การไหลสูงสุดที่เพิ่มขึ้นในกราฟแบบไดนามิก

ฉันกำลังมองหาอัลกอริทึมที่รวดเร็วเพื่อคำนวณโฟลว์สูงสุดในกราฟแบบไดนามิก เช่นให้กราฟและเรามีการไหลสูงสุดในจากไปทีแล้วใหม่ / เก่าโหนดเพิ่ม / ลบที่มีขอบสอดคล้องกันในรูปแบบของกราฟ 1 โฟลว์สูงสุดในกราฟที่สร้างขึ้นใหม่คืออะไร มีวิธีป้องกันการคำนวณการไหลสูงสุดอีกครั้งหรือไม่s , t ∈ V F G s t u G $G=(V,E)$$s,t\in V$$F$$G$$s$$t$$u$$G^1$

การประมวลผลล่วงหน้าที่ไม่ได้ใช้เวลามาก / การใช้หน่วยความจำจะได้รับการชื่นชม

แนวคิดที่ง่ายที่สุดคือคำนวณการไหลของข้อมูลใหม่

อีกหนึ่งความคิดง่ายๆคือเช่นนี้บันทึกทุกเส้นทาง augmenting ซึ่งใช้ในการคำนวณการไหลสูงสุดก่อนหน้านี้สำหรับการเพิ่มจุดสุดยอดเราสามารถหาเส้นทางที่ง่าย (ในกราฟความจุปรับปรุงตามขั้นตอนก่อนหน้า) ซึ่งเริ่มต้นจากต้นทางไปที่ไปแล้ว ไปยังปลายทาง แต่ปัญหาคือเส้นทางนี้ควรจะง่ายฉันไม่พบดีกว่าสำหรับกรณีนี้สำหรับ. (โปรดทราบว่าหากเป็นเพียงเส้นทางเดียวก็สามารถทำได้ในแต่ไม่เป็นเช่นนั้น)v O ( n ⋅ m ) m = | E | O ( n + m $v$$v$$O(n\cdot m)$$m=|E|$$O(n+m)$

นอกจากนี้สำหรับการลบโหนดด้านบนความคิดไม่ทำงาน

นอกจากนี้ฉันได้เห็นเอกสารเช่นวิธีเพิ่มค่าสำหรับขอบแล้ว แต่ดูเหมือนว่าพวกเขาจะไม่ดีพอในกรณีนี้มันมากกว่าสำหรับแต่ละขอบและดูเหมือนว่าไม่เหมาะสมในกรณีนี้ (เราเพิ่งคำนวณการไหล) ตอนนี้ฉันกำลังใช้อัลกอริธึมการไหลสูงสุดของ Ford-Fulkersonถ้ามีตัวเลือกที่ดีกว่าสำหรับอัลกอริทึมออนไลน์มันเป็นการดีที่จะรู้$O(m)$

วิธีการอธิบายอาจไม่เหมาะสมที่สุดในทางทฤษฎี มันเป็นเพียงวิธีการปฏิบัติที่เรียบง่ายที่อาจทำงานให้กับผู้เขียน ฉันไม่สามารถให้การอ้างอิงใด ๆ เพราะฉันคิดเสมอว่ามันเป็นคติชนที่รู้จักกันอย่างกว้างขวาง แต่ไม่มีใครโพสต์มันแปลกในคำตอบ ดังนั้นฉันทำมัน

สมมติเรามีเครือข่ายที่ไม่มีทิศทางc) สมมติว่ามันถูกเก็บไว้ในโครงสร้างข้อมูลที่ช่วยให้การแทรก / ลบจุดสุดยอด / อาร์คง่าย บางครั้งเราจะใช้เครือข่ายที่เหลือ (เช่นด้วยความสามารถที่อัปเดต )G f c f = c - $G=(V,E,c)$$G_f$$c_f = c - f$

ส่วนแรกคือวิธีการประมวลผลการแทรก / การลบจุดสุดยอด ตรงไปตรงมามากขึ้นหรือน้อยลงสำหรับการแทรก:

1. เพิ่มจุดสุดยอดใหม่ที่มีขอบที่สอดคล้องกับเครือข่ายที่เหลือ
2. ค้นหาโฟลว์สูงสุดในเครือข่ายที่เหลือที่อัพเดตโดยใช้อัลกอริธึม maxflow ที่คุณเลือก

