ฉันคิดว่าบาร์โรหมายถึงในเชิงอรรถที่จิโอวานนี่และไวล์หาสมการเดียวกันคือ $ U_t = \ Phi C ^ {1- \ gamma} $ แต่ใช้เส้นทางที่ดีที่สุดของ $ C_t $
ในบทความของ Barro วิธีการนั้นแตกต่างกันเนื่องจากพลวัตของ $ C_t $ นั้นต่างจาก: $ C_t = Y_t $ โดยการสันนิษฐาน
Barro ใช้กรณีขีด จำกัด เมื่อความยาวของช่วงเวลาใกล้เคียงกับ 0 บางทีสิ่งที่อาจรบกวนผู้อ่านก็คือรูปแบบที่ถูกกำหนดเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง
เขียนซ้ำโมเดล
อันดับแรกเราสามารถเขียนแบบจำลองใหม่ด้วยระยะเวลา $ \ delta $ จากนั้นใช้ $ \ delta \ ถึง 0 $
การเปลี่ยนแปลงของ GDP เขียน
$$ \ log (Y_ {t + \ delta}) = \ log (Y_t) + g \ delta + u_ {t + \ delta} + v_ {t + \ delta} $$
กับ $ u_ {t + \ delta} \ sim \ mathcal {N} (0, \ delta \ sigma ^ 2) $ และ $ v_ {t + \ delta} = 0 $ ด้วยความน่าจะเป็น $ 1-p \ delta $ และ $ \ log (1-b) $ ที่มีความน่าจะเป็น $ p \ delta $
ยูทิลิตี้ตรงตาม
$$
U_t = \ frac {1} {1- \ gamma} \ left \ lbrace C_t ^ {1- \ theta} + \ frac {1} {1+ \ rho \ delta} \ left [(1- \ gamma) E_tU_ { T + \ เดลต้า} \ ขวา] ^ \ frac {1- \ theta} {1- \ แกมมา} \ ขวา \ rbrace ^ \ frac {1- \ แกมมา} {1- \ theta}
$$
1) ค้นหา $ \ Phi $ เป็นฟังก์ชั่นของ $ E_t \ left [\ left (\ frac {C_ {t + \ delta}} {C_t} \ right) ^ {1- \ gamma} \ right] $
จากนี้สมมติว่ามี $ \ Phi $ เช่น $ U_t = \ Phi C ^ {1- \ gamma} $ (โปรดทราบว่า $ \ Phi $ ขึ้นอยู่กับ $ \ delta $ a นิรนัย)
กำหนด $ H (U) = [(1- \ gamma) U] ^ \ frac {1- \ theta} {1- \ gamma} $, ยูทิลิตี้เป็นไปตาม
\ begin {align}
H (U_t) = C_t ^ {1- \ theta} + \ frac {1} {1+ \ rho \ delta} H (E_tU_ {t + \ delta})
\ end {} ชิด
เราแทน $ U_t $:
\ begin {align}
H (\ Phi) C_t ^ {1- \ theta} = C_t ^ {1- \ theta} + \ frac {1} {1+ \ rho \ delta} H (\ Phi) \ left (E_t \ left [C_ { T + \ เดลต้า} ^ {1- \ แกมมา} \ ขวา] \ ขวา) ^ \ frac {1- \ theta} {1- \ แกมมา}
\ end {} ชิด
ดังนั้นเราได้รับ $ C_t \ neq 0 $,
\ begin {align}
\ frac {1} {H (\ Phi)} = 1- \ frac {1} {1+ \ rho \ delta} \ left (E_t \ left [\ left (\ frac {C_ {t + \ delta}} {C_t } \ ขวา) ^ {1- \ แกมมา} \ ขวา] \ ขวา) ^ \ frac {1- \ theta} {1- \ แกมมา}
\ end {} ชิด
2) ค้นหา $ E_t \ left [\ left (\ frac {C_ {t + \ delta}} {C_t} \ right) ^ {1- \ gamma} \ right] $ fromp การเปลี่ยนแปลงของ GDP
เคล็ดลับคือการค้นหาความคาดหวังทางด้านขวามือจากการเปลี่ยนแปลงของ GDP
\ begin {align}
\ left (\ frac {Y_ {t + \ delta}} {Y_t} \ right) ^ {1- \ gamma} = \ exp \ left ((1- \ gamma) g \ delta \ right) \ exp \ left (ซ้าย (1- \ gamma) u_ {t + \ delta} \ right). \ exp \ left ((1- \ gamma) v_ {t + \ delta} \ right)
\ end {} ชิด
รับความคาดหวังและใช้ความเป็นอิสระระหว่าง $ u_ {t + 1} $ และ $ v_ {t + 1} $ มันเป็นไปตาม
\ begin {align}
