ซองจดหมาย Paradox

มีสองซอง หนึ่งประกอบด้วย$x$ เงินและอื่น ๆ ประกอบด้วย $2x$จำนวนเงิน จำนวนที่แน่นอน "$x$"ไม่เป็นที่รู้จักสำหรับฉัน แต่ฉันรู้ด้านบนฉันเลือกซองจดหมายหนึ่งซองแล้วเปิดดูฉันเห็นแล้ว $y$ เงินในนั้นชัดอยู่ที่ไหน $y \in \{x, 2x\}$.

ตอนนี้ฉันถูกเสนอให้เก็บหรือสลับซองจดหมาย

ค่าที่คาดหวังของการสลับคือ $(\frac{1}{2} \cdot 2y + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}y) = \frac{5}{4}y$. ค่าที่คาดหวังในการรักษาซองจดหมายของฉันคือ$y$.

ดูเหมือนว่าฉันควรเปลี่ยนซองจดหมายเสมอ คำถามสองข้อของฉัน:

เหตุผลนี้ถูกต้องหรือไม่

มันแตกต่างกันหรือไม่ถ้าฉันไม่ได้รับอนุญาตให้เปิดซองและดู $y$ จำนวนเงินและจากนั้นฉันได้รับตัวเลือกให้สลับไปเรื่อย ๆ ?

นี่คือวิธีการ "เพิ่มประสิทธิภาพยูทิลิตี้ / ทฤษฎีเกม" ที่คาดว่าจะเกิดขึ้นกับเรื่องนี้ ในกรอบดังกล่าวคำตอบปรากฏชัดเจน

อาคาร

เราได้รับการบอกกล่าวด้วยความซื่อสัตย์อย่างแท้จริงว่า $x$ จำนวนเงินที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัดตั๋วสองใบต่อไปนี้วางอยู่ในกล่อง: $\{A=x, B= 2x\}$ ด้วยหมายเลขประจำตัวที่ได้รับมอบหมาย $1$ และ $\{A=2x, B= x\}$ ด้วยหมายเลขประจำตัวที่ได้รับมอบหมาย $0$. จากนั้นวาดจาก Bernoulli $(p=0.5)$ ตัวแปรสุ่มถูกดำเนินการและขึ้นอยู่กับผลลัพธ์และเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจำนวน $x$ และ $2x$ ถูกวางไว้ในซองจดหมาย $A$ และ $B$. เราไม่ได้บอกว่าคุณค่าของ$x$ คือหรือจำนวนเท่าใดไปที่ซองจดหมาย

กรณีแรก: เลือกซองจดหมายพร้อมตัวเลือกเพื่อสลับโดยไม่เปิด

ปัญหาแรกคือเราจะเลือกซองจดหมายได้อย่างไร สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการตั้งค่า ดังนั้นสมมติว่าเราคาดหวังอรรถประโยชน์สูงสุดด้วยฟังก์ชั่นยูทิลิตี้$u()$.

เราสามารถจำลองโครงสร้างความน่าจะเป็นที่นี่โดยพิจารณาตัวแปรสุ่มสองขั้ว $A$ และ $B$เป็นตัวแทนของซองจดหมายและจำนวนเงินในพวกเขา การสนับสนุนของแต่ละคนคือ$\{x, 2x\}$. แต่พวกเขาไม่ได้เป็นอิสระ ดังนั้นเราต้องเริ่มต้นด้วยการกระจายข้อต่อ ในรูปแบบตารางการแจกแจงร่วมและการแจกแจงที่สอดคล้องกันคือ

$$\begin{array}{| r | r | } \hline \text{A} \;/ \;\;\text{B} \rightarrow & x & 2x & \text {Marg A} \\ \hline \hline x & 0 & 0.5 & 0.5\\ \hline 2x & 0.5 & 0 & 0.5 \\ \hline \text{Marg B} & 0.5 & 0.5 & 1.00 \\ \hline \end{array}$$

สิ่งนี้บอกเราว่า $A$ และ $B$ มีการกระจายระยะขอบเท่ากัน

แต่นี่หมายความว่าไม่สำคัญว่าเราจะเลือกซองจดหมายอย่างไรเพราะเราจะได้รับยูทิลิตี้ที่คาดหวังไว้เสมอ

$$0.5 \cdot u(x) + 0.5\cdot u(2x)$$

สิ่งที่เรากำลังเผชิญอยู่ที่นี่คือการเดิมพันแบบผสม (วิธีเลือกซองจดหมาย) บนการเดิมพันที่เหมือนกันสองครั้ง (แต่ละซอง) เราสามารถเลือก$A$ ด้วยความน่าจะเป็น $1$, $0$หรืออะไรก็ตามที่อยู่ในระหว่าง (และสมบูรณ์สำหรับ $B$) มันไม่สำคัญ เราจะได้รับยูทิลิตี้ที่คาดหวังเหมือนกันเสมอ โปรดทราบว่าทัศนคติของเราที่มีต่อความเสี่ยงไม่ได้มีบทบาทที่นี่

