ผลรวมโดยประมาณของรายการที่เรียงลำดับ

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันทำงานเกี่ยวกับปัญหาในการคำนวณหาผลรวมโดยประมาณของรายการของตัวเลขที่ไม่ต้องการลบ สำหรับ , รูปแบบการประมาณเวลาได้รับมาเพื่อที่จะให้ - การประมาณผลรวม บทความจะถูกโพสต์ที่http://arxiv.org/abs/1112.0520ซึ่งยังไม่สิ้นสุดO ( บันทึกn ) ( 1 + ϵ $\epsilon>0$$O(\log n)$$(1+\epsilon)$

ฉันกำลังมองหางานที่มีอยู่สำหรับปัญหานี้ แต่ฉันได้รับเพียงไม่กี่เอกสารที่เกี่ยวข้องจากระยะไกลและอ้างถึงพวกเขา เคยศึกษาปัญหานี้มาก่อนหรือไม่ หากมีคนรู้งานวิจัยที่มีอยู่เกี่ยวกับปัญหานี้โปรดแจ้งให้เราทราบ ฉันจะขอบคุณความช่วยเหลือและอัปเดตการอ้างอิงตามนั้น หากผลลัพธ์เก่ากระดาษจะถูกทิ้งลงในถังขยะ

ปัญหานี้จะแก้ไขได้ในกระดาษต่อไปนี้ที่ปัญหาทั่วไปมากขึ้นส่วนใหญ่จะ addressed: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/06/integrate/

หลังจากอ่านรายละเอียดการพิสูจน์ของกระดาษ CoresetของHar-Peledตอนนี้ฉันเข้าใจแล้วว่าวิธีการของเขาแสดงถึงอัลกอริธึมเวลา O (log n) สำหรับผลรวมโดยประมาณของตัวเลขที่ไม่ใช่ค่าลบ คอร์เซ็ตถูกสร้างขึ้นโดยเซตย่อยของตัวเลขในรายการที่เรียงลำดับและตำแหน่งของมันจะขึ้นอยู่กับขนาดรายการ n และอัตราส่วนการประมาณ epsilon เท่านั้น น้ำหนักของคะแนนทั้งหมดในแกนจะคำนวณได้ในเวลา O (บันทึก n) ดังนั้นจึงนำอัลกอริทึมเวลา O (log n) สำหรับผลรวมโดยประมาณของรายการที่เรียงลำดับแม้ว่าจะไม่ได้อ้างสิทธิ์อย่างชัดเจนในกระดาษ เนื่องจากอัลกอริทึมนั้นถูกซ่อนอยู่ในการพิสูจน์การสร้างแกนแทนการอ้างทฤษฎีบทที่อ้างถึงในกระดาษของ Har-Peled ฉันไม่เห็นข้อสรุปดังกล่าวทันทีหลังจากตรวจสอบผลลัพธ์ในกระดาษ

ฉันได้แก้ไขรายงานของฉันโดยการลบส่วนที่ 4 ซึ่งมีอัลกอริทึมเวลา O (บันทึก n) กระดาษของ Har-Peled ได้รับการอ้างอิงในเวอร์ชั่นที่ปรับปรุงแล้ว อัลกอริทึมแรกยังคงถูกเก็บไว้เนื่องจากมันมีความซับซ้อนที่ไม่มีใครเทียบได้กับเวลา O (log n) ตัวอย่างเช่นมันทำงานในเวลา O (log log n) เมื่อตัวเลขในรายการเรียงลำดับอินพุตอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง (log n) ^ {O (1)} อัลกอริทึมนั้นมาจากการค้นหาพื้นที่กำลังสองซึ่งแตกต่างอย่างมากจากการสร้างแกน เวลาที่ต่ำกว่าขอบเขตจะถูกเก็บไว้เช่นกัน แต่ได้รับการแก้ไขเล็กน้อย

ตอนนี้ฉันมีความคิดที่ดีเกี่ยวกับงานในบรรทัดนี้ ฉันขอขอบคุณความช่วยเหลืออย่างมืออาชีพจากเพื่อนร่วมงานด้านวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีที่เว็บไซต์นี้ซึ่งให้ข้อเสนอแนะที่ยอดเยี่ยม เอกสารที่แก้ไขแล้วของฉันจะมีอยู่ในไซต์เก็บถาวรเดียวกันในอีกไม่กี่วันข้างหน้า ฉันยินดีต้อนรับความคิดเห็นเพิ่มเติมเกี่ยวกับการอ้างอิงที่เกี่ยวข้องที่อาจพลาด

ถังฟู

$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

$\varepsilon > 0$$0\leq a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$

$\qquad a_n, \frac{a_n}{1+\varepsilon}, \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^2}, \dots , \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^k}$

$k \in \mathcal{O}\left(\frac{\log n}{\varepsilon}\right)$

$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

$\mathcal{O}(\log n)$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-(j+1)}$$\mathcal{O}((\log n)^2)$