Body Convex พร้อม l2 norm ขั้นต่ำที่คาดไว้


23

พิจารณาร่างกายนูนศูนย์กลางที่กำเนิดและสมมาตร (เช่นถ้าแล้ว ) ฉันต้องการหาตัวนูนที่แตกต่างเช่นและการวัดต่อไปนี้จะลดลง:KxKxKLKL

f(L)=E(xTx)โดยที่คือจุดที่เลือกอย่างสุ่มจาก Lx

ฉันโอเคกับการประมาณปัจจัยคงที่กับการวัด

บางบันทึกย่อ - การเดาที่เข้าใจง่ายเป็นครั้งแรกว่านั้นเป็นคำตอบที่ผิด ยกตัวอย่างเช่นคิดว่าเป็นกระบอกสูบบาง ๆ ในมิติที่สูงมาก จากนั้นเราจะได้ซึ่งโดยให้มีระดับเสียงใกล้เคียงกับจุดกำเนิดมากขึ้นKKLf(L)<f(K)L


สำหรับสิ่งที่ไม่มีค่ามันปัญหาดูยาก แม้ใน 3d จะไม่ชัดเจนว่าจะแก้ปัญหาได้อย่างไร
Sariel Har-Peled

เห็นได้ชัดว่าวิธีการทำใน 2d อย่างเหมาะสมที่สุด? แน่นอนใน 2d การประมาณปัจจัยคงที่นั้นไม่น่าสนใจ
Ashwinkumar BV

มันไม่ชัดเจนสำหรับฉัน การประมาณปัจจัยคงที่นั้นชัดเจนในทุกมิติโดยการประมาณรูปร่างด้วยรูปไข่ www.math.sc.edu/~howard/Notes/john.pdf ค่าคงที่จะขึ้นอยู่กับขนาด
Sariel Har-Peled

ฉันสนใจการประมาณค่าคงที่มากกว่าซึ่งค่าคงที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับมิติ
Ashwinkumar BV

1
เป็นธรรมชาติ แต่ขอผมเอามันกลับมา - แม้แต่กรณีทรงรีไม่ชัดเจน หากคุณต้องการโจมตีปัญหานี้นั่นจะเป็นรุ่นแรกที่จะตรวจสอบ โดยสังหรณ์ใจคุณต้องตัดสินใจว่าจะเพิกเฉยส่วนข้อมูลใดและส่วนขยายใด ดูเหมือนว่าวิธีแก้ปัญหาตามธรรมชาติคือเปลือกนูนของสหภาพของทรงรีที่มีทรงรีอีกอันซึ่งแกนของทรงรีใหม่นั้นมีค่าเท่ากับพารามิเตอร์ r หรือเท่ากับรีพัลด์อื่น ๆ
Sariel Har-Peled

คำตอบ:


1

หากเรา จำกัดและเป็นรูปวงรีทั้งคู่ดังนั้นปัญหาของคุณสามารถแก้ไขได้อย่างแม่นยำด้วย SDP ฉันรู้ว่านี่ไม่ใช่สิ่งที่คุณถามตอนแรก แต่ดูเหมือนว่าเราไม่มีวิธีแก้ปัญหาสำหรับกรณีที่ถูก จำกัด นี้และอาจช่วยได้โดยทั่วไปKL

ดังนั้นสมมติว่าเป็นทรงรีอินพุทและเรากำลังมองหาที่ดีที่สุดล้อมรอบรีJมีแผนที่เส้นตรง stและแผนที่ stโดยที่คือลูกบอลหน่วย แล้วTG) นอกจากนี้ที่เป็นร่างกายขั้วโลกของEทำเลที่สะดวกสบายและ\} มันตามมาว่าEJFE=FB2GJ=GB2B2ExJ[x22]=1nTr(GTG)EJJEEEE={x:xTFTFx1}J={x:xTGTGx1}JE (และดังนั้น ) ถ้าหากเป็นเมทริกซ์ semidefinite บวกEJGTGFTF

ดังนั้น SDP จึงถูกกำหนดโดย: เนื่องจากเมทริกซ์ PSD แบบสมมาตรหาเมทริกซ์ PSD แบบสมมาตร stคือ PSD และถูกย่อให้เล็กสุด สามารถพบได้โดยการแก้ SDP และแล้ว SVD จะให้แกนและแกนยาวของJMNNMTr(N)NJ


0

(ดังที่ได้กล่าวไว้ในความคิดเห็นวิธีการต่อไปนี้ใช้ไม่ได้วัตถุที่ได้มานั้นไม่ได้เป็นการนูนซึ่งจะอธิบายลักษณะของวัตถุ "รูปดาว" ด้วยระยะทางที่คาดไว้ต่ำสุด)

ฉันคิดว่าวัตถุที่เหมาะสมที่สุดคือการรวมกันของและลูกบอลบางส่วนอยู่ที่จุดกำเนิด นี่คือความคิดของฉัน ตามคำจำกัดความของคุณของ , ที่คือระยะทางจากจุดกำเนิดถึงพื้นผิวของตามทิศทางที่กำหนด ฉันใช้แทนที่จะ = เพราะฉันทำค่าคงที่บางส่วน ตอนนี้เราต้องการลดภายใต้ข้อ จำกัด ที่Kf(L)