ดังนั้นเราจะเลือกซองจดหมายพูด $A$และเรากำลังดูอยู่ ตอนนี้ยูทิลิตี้ที่เราคาดหวังคืออะไร? ตรงเช่นเดียวกับก่อนที่จะเลือก การหยิบซองจดหมายด้วยวิธีใดก็ตามจะไม่ส่งผลต่อความน่าจะเป็นของสิ่งที่อยู่ข้างใน

เราได้รับอนุญาตให้เปลี่ยน สมมติว่าเราทำและตอนนี้เรากำลังถือซองจดหมาย$B$. ตอนนี้ยูทิลิตี้ที่คาดหวังคืออะไร? เหมือนเดิมทุกประการ

เหล่านี้เป็นสองสถานะที่เป็นไปได้ของโลกสำหรับเรา: เลือก $A$ หรือเลือก $B$. ภายใต้ตัวเลือกใด ๆ ทั้งสองสถานะของโลกหมายถึงค่าเดียวกันกับแรงผลักดันที่เราเลือก / สันนิษฐาน (เช่นเพิ่มประโยชน์สูงสุดที่คาดหวัง)

ดังนั้นที่นี่เราไม่สนใจที่จะเปลี่ยน และที่จริงเราสามารถสุ่มเลือกได้

กรณีที่สอง: เปิดซองพร้อมตัวเลือกในการสลับหลังจาก

สมมติว่าเราได้เลือกแล้ว $A$เปิดแล้วพบภายในจำนวนเงิน $y \in \{x, 2x\}$. สิ่งนี้เปลี่ยนแปลงหรือไม่?

มาดูกัน. ฉันสงสัยว่าคืออะไร

$$P(A = x \mid A \in \{x, 2x\}) = ?$$

ดี, $\{x, 2x\}$ คือพื้นที่ตัวอย่างซึ่งตัวแปรสุ่ม $A$ถูกกำหนดไว้ การปรับสภาพในพื้นที่ตัวอย่างทั้งหมดเช่นบนซิกม่าพีชคณิตเล็กน้อยไม่ส่งผลกระทบต่อความน่าจะเป็นหรือค่าคาดหวัง ราวกับว่าเราสงสัยว่า "อะไรคือคุณค่าของ$A$ ถ้าเรารู้ว่าค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดอาจถูกทำให้เป็นจริง? "ไม่มีความรู้ที่มีประสิทธิภาพได้รับดังนั้นเราจึงยังคงอยู่ที่โครงสร้างความน่าจะเป็นดั้งเดิม

แต่ฉันก็สงสัยว่ามันคืออะไร

$$P(B = x \mid A \in \{x, 2x\}) = ?$$

คำสั่งการปรับสภาพดูอย่างถูกต้องว่าเป็นซิกม่า - พีชคณิตที่สร้างโดยเหตุการณ์ $\big \{A \in \{x, 2x\}\big\}$เป็นพื้นที่ตัวอย่างทั้งหมดซึ่งสุ่มเวกเตอร์ $(A,B)$ได้รับการกำหนด จากตารางของการแจกแจงร่วมข้างต้นเราจะเห็นได้ว่าการจัดสรรความน่าจะเป็นของการร่วมนั้นเทียบเท่ากับการจัดสรรความน่าจะเป็นของระยะขอบ (คุณสมบัติ "เกือบจะแน่นอน" เนื่องจากการปรากฏตัวของเหตุการณ์สองศูนย์ ดังนั้นที่นี่เช่นกันเราจำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นสำหรับ$B$บนพื้นที่ตัวอย่างทั้งหมด มันเป็นไปตามที่การกระทำของเราในการเปิดซองจดหมายไม่ได้ส่งผลกระทบต่อโครงสร้างความน่าจะเป็นสำหรับ$B$ ด้วย

เข้าสู่ทฤษฎีเกมควบคู่ไปกับการตัดสินใจ เราได้เปิดซองจดหมายและเราต้องตัดสินใจว่าจะสลับหรือไม่ ถ้าเราไม่เปลี่ยนเราได้รับประโยชน์$u(y)$. หากเราเปลี่ยนเราก็จะอยู่ในสองสถานะที่เป็นไปได้ของโลก

$$y = x, u(A) = u(x) \implies u(B) = u(2x)$$ $$y = 2x, u(A) = u(2x)\implies u(B) = u(x)$$

