ขอบเขตการแลกเปลี่ยนสำหรับการนับช่วง Halfspace

10

อะไรคือขอบเขตที่ดีที่สุดในปัจจุบันสำหรับการดำเนินการค้นหาช่วงครึ่งสเปซบนชุดของจุด -dimensional ที่แสดงในรูปแบบของการแลกเปลี่ยนเวลา / พื้นที่ ตาม Matousek น้ำเชื้อ 1993 กระดาษ (ทฤษฎีบท 6.2 ขอบเขตการค้นหาที่มีประสิทธิภาพตามลำดับชั้นการปักชำ) เราสามารถทำนับช่วงสำหรับการค้นหาที่มีจุดตัดของ halfspaces สำหรับโดยใช้โครงสร้างข้อมูลขนาดสำหรับใน $d$ $p$ $1 \le p \le d+1$ $O(m)$ $n \le m \le n^d$ เวลา สำหรับนี้คือเวลา อย่างไรก็ตามการสำรวจของ Agarwal เกี่ยวกับการค้นหาระยะ (ตารางที่ 36.3.2) อ้างว่าขอบเขตคือ $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log^{p-(d-p+1)/d} \left(\frac{m}{n}\right)\right)$ $p=1$ $O(n/m^{1/d})$ )คำสั่งที่ถูกต้องของขอบเขตที่ถูกต้องคืออะไร? อีกวิธีหนึ่งฉันเข้าใจผิดอะไร ในที่สุดมีข้อความบันทึกที่ซ่อนอยู่เมื่อหรือไม่ $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log(\frac{m}{n})\right)$ $m=n^d$

reference-request ds.data-structures cg.comp-geom

— PKN
แหล่งที่มา

6

การ จำกัด เวลาที่แข็งแกร่งของMatoušekนั้นถูกต้อง

$O(n^d)$ $O(n^d/\operatorname{polylog} n)$ —gives รูปแบบของการแลกเปลี่ยนพื้นที่เวลาของมาโต้เซก (อันที่จริงเคล็ดลับทางอ้อมเป็นเพียงการใช้งานอย่างระมัดระวังของเครื่องจักรแลกเปลี่ยนมาตรฐาน)

— Jeffε
แหล่งที่มา

เพียงเพื่อให้ชัดเจน: ทฤษฎีบท 6.2 ในกระดาษของ Matousek อ้างว่าการนับ halfspace สามารถทำได้ในพื้นที่

,

O (m)

$O(m)$

O (n / m^{1 / d})

$O(n/m^{1/d})$

m = n^{d}

$m = n^d$

O (1)

$O(1)$

O (l o g (m / n))

$O(log (m/n))$

— pkn

อ่าฉันเข้าใจแล้ว ใช่มีข้อผิดพลาด; ขอบเขตบน

ในงบทฤษฎีบทหลวมเกินไป การพิสูจน์ต้องใช้

m \leq n^{d}

$m \le n^d$

m = O (n^{d} / \log^{d - p + 1} n)

$m = O(n^d / \log^{d-p+1} n)$

r

$r$

1

$1$

2

มีการพูดคุยสั้น ๆ เกี่ยวกับผลลัพธ์ในช่วงครึ่งอวกาศที่ค้นหาเหนือตารางที่ 36.3.2 ในแบบสำรวจของ Agarwalและอีกส่วนใน 4.3 ของแบบสำรวจนี้ อดีตดูเหมือนจะไม่ให้รายละเอียดมากมายเกินกว่า "การแลกเปลี่ยนพื้นที่ / แบบสอบถามเวลาสำหรับการค้นหาช่วง simplex สามารถทำได้โดยการรวมโครงสร้างข้อมูลเชิงเส้นขนาดเชิงเส้นและลอการิทึม" แต่หลังดูเหมือนจะให้ค่อนข้างน้อย รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแลกเปลี่ยนพื้นที่ / เวลาสอบถาม ฉันขอแนะนำให้ดูที่หัวข้อ 4.3, Theorem 7, Corollary 8 และหลักฐานของพวกเขา ฉันไม่ได้อ่านรายละเอียดเพียงพอเพื่อที่จะทราบว่าตอบคำถามของคุณได้อย่างเต็มที่หรือไม่ แต่เป็นจุดเริ่มต้นที่ดี

— โจ
แหล่งที่มา