มีปัญหาอะไรบ้างที่เรารู้ว่าเรามีอัลกอริธึมที่เหมาะสมที่สุด?

อะไรคือปัญหาที่ไม่สำคัญที่เรารู้ว่าอัลกอริธึมปัจจุบันที่เรามีคือปัญหาที่เหมาะสมที่สุด (สำหรับเครื่องทัวริง)

และนี่พิสูจน์ได้อย่างไร

อัลกอริทึมใด ๆ ที่ใช้เวลาเชิงเส้นและต้องอ่านอินพุตทั้งหมดจะต้องดีที่สุด เช่นเดียวกันกับความคิดเห็นของ Raphael อัลกอริทึมที่มีรันไทม์นั้นมีลำดับเดียวกันกับขนาดเอาต์พุตจะเหมาะสมที่สุด

หากการวัดความซับซ้อนที่คุณกำลังพิจารณาคือความซับซ้อนของแบบสอบถามเช่นจำนวนครั้งที่เครื่องต้องดูอินพุตเพื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะจากนั้นมีปัญหามากมายที่เรามีอัลกอริธึมที่เหมาะสมที่สุด เหตุผลของเรื่องนี้ก็คือว่าขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับความซับซ้อนแบบสอบถามจะง่ายต่อการบรรลุกว่าขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับเวลาหรือความซับซ้อนพื้นที่ขอบคุณเทคนิคที่นิยมรวมทั้งวิธีการของฝ่ายตรงข้าม

อย่างไรก็ตามข้อเสียคือการวัดความซับซ้อนนี้ใช้ในการประมวลผลข้อมูลควอนตัมเป็นอย่างมากเพราะมันเป็นวิธีที่ง่ายในการพิสูจน์ช่องว่างระหว่างควอนตัมและพลังการคำนวณแบบดั้งเดิม อัลกอริทึมควอนตัมที่ฉาวโฉ่ที่สุดในกรอบนี้เป็นอัลกอริทึมของโกรเวอร์ รับสตริงไบนารีที่มีอยู่คนเดียวที่ฉันเช่นว่า x ฉัน = nคุณจะต้องไปหาฉัน คลาสสิก (โดยไม่ต้องใช้คอมพิวเตอร์ควอนตัม) อัลกอริธึมเล็กน้อยที่สุดเหมาะสมที่สุด: คุณจำเป็นต้องค้นหาสตริงนี้โดยเฉลี่ย n / 2ครั้งโดยเฉลี่ยเพื่อค้นหา$x_1,\dots ,x_n$$i$$x_i=n$$i$$n/2$ผม Grover จัดทำอัลกอริทึมควอนตัมที่ทำเช่นนั้นใน O ( $i$เคียวรีกับสตริง สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเหมาะสมที่สุด$O(\sqrt n)$

• หากคุณยินดีที่จะเปลี่ยนรูปแบบของคุณขอบเขตของโครงสร้างข้อมูลค่อนข้างน้อย ดูขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับโครงสร้างข้อมูลสำหรับตัวชี้ไปยังการอ้างอิงที่ดีสำหรับขอบเขตที่ต่ำกว่าในโครงสร้างข้อมูล
• จากที่ถูกผูกไว้สำหรับการจัดเรียงในรูปแบบการเปรียบเทียบที่ว่าบางคนได้กล่าวถึงที่นี่คุณสามารถขอรับคล้ายถูกผูกไว้สำหรับปัญหาเปลือกนูนโดยพิจารณากรณีที่มีการป้อนข้อมูลประกอบด้วยจุดตามกราฟของ ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นในจตุภาคแรกของเครื่องบิน$\Omega(n log n)$

1. การเรียงลำดับการเปรียบเทียบโดยใช้ (การเรียงลำดับผสานกับชื่อหนึ่ง) นั้นเหมาะสมที่สุดการพิสูจน์เกี่ยวข้องกับการคำนวณความสูงของต้นไม้ที่มี n ! ใบไม้.$O (n \log n)$$n!$