เราไม่ทราบว่ารัฐใดมีอยู่จริง แต่จากการอภิปรายข้างต้นเรารู้ว่าแต่ละรัฐมีความน่าจะเป็น $p=0.5$ ของที่มีอยู่

เราสามารถสร้างแบบจำลองนี้เป็นเกมที่คู่ต่อสู้ของเราคือ "ธรรมชาติ" และที่เรารู้ว่าธรรมชาติเล่นอย่างมั่นใจด้วยกลยุทธ์แบบสุ่ม : ด้วย$p=0.5$ $y=x$ และด้วย $p=0.5$, $y=2x$. แต่ตอนนี้เราก็เช่นกันว่าหากเราไม่เปลี่ยนการจ่ายเงินของเราก็แน่นอน ดังนั้นนี่คือเกมของเราในรูปแบบปกติด้วยการจ่ายผลตอบแทนของเรา:

$$\begin{array}{| r | r | } \hline \text{We} \;/ \;\;\text{nature} \rightarrow &y= x & y=2x \\ \hline \text{Switch} & u(2x) & u(x) \\ \hline \text{Don't Switch} & u(y) & u(y) \\ \hline \end{array}$$

เราควรต้านทานสิ่งล่อใจที่จะทดแทน $u(x)$ และ $u(2x)$ สำหรับ $u(y)$. $u(y)$เป็นผลตอบแทนที่รู้จักและแน่นอน การจ่ายเงินสำหรับกลยุทธ์ "Switch" ไม่เป็นที่รู้จักจริง ๆ (เนื่องจากเราไม่ทราบคุณค่าของ$x$) ดังนั้นเราจึงควรย้อนกลับทดแทน ถ้า$y=x$ แล้วก็ $u(2x) = u(2y)$, และถ้า $y=2x$ แล้วก็ $u(x) = u(y/2)$. ดังนั้นนี่คือเกมของเราอีกครั้ง:

$$\begin{array}{| r | r | } \hline \text{We} \;/ \;\;\text{nature} \rightarrow &y= x & y=2x \\ \hline \text{Switch} & u(2y) & u(y/2) \\ \hline \text{Don't Switch} & u(y) & u(y) \\ \hline \end{array}$$

ตอนนี้การจ่ายผลตอบแทนทั้งหมดในเมทริกซ์เป็นที่รู้จัก มีกลยุทธ์ที่โดดเด่นบริสุทธิ์หรือไม่?

ผลตอบแทนที่คาดหวังของกลยุทธ์ "Switch" คือ

$$E(V_S) = 0.5\cdot u(2y) + 0.5 \cdot u(y/2)$$

ผลตอบแทนที่คาดหวังของกลยุทธ์ "Don't Switch" คือ

$$E(V_{DS}) = u(y)$$

เราควรเปลี่ยนถ้า

$$E(V_S) > E(V_{DS}) \implies 0.5\cdot u(2y) + 0.5 \cdot u(y/2) > u(y)$$

และตอนนี้ทัศนคติต่อความเสี่ยงกลายเป็นสิ่งสำคัญ ไม่ใช่เรื่องยากที่จะอนุมานได้ว่าภายใต้พฤติกรรมเสี่ยงและความเสี่ยงที่เป็นกลางเราควรเปลี่ยน

สำหรับพฤติกรรมที่เสี่ยงต่อความเกลียดชังฉันพบผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยม:

สำหรับฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ "เว้าน้อย" (ด้านบนอย่างเคร่งครัด) กว่าลอการิทึม (พูด, สแควร์รูท), จากนั้นเราควรยังคงสลับ

สำหรับยูทิลิตี้ลอการิทึม $u(y) = \ln y$เราไม่แยแสระหว่างการสลับหรือไม่

สำหรับ "เว้ามากขึ้น" มากกว่า (อย่างเคร่งครัดด้านล่าง) ฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ลอการิทึมเราไม่ควรเปลี่ยน

ฉันปิดด้วยแผนภาพของกรณีลอการิทึม

สมมติ $y=4$. แล้วก็$y/2 =2, 2y = 8$. เส้น$Γ-Δ-Ε$คือบรรทัดที่ยูทิลิตี้ที่คาดหวังจาก "สวิตช์" จะอยู่ เนื่องจากธรรมชาติเล่น$50-50$ กลยุทธ์มันจะเป็นจริง ณ จุด $\Delta$ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของ $Γ-Δ-Ε$. เมื่อถึงจุดนั้นด้วยยูทิลิตี้ลอการิทึมเราได้รับยูทิลิตี้ตัวเดียวกันจาก "Don't Switch" เช่น$\ln(4)$ สำหรับตัวอย่างตัวเลขนี้