สำหรับการลบสิ่งต่าง ๆ มีความซับซ้อนมากขึ้น ลองจินตนาการว่าเราแยกจุดยอดเรากำลังจะลบออกเป็น 2 ส่วนและเช่นนั้นทุกจุดใน arcs ชี้ไปที่ , ส่วนโค้งออกทั้งหมดจากและจุดยอดใหม่นี้ เชื่อมต่อโดยส่วนโค้งของความจุไม่ จำกัด แล้วลบเทียบเท่ากับการลบโค้งระหว่างและ{} จะเกิดอะไรขึ้นในกรณีนี้ แสดงว่า Let 's โดยไหลผ่านจุดสุดยอดวีจากนั้นจะได้รับส่วนเกินของหน่วยการไหลของและวีฉันn V o ยูที v ฉันn V o ยูทีวีวีฉันn V o ยูทีเอฟวีวีวีฉันnฉวีวีo ยูทีเอฟโว~ ฉวีวีฉันn V o ยูทีวีฉันn v o u t f v f v v Δ $v$$v_{in}$$v_{out}$$v_{in}$$v_{out}$$v$$v_{in}$$v_{out}$$f^v$$v$$v_{in}$$f^v$$v_{out}$จะประสบปัญหาการขาดแคลน flow unit ทันทีหลังจากลบ (ข้อ จำกัด การไหลจะแตกอย่างเห็นได้ชัด) เพื่อให้ข้อ จำกัด การไหลถูกจัดขึ้นอีกครั้งเราควรจัดเรียงกระแสใหม่ แต่เราต้องการรักษาค่าการไหลเดิมให้สูงที่สุดเท่าที่จะทำได้ เรามาดูกันก่อนว่าเราสามารถจัดเรียงใหม่โดยไม่ลดการไหลทั้งหมด ในการตรวจสอบว่าค้นหา maxflowจากถึงในเครือข่ายที่เหลือ "cutted" (เช่นไม่มีการเชื่อมต่อส่วนโค้งและ ) เราควรผูกมันด้วยอย่างชัดเจน หากมันเกิดขึ้นเท่ากับเราโชคดี: เราได้มอบหมายการไหลที่ผ่าน$f^v$$\tilde{f^v}$$v_{in}$$v_{out}$$v_{in}$$v_{out}$$f^v$$f^v$$v$ในลักษณะที่การไหลโดยรวมไม่เปลี่ยนแปลง ในอีกกรณีหนึ่งการไหลรวมจะต้องลดลงโดย "ไร้ประโยชน์" เกินหน่วย ในการทำเช่นนั้นให้เชื่อมต่อและชั่วคราวโดยอาร์คของความจุไม่ จำกัด และเรียกใช้อัลกอริธึม maxflow อีกครั้งจากถึง (เราควร จำกัด การไหลโดย ) ที่จะแก้ปัญหาเครือข่ายที่เหลือและข้อ จำกัด ทำให้การไหลจะจัดขึ้นอีกครั้งโดยอัตโนมัติการลดการไหลโดยรวม\$\Delta = f^v - \tilde{f^v}$$s$$t$$v_{in}$$v_{out}$$\Delta$$\Delta$

ความซับซ้อนของเวลาในการอัปเดตดังกล่าวอาจขึ้นอยู่กับอัลกอริธึม maxflow ที่เราใช้ กรณีที่เลวร้ายที่สุดอาจไม่ดีนัก แต่ก็ยังดีกว่าการคำนวณใหม่ทั้งหมด

ส่วนที่สองเป็นอัลกอริทึม maxflow ที่จะใช้ เท่าที่ฉันเข้าใจผู้เขียนไม่ต้องการอัลกอริทึมที่ซับซ้อนมาก (แต่ยังมีประสิทธิภาพ) ด้วยค่าคงตัวที่ซ่อนอยู่เล็กน้อยเพื่อรันบนแพลตฟอร์มมือถือ ตัวเลือกแรกของเขาสำหรับ Ford-Fulkerson (ฉันคาดหวังว่ามันจะเป็นEdmonds-Karp ) ดูไม่เลวร้ายนักจากมุมมองนี้ แต่มีความเป็นไปได้อื่น ๆ สิ่งที่ฉันอยากแนะนำให้ลองก่อนคือตัวแปรของอัลกอริทึมของ Dinicเพราะมันค่อนข้างเร็วในทางปฏิบัติและสามารถนำไปใช้ในวิธีที่ง่ายมาก ตัวเลือกอื่น ๆ อาจรวมถึงการปรับขนาดความจุ Ford-Fulkerson ใน$O(|V|^2|E|)$$O(|E|^2 \log C_{max})$และในที่สุดก็มีเวอร์ชั่นที่แตกต่างกันของ push-relabel พร้อม heuristic อย่างไรก็ตามประสิทธิภาพจะขึ้นอยู่กับกรณีการใช้งานดังนั้นผู้เขียนควรค้นหาสิ่งที่ดีที่สุดเชิงประจักษ์