E_t \ left (\ frac {Y_ {t + \ delta}} {Y_t} \ right) ^ {1- \ gamma} = \ exp \ left ((1- \ gamma) g \ delta \ right). E_t \ exp \ ซ้าย ((1- \ gamma) u_ {t + \ delta} \ right) .E_t \ exp \ left ((1- \ gamma) v_ {t + \ delta} \ right)
\ end {} ชิด
ความคาดหวังของ $ \ exp (X) $ โดย $ X $ ติดตาม $ \ mathcal {N} (0, \ sigma ^ 2) $ คือ $ \ exp (\ sigma ^ 2/2) $ $ \ exp \ left ((1- \ gamma) v_ {t + \ delta} \ right) $ เป็นตัวแปรสุ่มเท่ากับ $ 1 $ ที่มีความน่าจะเป็น $ 1-p \ delta $ และ $ (1-b) ^ {1- \ gamma} $ ด้วยความน่าจะเป็น $ p \ delta $
เราแทนที่ผู้ดำเนินการที่คาดหวัง:
\ begin {align}
E_t \ left (\ frac {Y_ {t + \ delta}} {Y_t} \ right) ^ {1- \ gamma} = \ exp \ left ((1- \ gamma) g \ delta \ right) \ exp \ left (\ frac {(1- \ แกมมา) ^ 2 \ ซิก ^ 2 \ เดลต้า} {2} \ ขวา). \ left (1-P \ เดลต้า + PE [(1-B) ^ {1- \ แกมมา}] \ เดลต้า \ ขวา)
\ end {} ชิด
สุดท้ายเราใช้ $ C_t = Y_t $ เพื่อคำนวณสมการสำหรับ $ \ Phi $:
\ begin {align}
\ frac {1} {H (\ Phi)} & amp; = 1- \ frac {1} {1+ \ rho \ delta} \ left \ lbrace \ exp \ left ((1- \ theta) g \ delta \ right ). \ ประสบการณ์ \ left (\ frac {(1- \ แกมมา) (1- \ theta) \ ซิก ^ 2 \ เดลต้า} {2} \ ขวา) \ ขวา. \\
& amp; \ left . \ left (1-P \ เดลต้า + PE [(1-B) ^ {1- \ แกมมา}] \ เดลต้า \ ขวา) ^ \ frac {1- \ theta} {1- \ แกมมา} \ ขวา \ rbrace
\ end {} ชิด
3) ใช้การประมาณ $ \ delta \ ถึง 0 $
ขั้นตอนสุดท้ายประกอบด้วยการประมาณลำดับที่หนึ่ง (ฉันใช้สัญลักษณ์ที่เท่ากัน):
\ begin {align}
\ frac {1} {H (\ Phi)} & amp; = 1- (1- \ rho \ delta) \ left (1+ (1- \ theta) กรัม \ เดลต้า \ ขวา). \ left (1+ \ frac {(1- \ แกมมา) (1- \ theta) \ ซิก ^ 2 \ เดลต้า} {2} \ ขวา ) \\
& amp; . \ left (1- \ frac {1- \ theta} {1- \ แกมมา} P \ เดลต้า + \ frac {1- \ theta} {1- \ แกมมา} PE [(1-B) ^ {1- \ แกมมา }] \ เดลต้า \ ขวา)
\ end {} ชิด
การติดตาม apprixmation ลำดับแรก ($ \ delta ^ i $ ทั้งหมดพร้อมกับ $ i & gt; 1 $ สามารถถูกละเลยได้) เรามี
\ begin {align}
\ frac {1} {H (\ Phi)} & amp; = \ rho \ delta - (1- \ theta) g \ delta- \ frac {(1- \ gamma) (1- \ theta) \ sigma ^ 2 \ เดลต้า} {2} \\
& amp; + \ frac {1- \ theta} {1- \ แกมมา} P \ delta- \ frac {1- \ theta} {1- \ แกมมา} PE [(1-B) ^ {1- \ แกมมา}] \ เดลต้า .
\ end {} ชิด
แทน $ g $ โดยใช้ $ g ^ * = g + \ frac {\ sigma ^ 2} {2} -pEb $,
\ begin {align}
\ frac {1} {H (\ Phi)} & amp; = \ rho \ delta - (1- \ theta) g ^ * \ delta + (1- \ theta) \ frac {\ sigma ^ 2} {2} \ delta - (1- \ theta) pEb \ delta - \ frac {(1- \ gamma) (1- \ theta) \ sigma ^ 2 \ delta} {2} \\
& amp; + \ frac {1- \ theta} {1- \ แกมมา} P \ delta- \ frac {1- \ theta} {1- \ แกมมา} PE [(1-B) ^ {1- \ แกมมา}] \ เดลต้า .
\ end {} ชิด
เรารับ $ \ delta = 1 $ และกลับฟังก์ชัน $ H $ เพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาในเชิงอรรถ 7 ของบทความ ทางด้านขวาของสมการนี้ "ลดความซับซ้อน" ให้กับเครื่องหมายวงเล็บด้านในของสูตร