หากคุณเปิดซองจดหมายE1และเห็นว่าค่าที่เป็นE1 = Yแล้วมันเป็นความจริงว่าซองอื่น ๆE2ค่า 's อยู่ใน{E2 = Y / 2, E2 = 2Y}

นอกจากนี้ยังเป็นความจริงที่คาดว่าค่าตัวของซองจดหมายที่เป็น(Y / 2) * Pr (E2 = Y / 2) + (2Y) * Pr (E2 = 2Y)

ข้อผิดพลาดคือสมมติว่าPr (E2 = Y / 2) = Pr (E2 = 2Y) = 1/2ไม่ว่าYคืออะไร วิธีที่ง่ายที่สุดในการแสดงสิ่งนี้คือการสมมติว่าซองจดหมายแต่ละอันมีเงินกระดาษของสหรัฐอเมริกาในหลายสกุลเงิน ถ้าy = $ 1แล้วมันเป็นไปไม่ได้สำหรับE2จะเป็นY / 2

หลักฐานที่เข้มงวดมากขึ้นมีรายละเอียดมากเกินไปที่จะให้ที่นี่ แต่บทสรุปของมันคือครั้งแรกคิดว่าสำหรับค่าใด ๆZที่Pr (Z / 2 <= E2 <Z) = Pr (Z <= E2 <2Z) นี่เป็นข้อสมมติเดียวกับในย่อหน้าสุดท้ายซึ่งขยายเป็นช่วงของค่า แต่ถ้าสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของZก็หมายความว่าPr (Z * 2 ^ (N-1) <= E2 <Z * 2 ^ (N-1))คงที่สำหรับทุกค่าของNตั้งแต่ -inf ถึง INF เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ข้อสมมติฐานจึงไม่ถูกต้อง

+++++

นั่นอาจทำให้สับสนเล็กน้อยดังนั้นให้ฉันลองตัวอย่าง คุณได้รับซองจดหมายสองชุดสองชุด ในหนึ่งชุดประกอบด้วย 10 และ 20 ดอลลาร์ ในอีกซองหนึ่งมี 20 และ 40 คุณเลือกชุดหนึ่งจากนั้นเปิดซองหนึ่งซองในชุดนั้นเพื่อค้นหา 20 จากนั้นคุณจะได้รับโอกาสให้เปลี่ยนซองจดหมายอื่นในชุดนั้น คุณควร

ใช่ควรเปลี่ยน กำไรที่คาดหวังจากการเปลี่ยนไปใช้ซองจดหมายอื่นคือ [(20-10) + (20-40)] / 2 = +5

โปรดทราบว่าอินสแตนซ์นี้- นั่นคือเมื่อรู้ว่าคุณพบ 20 และไม่ใช่ 10 หรือ 40 จะเหมาะกับเงื่อนไขที่คุณอธิบายในคำถามของคุณ ดังนั้นทางออกของคุณทำงาน แต่การทดสอบนั้นไม่ตรงกับคำอธิบายนั้น หากคุณพบ 10 หรือถ้าคุณพบ 40 ความน่าจะเป็นที่ซองจดหมายอื่นมี 20 คือ 100% กำไรที่คาดหวังคือ +10 และ -20 ตามลำดับ และถ้าคุณหาค่าเฉลี่ยสามค่าที่เป็นไปได้เหนือความน่าจะเป็นคุณจะได้สามค่าคุณจะได้ 10/4 + 5/2 - 20/4 = 0

โดยทั่วไปปัญหาจะแก้ไขไม่ได้เนื่องจากคุณไม่ได้ระบุขั้นตอนการสุ่มของการทดสอบทั้งหมด

แต่ให้ Y เป็นค่าของซองจดหมายที่คุณเลือกและ X คือซองจดหมายอื่น คำตอบก็คือ$E[X|Y=y]$- ซึ่งเป็นความคาดหวังที่มีเงื่อนไข อย่างไรก็ตามสมมติว่ามีการแจกแจงทั่วไปของ Y, Y ถูกดึงมาอย่างสม่ำเสมอจากทั้งหมด$\mathbb{R}$. แต่แล้ว$Pr(Y=y)=0$และโดยBorel – Kolmogorovบุคคลที่ผิดธรรมดาความคาดหวังจะแก้ไม่ได้