ตกลงโดยคำนึงถึงข้อมูลใหม่และหลีกเลี่ยงการอ้างอิงที่ผิดพลาดก่อนเริ่ม / แฮร์ริ่งสีแดงที่ผิดพลาด (mea culpa) ต่อไปนี้เป็นข้อมูลอ้างอิงใหม่เกี่ยวกับเรื่องนี้

การแก้ปัญหาลำดับการออนไลน์อย่างรวดเร็วของปัญหาการไหลสูงสุดพร้อมกับส่วนต่อขยายเพื่อการคำนวณขั้นต่ำที่แข็งแกร่ง Doug Altner และÖzlem Ergun

การอ้างอิงนี้พิจารณาลำดับออนไลน์ของ MFP และ "การเริ่มต้นอย่างอบอุ่น" เช่นการสร้าง chgs ที่เพิ่มขึ้นไปยัง MFP ก่อนหน้า "เราแสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมของเราลดเวลาทำงานตามลำดับความสำคัญเมื่อเปรียบเทียบรหัสที่คล้ายกันที่ใช้ตัวแก้ MFP กล่องดำโดยเฉพาะอย่างยิ่งเราแสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมของเราสำหรับการตัดต่ำสุดที่แข็งแกร่งสามารถแก้ปัญหาได้ในไม่กี่วินาที ชั่วโมงใช้ตัวแก้การไหลสูงสุดในกล่องดำ "

ความก้าวหน้าของปัญหาที่เกี่ยวข้องกับกระแสสูงสุด Altner, Douglas S. , จอร์เจียเทคโนโลยี

ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกปี 2551 (ดาวน์โหลดไฟล์ PDF) ผู้เขียนพิจารณาถึงปัญหาของการเพิ่มส่วนโค้งที่เพิ่มขึ้นซึ่งดูเหมือนจะ "ใกล้พอ" กับปัญหาของการเพิ่มจุดยอดใหม่ (ด้วยส่วนโค้งใหม่หลายจุด)

การอ้างอิงนี้เกี่ยวข้องกับการลบบางส่วนของเครือข่าย (การตัด / "คำสั่ง") ตามที่ระบุไว้ในส่วนที่ 1 ของบทคัดย่อ

ดู esp "ลำดับการแก้ไข IV ออนไลน์ของลำดับการไหลสูงสุด ... ...... p63"

p 63 "เป้าหมายของบทนี้คือการโน้มน้าวผู้อ่านว่าการใช้ตัวแก้ปัญหาการไหลสูงสุดแบบกล่องดำซ้ำ ๆ เพื่อแก้ลำดับ MFP จำนวนมากอาจนำไปสู่การคำนวณที่ไม่จำเป็นจำนวนมหาศาล"

p66 "ในแอพพลิเคชั่นดังกล่าวข้างต้นโดยทั่วไปแล้ว MFPs จะคล้ายกันกับโทโพโลยีนั่นคือ MFP ถัดไปในลำดับนั้นแตกต่างจากก่อนหน้านี้โดยการเพิ่มหรือลบอาร์คจำนวนเล็กน้อยหรือโดยการเปลี่ยนความสามารถของ เมื่อแก้ไขกรณีเหล่านี้เวลาและพื้นที่ที่ต้องการเก็บสิ่งอื่น ๆ นอกเหนือจากวิธีแก้ไขปัญหาก่อนหน้านี้โดยทั่วไปจะไม่รับประกัน