2. สมมติว่าเกมที่ไม่เหมือนใคร Conjecture, Khot, Kindler, Mossel และ O'donnell แสดงให้เห็นว่ามันเป็น NP-complete สำหรับ Max-Cut โดยประมาณที่ดีกว่าอัลกอริทึมของ Goemans และ Williamson ดังนั้นในแง่ที่ว่า G&W เหมาะสมที่สุด (สมมติว่า )$P\neq NP$

3. อัลกอริทึมแบบกระจายบางอย่างสามารถแสดงให้เห็นว่าเหมาะสมที่สุดเมื่อเทียบกับเงื่อนไขบางอย่าง (เช่นสัดส่วนของตัวประมวลผลที่เป็นปฏิปักษ์) แต่เมื่อคุณพูดถึงเครื่องทัวริงฉันคิดว่านั่นไม่ใช่ตัวอย่างที่คุณกำลังมองหา

สมมติว่าคุณจะได้รับการป้อนข้อมูลและจะขอให้ตัดสินใจว่าเครื่อง RAM Mยุติการป้อนข้อมูลxหลังจากทีขั้นตอน ตามทฤษฎีลำดับชั้นของเวลาอัลกอริธึมที่เหมาะสมที่สุดในการตัดสินใจว่านี่คือการจำลองการประมวลผลของM ( x )สำหรับขั้นตอนtซึ่งสามารถทำได้ในเวลาO $w = \langle M, x, t \rangle$$M$$x$$t$$M(x)$$t$ )$O(t)$

(หมายเหตุ: สำหรับเครื่องจักรทัวริงการจำลองการประมวลผลใช้ขั้นตอนO ( t log t )เรารู้เพียงขอบเขตล่างของΩ ( t )ดังนั้นนี่จึงไม่ค่อยเหมาะสำหรับเครื่องทัวริงโดยเฉพาะ)$M$$O(t \log t)$$\Omega(t)$

มีปัญหาอื่น ๆ ซึ่งประกอบด้วยรุ่นของปัญหาการหยุดพักเป็นกรณีย่อย ยกตัวอย่างเช่นการตัดสินใจว่าประโยคเป็นผลมาจากการ WS1S ต้องใช้เวลา2 ↑ ↑ O ( | θ | )และนี่คือที่ดีที่สุด$\theta$$2 \uparrow \uparrow O(|\theta|)$

ฉันไม่แน่ใจว่าคุณหมายถึงอะไรโดย "ไม่สำคัญ" แต่เกี่ยวกับเรื่องนี้ } ภาษานี้ไม่ปกติจึง TM ใด ๆ การตัดสินใจจะต้องทำงานในΩ ( n log n ) อัลกอริธึมที่ง่าย (ข้าม 0 ทุก ๆ ค่า) นั้นเหมาะสม$L = \{0^{2^k} | k \geq 0\}$$\Omega(n \log n)$

หากคุณอนุญาตให้มีปัญหาโครงสร้างข้อมูลแบบไดนามิกเรารู้ว่าอัลกอริทึมที่เหมาะสมที่สุดสำหรับเวลาเชิงเส้น นี่อยู่ในโมเดลโพรบของเซลล์ซึ่งแข็งแรงพอ ๆ กับคำว่า RAM นั่นคือมันไม่ได้เป็นแบบ จำกัด เช่นต้นไม้ตัดสินใจพีชคณิต

ตัวอย่างหนึ่งคือการรักษาจำนวนเงินนำหน้าภายใต้การปรับปรุงแบบไดนามิก เราเริ่มต้นด้วยอาร์เรย์ของตัวเลขและเป้าหมายคือการรักษาโครงสร้างข้อมูลที่ช่วยให้การดำเนินการดังต่อไปนี้:$A[1], \ldots, A[n]$

