อะไรคือเหตุผลที่ "จริง" ที่ IP = PSPACE ไม่เกี่ยวข้อง?

IP = PSPACE ถูกแสดงรายการเป็นตัวอย่างที่ยอมรับได้ของผลลัพธ์ที่ไม่เกี่ยวข้องและการพิสูจน์สำหรับสิ่งนี้คือว่ามี oracleเช่นนั้นในขณะที่สำหรับทุกออราเคิลO $O$ ${\sf coNP}^O \not\subseteq {\sf IP}^O$ ${\sf coNP}^O \subseteq {\sf PSPACE}^O$ $O$

อย่างไรก็ตามฉันได้เห็นเพียงไม่กี่คนที่ให้คำอธิบาย "โดยตรง" เพราะเหตุใด ${\sf IP} = {\sf PSPACE}$ ผลไม่สัมพันธ์กันและคำตอบปกติคือ "arithmetization" เมื่อตรวจสอบหลักฐานของ IP = PSPACE คำตอบนั้นไม่เป็นความจริง แต่ฉันไม่พอใจ ดูเหมือนว่าเหตุผล "ของจริง" มีร่องรอยตัวเองกลับไปสู่การพิสูจน์ว่าปัญหา TQBF - สูตรบูลีนเชิงปริมาณที่แท้จริงนั้นสมบูรณ์สำหรับ PSPACE เพื่อพิสูจน์ว่าคุณต้องแสดงให้เห็นว่าคุณสามารถเข้ารหัสการกำหนดค่าของเครื่อง PSPACE ในรูปแบบขนาดพหุนามและ (ดูเหมือนว่าจะเป็นส่วนที่ไม่เกี่ยวข้อง) คุณสามารถเข้ารหัสการเปลี่ยน "ถูกต้อง" ระหว่างการตั้งค่าในขนาดพหุนาม สูตรบูลีน - ใช้ขั้นตอนลักษณะ Cook-Levin

สัญชาตญาณที่ฉันพัฒนาขึ้นก็คือผลลัพธ์ที่ไม่สัมพันธ์กันคือสิ่งที่กระตุ้นรอบด้วย nitty gritty ของเครื่องจักรทัวริงและขั้นตอนที่แสดง TQBF ให้สมบูรณ์สำหรับ PSPACE คือที่ที่สิ่งนี้เกิดขึ้น - และขั้นตอนการคำนวณ เกิดขึ้นเพียงเพราะคุณมีสูตรบูลีนที่ชัดเจนในการคำนวณ

สิ่งนี้ดูเหมือนจะเป็นเหตุผลพื้นฐานที่ IP = PSPACE นั้นไม่เกี่ยวข้อง และมนต์ของชาวบ้านที่เทคนิคการคำนวณเลขคณิตไม่สัมพันธ์กันดูเหมือนจะเป็นผลพลอยได้จากวิธีการเดียวที่จะทำให้บางสิ่งบางอย่างเป็นเลขคณิตถ้าคุณมีสูตรบูลีนที่เข้ารหัสบางอย่างเกี่ยวกับ TM ในตอนแรก!

มีบางอย่างที่ฉันขาดหายไปหรือไม่? ในฐานะคำถามย่อย - นี่หมายความว่าผลลัพธ์ทั้งหมดที่ใช้ TQBF ในทางใดทางหนึ่งเช่นกัน

cc.complexity-theory interactive-proofs relativization

— Henry Yuen
แหล่งที่มา

คุณสามารถรวม oracle gates ในสูตรบูลีนเชิงปริมาณจากนั้น TQBF ^ O ที่ได้รับการจัดประเภทใหม่จะเสร็จสมบูรณ์สำหรับ PSPACE ^ O ดังนั้นนี่จึงไม่ใช่ขั้นตอนที่ไม่เกี่ยวข้อง

— Emil Jeřábekสนับสนุนโมนิก้า

สวัสดี Emil - คุณช่วยอธิบายเพิ่มเติมอีกหน่อยได้ไหม? สมมติว่าฉันมีเครื่อง M และฉันพยายามดำเนินการพิสูจน์เดียวกันว่า L (M) (ภาษาที่ยอมรับโดย M) สามารถลดลงเป็น (ไม่ว่าหมายถึงอะไร) ในที่สุดฉันก็ต้องคิดสูตรบูลีนที่แสดงว่าการกำหนดค่าสองแบบ C, C 'ของ oracle machine M เป็นเพื่อนบ้าน (สำหรับการกำหนดค่าสองแบบ C, C') ฉันจะมั่นใจได้อย่างไรว่าบูลีนสูตรนี้มีขนาด จำกัด แน่นอนว่าจะเป็นขนาดพหุนามเพียงใด? ตัวอย่างเช่น O สามารถเข้ารหัสปัญหาการหยุดทำงาน

{P S P A C E}^{O}

${\sf PSPACE}^O$

T B Q F^{O}

$TBQF^O$

T B Q F^{O}

$TBQF^O$

— Henry Yuen

ฉันเดาว่าฉันสามารถผลักดันสิ่งนี้กลับมาได้อีก - ทฤษฎีบทของ Cook-Levin เองมีความสัมพันธ์กับตัวเองหรือไม่? ด้วยเหตุผลเดียวกันกับที่กล่าวข้างต้นฉันไม่คิดว่าจะทำเช่นนั้น ไม่ว่าทฤษฎีบท Cook-Levin relativizes จะกำหนดว่าการพิสูจน์ PSPACE-ครบถ้วนของ TQBF ยัง relativizes

