ฟังก์ชั่นครบถ้วนของตรรกะ 3 ค่า

ในบริบทของการทำงานเมื่อเร็ว ๆนี้เราได้กำหนดภาษาโดยใช้ตรรกะสามค่าà la Kleene โดยที่หมายถึงจริงสำหรับเท็จและสำหรับข้อผิดพลาดหรือไม่ทราบ เพื่อแสดงให้เห็นว่าภาษาของเราแสดงออกเราต้องการพิสูจน์ว่าเราสามารถสร้างกลุ่มผู้ปฏิบัติงานได้อย่างสมบูรณ์ $1$ $0$ $\bot$

มันค่อนข้างยากที่จะค้นหาผลลัพธ์ที่มีอยู่ในวรรณคดี เราพบกระดาษหนึ่งเล่มที่เขียนในปี 1962 โดย Jobe ซึ่งระบุทฤษฎีบทต่อไปนี้:

Jobe 1962 Theorem Paper (การ จำกัด การเข้าถึง)

ตรรกะสามค่าแสดงอยู่เหนือชุดและกำหนดโดยโอเปอเรเตอร์และตามที่ระบุด้านล่างเสร็จสิ้นตามหน้าที่ $E$ $\{1, 2, 3\}$ $\bullet, E_1$ $E_2$

$\begin{array}{cccccc} ∙ & 3 & 2 & 1 & E_{1} & E_{2} \\ 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$ $\begin{array}{c|ccc|c|c} ~\bullet~ & ~3~ & ~2~ & ~1~ & ~E_1~ & ~E_2~ \\ \hline 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$

ในบทความของเราเราใช้ผลลัพธ์นี้โดยแสดงความสอดคล้องกันระหว่างตัวดำเนินการของเรากับสิ่งที่กำหนดโดย Jobe (พูดโดยคร่าวๆเราใช้การเชื่อมโยงที่แข็งแกร่งการปฏิเสธและตัวดำเนินการที่แปลงไม่รู้เป็นเท็จ)

ข้อกังวลหลักของฉันคือจริง ๆ แล้วฉันไม่สามารถเข้าใจหลักฐานการใช้งานที่สมบูรณ์ของ Jobe และเราไม่สามารถค้นหาผลลัพธ์อื่น (บวกหรือลบ) หลังจากวันที่นี้ซึ่งค่อนข้างน่าแปลกใจเล็กน้อย

ดังนั้นคำถามของฉันคือต่อไปนี้: มีผลลัพธ์ที่เป็นที่รู้จักมากขึ้นเกี่ยวกับความสมบูรณ์ของการทำงานของ logics ที่มีค่า 3 อันหรือไม่? ข้อมูลใด ๆ ในทิศทางนี้จะเป็นประโยชน์

reference-request lo.logic

— ชาร์ลส์
แหล่งที่มา

ฟิลด์องค์ประกอบเสร็จสมบูรณ์ตามหน้าที่ องค์ประกอบโพสต์พีชคณิตเสร็จสมบูรณ์ตามหน้าที่

3

$3$

3

$3$

— Emil Jeřábek

@ EmilJeřábekขอบคุณฉันเพิ่งอ่านเกี่ยวกับ Ternary Post Logic และดูเหมือนว่าจะสอดคล้องกัน (แม้ว่าฉันไม่สามารถหาได้มากในหัวข้อนี้เช่นกัน) คุณมีข้อมูลอ้างอิงเกี่ยวกับฟิลด์ 3 องค์ประกอบบ้างไหม Google ค่อนข้างคลุมเครือเกินไป

— ชาร์ลส์

ฉันไม่สามารถให้การอ้างอิงแก่คุณได้ แต่เป็นเรื่องง่าย: การแก้ไขมาตรฐาน (หลายตัวแปร) แสดงถึงว่าการดำเนินการใด ๆ บนฟิลด์ จำกัด สามารถแสดงได้ด้วยพหุนาม ยิ่งไปกว่านั้นถ้าเขตข้อมูลเป็นนายก (เช่นที่นี่) ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามจะถูกกำหนดโดยเงื่อนไขคงที่ ( ) ดังนั้นฟิลด์เฉพาะในภาษาจึงสมบูรณ์ตามหน้าที่

1 + 1 + \dots + 1

$1+1+\cdots+1$

{+, \cdot, 1}

$\{+,\cdot,1\}$

— Emil Jeřábek

บทที่ 5 และ 6 ของหนังสือ [ฟังก์ชัน algebras บนชุด จำกัด , Dietlinde Lau, 2006] มีการรักษาเชิงลึกของความสมบูรณ์ของการทำงานในตรรกะที่มีคุณค่ามากมาย (รวมถึงบทพิสูจน์) โดยสรุป: Rosenbergs [1965, 1970] การจำแนกลักษณะของโคลนนิ่งสูงสุด (หรือเรียกอีกอย่างว่าโคลนนิ่ง precomplete) ให้เกณฑ์สำหรับความสมบูรณ์ของการทำงานใน k-logical logic สำหรับ k ใด ๆ

สำหรับกรณีพิเศษของ 3 ค่าตรรกะเช่นลักษณะ (ประกอบด้วยสูงสุด 18 คลาส / precomplete) ได้รับโดย Jablonskij แล้วในปี 1954 ดังนั้นเพื่อตรวจสอบว่าชุดของตัวดำเนินการ "มูลค่า 3" ของคุณเสร็จสมบูรณ์ตามหน้าที่ ก็เพียงพอที่จะตรวจสอบว่าพวกเขาไม่ได้ตกอยู่ในชั้นเรียนที่สมบูรณ์ใด ๆ 18 คลาส

— Gustav Nordh
แหล่งที่มา