ผู้เขียน p67 ยังใช้วิธี "เริ่มต้นอย่างอบอุ่น" ที่นี่ "กลยุทธ์ที่มีประสิทธิภาพในการแก้ไขปัญหาการออปติไมซ์ออนไลน์ทั้งหมดอย่างรวดเร็วคือการพัฒนาฮิวริสติกที่มีประสิทธิภาพการ reoptimization ด้วยเหตุนี้เราจึงพัฒนาอัลกอริธึมการไหลสูงสุดที่ปรับเปลี่ยนซึ่งออกแบบมาเพื่อการเริ่มอบอุ่นอย่างมีประสิทธิภาพ"

ดู esp p71 ที่มีปัญหาส่วนโค้งเพิ่มขึ้นเฉพาะ:

ใหม่ Arc ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพการไหลสูงสุดของโค้ง

ผู้เขียนพิจารณาปัญหาทั่วไปมากขึ้นหน้า 67

ปัญหาการทำให้เป็นก้อนสูงสุดซ้ำของการไหล (MFROP) ปัญหาการทำให้เป็นก้อน
สูงสุดในการไหลซ้ำเดียวของกระแสสูงสุด (MFSAROP)

จากการค้นหาอย่างรวดเร็วดูเหมือนว่าเวอร์ชันออนไลน์เป็นส่วนหนึ่งของการวิจัยเชิงรุก คุณไม่ต้องพูดถึงพื้นที่ของแอปพลิเคชั่นซึ่งอาจช่วย จำกัด การค้นหาวรรณกรรมให้แคบลง ทางเลือกหนึ่งคือค้นหาพื้นที่แอปพลิเคชั่นที่มีนวัตกรรมมากที่สุดหรือล่าสุด ดังนั้นจึงมีการประยุกต์ใช้การไหลสูงสุดที่เพิ่มขึ้นในระบบการมองเห็น & อัลกอริทึมบางอย่างสำหรับมันที่นั่น; ลองโฟลว์สูงสุดโดยการค้นหาความกว้าง - เพิ่มขึ้นครั้งแรกที่ห้องปฏิบัติการวิจัยของ Microsoft การถอดความบทนำของบทความนี้เห็นได้ชัดว่าสำหรับอินสแตนซ์ของวิสัยทัศน์อัลกอริทึม Boykov และ Kolmogorov ทำได้ดีและไม่มีการตอบโต้แบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่เป็นที่รู้จักแม้ว่าจะอยู่นอกแอพพลิเคชั่นการมองเห็น ดังนั้นจึงควรลองใช้อัลกอริทึม B&K กับข้อมูลของคุณและดูว่ามันทำงานอย่างไร &

คุณดูเหมือนจะบอกว่าอัลกอริทึมที่เพิ่มขึ้นซึ่งเป็นเส้นตรงในจำนวนของขอบกราฟไม่ได้ความเร็วเพียงพอหรือไม่ แต่นั่นไม่ใช่ประสิทธิภาพที่ค่อนข้างสูงใช่ไหม คุณจัดการกับขอบกี่อัน บางทีวิธีการอาจลดค่าใช้จ่ายในการสำรวจกราฟหากมีราคาแพงหรือเป็นปัจจัยสำคัญ (เช่นกราฟที่เก็บไว้ใน db เทียบกับกราฟที่เก็บไว้ในหน่วยความจำ)

นี่เป็นบทความที่น่าสนใจที่ระบุว่าในขณะที่อัลกอริธึมแบบ nonincremental สำหรับ max flow อยู่ใน P ส่วนที่เพิ่มขึ้นคือ NP สมบูรณ์ "เพื่อความรู้ที่ดีที่สุดของเราผลลัพธ์ของเราเป็นครั้งแรกที่พบปัญหา P-time ที่มีเวอร์ชันที่เพิ่มขึ้นคือ NP สมบูรณ์"

การไหลที่เพิ่มขึ้นโดย Hartline, ชาร์ป

ความเป็นไปได้ / ทิศทางอื่นคืออัลกอริธึมการไหลสูงสุดของ push-relabelซึ่งเป็น "หนึ่งในอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดสำหรับการไหลสูงสุด" และสามารถมีโปรไฟล์ความซับซ้อนที่ดีขึ้นตามข้อมูล เช่นเป็นหน้าเพจวิกิพีเดีย

$O(V^3)$$O(V^2 \sqrt E$$O(V \cdot E \cdot log(V^2 / E))$