f(L)Sd10rLxd(xd/xLd)dxrLvol(L)dxdSSd1rL2vol(L)dSSd1rL2dSSd1rLdS=defg(L),
rLLg(L)rLrKไปในทิศทางใดก็ได้ โปรดสังเกตว่าถ้าบางทิศทางมีขนาดเล็กกว่าเราสามารถทำให้ใหญ่ขึ้นเล็กน้อยพูดเพิ่มมันด้วยเพื่อทำให้เล็กลง นั่นเป็นเพราะเราเพิ่มตัวแจงนับโดยน้อยกว่าปัจจัยของการเพิ่มตัวส่วน ดังนั้นเราจึงสามารถคิดทีละน้อย "การเปลี่ยนรูป" (โดยการเพิ่มออบเจ็กต์ซ้ำ ๆ เล็กน้อยและอัปเดต ) เพื่อทำให้มีขนาดเล็กลง ให้เป็นวัตถุนูนในที่สุด จากนั้นทุกจุดบนrKg(K)/2ϵg(K)/2rKg(K)(rL+ϵ)2rL2=ϵ(2rL+ϵ)g(K)Kg()g()KKKอยู่ที่ระยะทางจากแหล่งกำเนิดเช่นเป็นสหภาพของและลูกมีรัศมี 2g(K)/2KKg(K)/2

แท้จริงพิจารณาวัตถุนูนอีกดังกล่าวว่า(K) จากนั้นมิฉะนั้นเราสามารถเพิ่มส่วนของภายในเพื่อทำให้เล็กลง ในทางกลับกันเพราะมิฉะนั้นด้วยความคิดเดียวกันเราสามารถย่อส่วนของนอกเพื่อทำให้เล็กลง ดังนั้นจึงมีทางออกที่ดีที่สุดที่ไม่เหมือนใครKg(K)=g(K)KKKKg(K)KKKKKg(K)


1
บางทีฉันหายไปบางอย่าง แต่ทำไมวัตถุจึงถูกสร้างขึ้นมาในลักษณะนี้นูน?
mjqxxxx

@mjqxxxx คุณพูดถูก ฉันจะพลาดได้อย่างไร ...
user7852

วิธีการเกี่ยวกับความคิดดังต่อไปนี้เป็นที่รู้จักกันดีว่าเป็นวัตถุนูนสามารถห้วงรีบางเช่นมีการรีดังกล่าวว่า\ แล้วใกล้เคียงกับมีอัตราส่วนประมาณdสำหรับการใด ๆที่มี ,E_L ดังนั้นถ้าเราสามารถหาที่เหมาะสมรีมีแล้ว(L) ผมไม่ทราบวิธีการคำนวณEแต่ฉันเดาว่าแกนของมันนั้นสอดคล้องกับแกนของและค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของEKEKKdEKf(dEK)f(K)dLKdEKdELEdEKf(E)d2f(L)EdEKdEKใต้ขีด จำกัด บางค่าจะถูกยกระดับเป็นเกณฑ์นั้น
user7852

ฉันเห็นด้วยว่าถ้า L ไม่ได้ จำกัด อยู่ที่ร่างกายนูนมันคือการรวมกันของ K และลูกบอล
Ashwinkumar BV

ความคิดในการใช้ทรงรีจะไม่ทำให้คุณคงที่ มันสามารถให้ที่ดีที่สุดประมาณ การคาดคะเนของฉันคือลำตัวนูนของมีรัศมีที่เหมาะสมคือการประมาณปัจจัยคงที่ ฉันไม่แน่ใจว่าจะพิสูจน์หรือหักล้างการคาดเดาได้อย่างไร dL
Ashwinkumar BV

0

วิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้มีพื้นฐานจาก assumpotion / การคาดคะเน [ที่จะพิสูจน์]:

การคาดคะเน : ความคาดหวังของฟังก์ชั่นนูนบนมีขนาดเล็กกว่าขนาดใหญ่ระหว่างความคาดหวังเกี่ยวกับและความคาดหวังเกี่ยวกับK'conv(KK)KK

[เราจะต้องการข้างต้นเฉพาะสำหรับนูน แต่อาจเป็นจริงโดยทั่วไป]K,K

ใช้เวลาในขณะนี้ชุดใด ๆและใช้การหมุนมันแน่นิ่งอยู่บนต้นกำเนิดที่ได้รับ(K) คุณจะมี , เนื่องจากการหมุนจะทำให้ความยาวขององค์ประกอบของคงที่ ถ้าฉันถูกต้องเกี่ยวกับการคาดเดา,(K) เนื่องจากเหมาะสมที่สุดคุณสามารถพิจารณาโดยที่บ่งบอกถึงการรวมกันของการหมุนทั้งหมดและมี , ดูเหมือนว่าเหมาะสมที่สุดสามารถเลือกให้เป็นทรงกลมที่เล็กที่สุดที่มีKRR(K)f(K)=f(R(K))Kf(conv(KR(K)))f(K)LL=RR(L)=conv(RR(L))Rf(L)f(L)f(L)LK.


มันจะเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าสำหรับความคาดหวังของฟังก์ชั่นนูน นั่นดูเหมือนง่าย Econv(A)EAEKKmax{EK,EK}
Marco

4
ฉันไม่แน่ใจว่าฉันจะได้รับคำตอบของคุณทั้งหมด แต่มันก็ไม่แน่นอนความจริงที่ว่า L สามารถเลือกที่จะเป็นทรงกลมขนาดเล็กที่สุดที่มีเคพิจารณารูปทรงกระบอกยาวบางในขนาดของความยาวเสื้อจากนั้นทรงกลมใดที่มีควรมีที แต่ถ้าคุณสร้างที่ U เป็นทรงกลมหรือรัศมีประมาณคุณจะได้รับประมาณวัน (โดยที่เป็นค่าคงที่)dtSKf(S)tL=conv(KU)c1t/df(L)c2t/dc1,c2
Ashwinkumar BV
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.