การเสนอราคาแบบสุ่มที่เหมาะสมที่สุด

คำถามนี้มาจากเว็บไซต์นี้ที่ฉันอ่านบ่อยๆ

ผู้เล่นสองคนไปเล่นเกมโชว์สุดฮอตชื่อ“ Higher Number Wins” ทั้งสองเข้าไปในคูหาแยกกันและแต่ละอันก็กดปุ่มและตัวเลขสุ่มระหว่างศูนย์ถึงหนึ่งปรากฏบนหน้าจอ (ณ จุดนี้ไม่ทราบหมายเลขของผู้อื่น แต่พวกเขารู้ว่าหมายเลขถูกเลือกจากการแจกแจงชุดมาตรฐาน) พวกเขาสามารถเลือกที่จะเก็บหมายเลขแรกนั้นไว้หรือกดปุ่มอีกครั้งเพื่อยกเลิกหมายเลขแรกและรับวินาที ตัวเลขสุ่มซึ่งพวกเขาจะต้องเก็บ จากนั้นพวกเขาออกมาจากคูหาของพวกเขาและดูหมายเลขสุดท้ายของผู้เล่นแต่ละคนบนกำแพง รางวัลแกรนด์ฟุ่มเฟือย - กรณีที่เต็มไปด้วยทองคำแท่ง - มอบให้กับผู้เล่นที่รักษาจำนวนที่สูงขึ้น หมายเลขใดที่เป็นทางลัดที่ดีที่สุดสำหรับผู้เล่นที่จะยกเลิกหมายเลขแรกและเลือกหมายเลขอื่น? ใส่อีกวิธีหนึ่งภายในช่วงที่ควรเลือกเก็บหมายเลขแรก

นี่เป็นปัญหาการประมูลที่แปลกประหลาดมากกับผู้เล่นที่สมมาตร (ฉันถือว่าผู้เล่นมีความเสี่ยงที่เป็นกลาง) หรือเกมลอตเตอรี่ / เกมทฤษฎีที่แปลกมาก

คุณจะเข้าหาคำถามนี้ทางคณิตศาสตร์และคุณจะได้คำตอบอะไร? ไม่มีรางวัลสำหรับฉันที่จะได้รับคำตอบที่ถูกต้องกับปริศนาของเว็บไซต์ฉันแค่อยากรู้ สัญชาตญาณของฉันบอกฉันว่าการตัดยอดที่เหมาะสมคือ 0.5 เนื่องจากคุณมีโอกาส 50-50 ที่จะสูงหรือต่ำกว่าหมายเลขของคู่ต่อสู้ของคุณไม่ว่าเขา / เธอจะสุ่มหมายเลขสุ่มใหม่หรือไม่ แต่ฉันไม่แน่ใจ

ก่อนอื่นฉันจะแสดงให้เห็นว่า 0.5 (หรือ $\frac{1}{2}$) จุดตัดไม่ทำงานเป็นสมดุลสมมาตรจากนั้นคุณสามารถตัดสินใจด้วยตัวเองหากคุณต้องการคิดเกี่ยวกับปัญหาหรืออ่านคำตอบที่สมบูรณ์

ให้เราแสดงถึงจุดตัดโดย $c_x,c_y$. สมมติว่าผู้เล่นทั้งสองใช้กลยุทธ์$c = \frac{1}{2}$. ให้เราแสดงจำนวนผู้เล่น$x$ และ $y$ ตามลำดับโดย $x_1$ และ $y_1$ และจำนวนที่สองที่เป็นไปได้ $x_2$ และ $y_2$. สมมติ$x_1 = \frac{2}{3}$. ด้วยการรักษาความน่าจะเป็นนี้ไว้สำหรับผู้เล่น$x$ ชนะคือ

$$P\left(\frac{1}{2} \leq y_1 < \frac{2}{3} \right) + P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}.$$ นี่ก็หมายความว่า $\frac{2}{3}$เป็นค่ามัธยฐานของการแจกแจงนี้

