรงกลมที่เล็กที่สุดที่มี$K$$R$$R(K)$$f(K)=f(R(K))$$K$$f(\textrm{conv}(K\bigcup R(K)))\leq f(K)$$L$$L'=\bigcup_R R(L)=\textrm{conv}(\bigcup_R R(L))$$\bigcup_R$$f(L)\geq f(L') \geq f(L)$$L$$K$.