• เพิ่มไปยังA [ i ] , กำหนดiและ$\Delta$$A[i]$$i$$\Delta$
• คำนวณผลรวมนำหน้า , รับ$\sum_{j = 1}^i{A[i]}$$i$

คุณสามารถสนับสนุนการดำเนินงานทั้งในเวลาที่มีโครงสร้างข้อมูลที่อยู่บนพื้นฐานของต้นไม้ไบนารีผลดีกับ[ ผม]ที่ใบ Patrascu และ Demaineแสดงให้เห็นว่านี้เป็นที่เหมาะสมสำหรับโครงสร้างข้อมูลใด ๆ ที่มีลำดับของnเพิ่มเติมและแบบสอบถามคำนำหน้าจำนวนเงินนั้นจะต้องใช้เวลาΩ ( n log n )เวลารวม$O(\log n)$$A[i]$$n$$\Omega(n\log n)$

อีกตัวอย่างหนึ่งคือUnion find : เริ่มจากพาร์ติชั่นเป็น singletons และเก็บโครงสร้างข้อมูลที่อนุญาตการดำเนินการสองอย่าง:$\{1, \ldots n\}$

• ยูเนี่ยน: ให้และj , แทนที่ส่วนที่มีiและส่วนที่มีjด้วยยูเนี่ยน$i$$j$$i$$j$
• ค้นหา: รับ , ส่งออกองค์ประกอบที่เป็นที่ยอมรับจากส่วนที่มี$i$$i$

Tarjanแสดงให้เห็นว่าคลาสสิก disjoint ตั้งโครงสร้างข้อมูลป่ากับสหภาพโดยการจัดอันดับและ heuristic การบีบอัดเส้นทางใช้เวลาต่อการดำเนินการโดยที่αเป็นฟังก์ชัน Ackermann ผกผัน Fredman และ Saksแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ดีที่สุด: สำหรับโครงสร้างข้อมูลใด ๆ มีลำดับของn union และค้นหาการดำเนินการที่ต้องใช้Ω ( n α ( n ) $O(\alpha(n))$$\alpha$$n$$\Omega(n\alpha(n))$เวลา

อัลกอริทึมการสตรีมจำนวนมากมีขอบเขตบนที่ตรงกับขอบเขตล่าง

อัลกอริธึมการค้นหาคล้ายกันสองอย่างที่ [ความเข้าใจของฉัน] เหมาะสมที่สุดตามข้อ จำกัด บางประการเกี่ยวกับการสั่งซื้อ / การกระจายอินพุต อย่างไรก็ตามการนำเสนอของอัลกอริทึมโดยทั่วไปจะไม่เน้นการเพิ่มประสิทธิภาพนี้

• ค้นหาส่วนสีทองเพื่อค้นหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ( ส่วนปลาย) ของฟังก์ชัน unimodal ถือว่าอินพุตเป็นฟังก์ชัน unimodal พบว่าในเวลาลอการิทึมโดยเฉลี่ย ในขณะที่ฉันจำได้ว่าอาจมีการพิสูจน์ถึงความเหมาะสมในโครงสร้างหนังสือและการตีความโปรแกรมคอมพิวเตอร์โดย abelson & sussman

• การค้นหาแบบไบนารี่ค้นหาจุดในเวลาลอการิทึมโดยเฉลี่ยในรายการที่เรียงลำดับ แต่ต้องป้อนข้อมูลเพื่อจัดเรียง

^{ฉันกำลังอ้างถึงวิกิพีเดียด้านบน แต่มันก็ไม่มีหลักฐานพิสูจน์ว่าเป็นสิ่งที่ดีที่สุดบางทีอาจมีบางแหล่งอ้างอิงอื่น ๆ ที่พิสูจน์ว่าผู้คนสามารถมองโลกในแง่ดีได้}

อัลกอริทึมเวลาเชิงเส้นย่อยจำนวนมากมีขอบเขตบนที่ตรงกับขอบเขตที่ต่ำกว่าของพวกเขา