— Henry Yuen

สูตร QBF ^ O สามารถนอกเหนือจากปริมาณปกติและการเชื่อมต่อบูลีนยังใช้เกทอินแฟนคลับที่ไม่มีขอบเขตอีกด้วยเราเรียกมันว่าซึ่งความหมายของมันคือ IFF สตริงเป็นของ oracle Oการแสดงในภาษานี้ว่าการกำหนดค่าหนึ่งเป็นทายาทของผู้อื่นคือการออกกำลังกายที่เรียบง่ายเพราะคุณก็สามารถเสียบเนื้อหาของเทปแบบสอบถาม oracle ลงฉ(ฉันสมมติว่าที่นี่เครื่อง PSPACE สามารถทำการสอบถามแบบโพลิโนเมียลได้นาน)

f (x_{0}, \dots, x_{n})

$f(x_0,\dots,x_n)$

f (x_{0}, \dots, x_{n}) = 1

$f(x_0,\dots,x_n)=1$

x_{0} \dots x_{n}

$x_0\dots x_n$

O

$O$

f

$f$

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

ฉันเห็น - คุณกำลังบอกว่าเมื่อ relativizing หลักฐานของ PSPACE-ครบถ้วนของ TQBF ไม่เพียง แต่คุณ relativize เครื่องจักรในการเล่น แต่คุณ relativize สูตรบูลีนเอง (ดังนั้นพวกเขาจึงไม่ได้สูตรบูลีนในแง่ที่เข้มงวดอีกต่อไป ) ในกรณีนี้ฉันสามารถเห็นได้ว่าทำไมขั้นตอนการคำนวณเลขคณิตจะแตกหัก ขอบคุณ! บางทีคุณสามารถเขียนมันเป็นคำตอบ

— Henry Yuen

คำตอบใด ๆ สำหรับคำถามของแบบฟอร์ม "อะไรคือเหตุผลที่แท้จริงที่ ... " จำเป็นต้องมีความรู้สึกส่วนตัว แต่สำหรับกรณีของ IP = PSPACE ผมคิดว่ากรณีที่ดีสวยสามารถทำที่ arithmetization ย่อมเป็นสำคัญโดยการสังเกตว่าในขณะที่ ip = PSPACE ไม่relativizeก็ไม่algebrizeในความรู้สึกของAaronson และ Wigderson ขณะที่พวกเขาอธิบายในกระดาษพูดคร่าว ๆ ความซับซ้อนระดับรวม algebrizesถ้าสำหรับทุกคน oraclesและส่วนขยายระดับต่ำทั้งหมดของ ${\cal C} \subseteq {\cal D}$ ${\cal C}^A \subseteq {\cal D}^{\tilde A}$ $A$ $\tilde A$ $A$ . โดยเฉพาะอย่างยิ่งพวกเขาแสดงให้เห็นว่าการรวม PSPACE IP algebrizes แม้ว่ามันจะไม่สัมพันธ์กัน $\subseteq$

สัญชาตญาณที่ฉันพัฒนาขึ้นมาก็คือผลลัพธ์ที่ไม่สัมพันธ์กันคือสิ่งที่กระตุ้นรอบ ๆ ด้วย nitty gritty ของเครื่องจักรทัวริง

นี่ไม่ใช่สัญชาตญาณที่ไม่ดี แต่ฉันคิดว่าผลลัพธ์ของ Aaronson-Wigderson แสดงให้เห็นว่าหลักฐาน IP = PSPACE โผล่ขึ้นมาในทางที่ค่อนข้าง จำกัด และแน่นอนว่าไม่ใช่วิธีที่ซับซ้อนพอที่จะพิสูจน์ P NP ตั้งแต่ Aaronson และ Wigderson ยังแสดงให้เห็นว่าจะต้องใช้เทคนิคการไม่แยกแยะเพื่อแยก P จาก NP $\ne$

— ทิโมธีเชา
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับการอ้างอิง ให้ฉันดูว่าฉันเข้าใจสิ่งนี้: สิ่งที่คุณ - และกระดาษ Aaronson / Wigderson - ดูเหมือนจะเถียงว่า "arithmetization" เป็นขั้นตอนที่ไม่เกี่ยวข้องเล็กน้อยและนั่นเป็นการเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ น้อย ๆ ตามธรรมชาติของแนวคิดเรื่อง relativization (กล่าวคือ พีชคณิตสัมพันธ์) จะทำลายคุณสมบัตินี้ เนื่องจากส่วนที่เหลือของหลักฐาน IP = PSPACE นั้นกำลังจัดทำขึ้นใหม่ (และฉันเชื่อมั่นในสิ่งที่ Emil กล่าวไว้ข้างต้น) นั่นหมายความว่าผลลัพธ์ IP = PSPACE นั้นเองนั้นค่อนข้างอ่อนตัว น่าสนใจมาก! ขอบคุณ ฉันจำเป็นต้องใช้วิธีการของการยอมรับคำตอบทั้งสอง :)

— เฮนรียืน

ใช่มันถูกต้องแล้ว

— ทิโมธี Chow