ตั้งค่าปัญหาการปรับให้เหมาะสม - เป็นแบบ np หรือไม่

ชุด $S=\{e_1,\cdots,e_n\}$ จะได้รับ สำหรับแต่ละองค์ประกอบ $e_i$ เรามีน้ำหนัก $w_i>0$ และค่าใช้จ่าย $c_i>0$ 0เป้าหมายคือการหาเซต $M$ ขนาด $k$ ที่เพิ่มฟังก์ชั่นมีวัตถุประสงค์ดังต่อไปนี้:

\underset{{อี}_{ผม} \in M}{Σ} W_{ผม} + \frac{\underset{{อี}_{ผม} \notin M}{Σ} W_{ผม} ค_{ผม}}{\underset{{อี}_{ผม} \notin M}{Σ} ค_{ผม}}

$\sum_{e_i\in M} w_i + \frac{\sum_{e_i\notin M} w_i c_i}{\sum_{e_i\notin M} c_i}$ ฉัน

ปัญหา NP-hard หรือไม่

เนื่องจากฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ดูเหมือนแปลก ๆ มันเป็นประโยชน์ในการอธิบายการประยุกต์ใช้ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์

สมมติว่าเรามี n รายการ $e_1$ เพื่อ $e_n$ และมี $c_i$ สำเนาของแต่ละวัตถุ $e_i$ ในสินค้าคงคลังของเรา เรามีลูกค้าบางคนและพวกเขามีความสนใจในวัตถุเหล่านี้ในสัดส่วนกับน้ำหนักของพวกเขา $w_i$ ซึ่งหมายถึงวัตถุที่มีมากขึ้น $w_i$ เป็นที่นิยมมาก เรามีระบบการขายออนไลน์และเราจำเป็นต้องตอบคำขอของลูกค้าอย่างถูกต้อง เราไม่สามารถจำแนกวัตถุตามรูปร่างของวัตถุ (พวกมันดูเหมือนกัน!) แต่เรามีลักษณนามเพื่อค้นหาพวกมัน ลักษณนามแต่ละตัวสามารถใช้สำหรับตรวจจับสำเนาของวัตถุ เรามุ่งมั่นที่จะรัน k ลักษณนามเพื่อเพิ่มความพึงพอใจของลูกค้า

$w_i c_i=p$ $i\leq n$

np-hardness optimization

— Nasooh
แหล่งที่มา

คำที่ถูกต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับน้ำหนักที่ใหญ่ที่สุดขององค์ประกอบที่ไม่ได้อยู่ใน M ดังนั้นหากคุณมีองค์ประกอบที่มีน้ำหนักมากจะดีกว่าที่จะใส่ไว้ใน M แทนที่จะปล่อยให้มันเสียเปล่า ดังนั้น M ควรประกอบด้วยองค์ประกอบที่มีน้ำหนักมากที่สุด k ขวา?

— zotachidil

มันไม่ถูกต้องเพราะค่าใช้จ่ายมีความสำคัญเช่นกัน ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

— Nasooh

w1 = 50, c1 = 80 - w2 = 40, c2 = 15 - w3 = 10, c3 = 5 สำหรับ k เท่ากับ 1 การเลือก e2 จะมีประโยชน์มากกว่า e1

— Nasooh

คุณถูก. อืม ...

— zotachidil

ขอบคุณที่พยายามอธิบายแรงจูงใจ น่าเสียดายที่การเชื่อมโยงระหว่างคำอธิบายของคุณกับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในคำถามนั้นยังไม่ชัดเจนสำหรับฉัน แต่ฉันคิดว่าฉันต้องพอใจกับคำอธิบายปัจจุบันเพื่อให้คำถามอยู่ในระยะเวลาที่เหมาะสม

— Tsuyoshi Ito

คำตอบ:

คำตอบด้านล่างนี้ตั้งข้อสังเกตว่ากรณีพิเศษของปัญหาสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม สิ่งนี้ไม่ได้ตอบคำถามอย่างครบถ้วนในโพสต์ แต่อาจให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับสิ่งที่อาจจำเป็นสำหรับการพิสูจน์ความแข็งของ NP และอาจกระตุ้นความสนใจเพิ่มเติมในโพสต์ ...

$c_i$ $n$ $D = \sum_i c_i$

$(S, w, c, K)$ $w,c\in\mathbb{R}_+^n$ $S=\{1,2,\ldots,n\}$ $M\subseteq S$ $K$ $\frac{\sum_{i\in M} w_i c_i}{\sum_{i\in M} c_i} - \sum_{i\in M} w_i$

$(d_1, d_2, k, m)$ $0\le d_1 \le d_2 \le D$ $0\le k \le K$ $k\le m\le n$

φ (d_{1}, d_{2}, k, ม.) = สูงสุด {\underset{ผม \in M}{Σ} W_{ผม} (ค_{ผม} / d_{1} - 1) : M \subseteq [ม.], | M | = k, \underset{ผม \in M}{Σ} ค_{ผม} = d_{2}} .

$\textstyle\phi(d_1, d_2, k, m) = \max \Big\{ \sum_{i\in M} w_i (c_i / d_1 - 1) ~:~ M \subseteq [m],\, |M| = k, \, \sum_{i\in M} c_i = d_2\Big\}.$

max_{d} ϕ (d, d, K, n)

$\max_d \phi(d, d, K, n)$

$\phi(d_1, d_2, k, m)$ $m$

φ (d_{1}, d_{2}, k, ม.) = สูงสุด {\begin{cases} φ (d_{1}, d_{2} - ค_{ม.}, k - 1, ม. - 1) + W_{ม.} (ค_{ม.} / d_{1} - 1) \\ φ (d_{1}, d_{2}, k, ม. - 1) . \end{cases}

$\textstyle\phi(d_1, d_2, k, m) = \max\begin{cases} \phi(d_1, d_2 - c_m, k-1,m-1) + w_m(c_m/d_1-1) \\ \phi(d_1, d_2, k, m-1). \end{cases}$

$O(n^2 D^2)$ $n$ $D$ $~~\Box$

$D$ $n$

$w_i$

$w_i=c_i$ $i$ $M$ $k$

— โอนีลยัง
แหล่งที่มา

w_{i} = c_{i}

$w_i=c_i$

(\sum_{i \neq j \notin M} w_{i} w_{j}) / (\sum_{i \notin M} w_{i})

$(\sum_{i\neq j\notin M}w_iw_j)/(\sum_{i\notin M} w_i)$

M

$M$

w_{i}

$w_i$

@ WillardZhan ใช่ว่าถูกต้อง

— Neal Young

-6

คุณกำลังถามถึงการเพิ่มฟังก์ชั่นให้มากที่สุดโดยไม่มีข้อ จำกัด หรือไม่?

มันง่ายจริงๆ หาก M เป็นชุดที่ใหญ่ที่สุดแสดงว่าเป็นทางออกที่ดีที่สุด ไม่จำเป็นต้องคำนวณอะไรเลย

ปัญหานี้ดูเหมือนจะคล้ายกับปัญหาเป้ซึ่งเป็นปัญหาโดยวิธี

— กิ
แหล่งที่มา

คำถามบอกว่า“ เซตย่อย M ที่มีขนาด k”

— Tsuyoshi Ito