สมมติว่าตอนนี้ $x_1 = \frac{1}{2}$. ด้วยการรักษาความน่าจะเป็นนี้ไว้สำหรับผู้เล่น$x$ ชนะคือ

$$P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$ แต่ถ้าเขาจะทิ้ง $x_1 = \frac{1}{2}$ เขามีความน่าจะเป็น $$P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_2\bigg) + P\left(y_1 \geq \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_1\bigg) = \frac{3}{8}$$ ของการชนะ $\frac{3}{8} > \frac{1}{4}$ ดังนั้นการรักษา $x_1 = \frac{1}{2}$ (และสภาพแวดล้อม) ไม่เหมาะสมดังนั้นจึงไม่สามารถเคลื่อนไหวได้อย่างสมดุล

---

แจ้งเตือนสปอยเลอร์

หากผู้เล่น $y$ มีการตัดออก $c_y$ และผู้เล่น $x$ ดึง $x_1 = c_y$ และทำให้มันน่าจะเป็นที่ผู้เล่น $x$ ชนะคือ

$$P(y_1 < c_y) \cdot P(y_2 < c_y ) = c_y \cdot c_y = c_y^2.$$ หากผู้เล่น $x$ จะทิ้งที่ไหน $x_1$ ความน่าจะเป็นที่เขาชนะคือ $$\begin{eqnarray*} P(y_1 \geq c_y) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c_y) \cdot P(x_2 > y_2) & = & (1 - c_y) \cdot \left(1- \frac{1 + c_y}{2} \right) + c_y \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$$ สมมติว่ามีความสมดุลสมมาตรนั่นคือ $c_x = c_y = c$.
(ฉันไม่คิดว่าดุลยภาพอื่นจะมีอยู่ แต่ฉันไม่ได้พิสูจน์มัน)
เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะชนะนั้นต่อเนื่องตามมูลค่าของ$x_1$ค่าการตัด $c$ เป็นเช่นนั้นถ้า $x_1 = c$ ความน่าจะเป็นในการชนะจะเท่ากันเมื่อ $x_1$จะถูกเก็บไว้และเมื่อมันถูกทิ้ง ซึ่งหมายความว่า $$\begin{eqnarray*} P(y_1 < c) \cdot P(y_2 < c) & = & P(y_1 \geq c) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c) \cdot P(x_2 > y_2) \\ \\ c \cdot c & = & (1 - c) \cdot \left(1 - \frac{1+c}{2}\right) + c \cdot \frac{1}{2} \\ \\ c^2 & = & \frac{1}{2} - c + \frac{c^2}{2} + \frac{c}{2} \\ \\ \frac{1}{2} \cdot c^2 + \frac{c}{2} - \frac{1}{2} & = & 0 \\ \\ c & = & \frac{\sqrt{5} - 1}{2}. \end{eqnarray*}$$

สมมติว่าคนที่ 1 เลือกทางลัด $c_1$ และคนที่ 2 เลือกตัดยอดจาก $c_2$กับ $c_2\ge c_1$. ปล่อย$p_1(x)$ เป็นความน่าจะเป็นที่จำนวนสุดท้ายของบุคคลที่ 1 ไม่เกิน $x$. $p_1(x)$ เท่ากับ $c_1x$ ถ้า $x<c_1$ และ $c_1x+x-c_1$มิฉะนั้น. กำหนด$p_2(x)$เหมือนกับ ตอนนี้พล็อต$p_2(x)$ ต่อต้าน $p_1(x)$ บนพล็อตพารามิเตอร์สำหรับ $0\le x\le1$. ผลลัพธ์คือสามส่วนของเส้น:

• หนึ่งจาก $(0,0)$ ถึง $(c_1^2,c_1c_2)$สอดคล้องกับ $0\le x\le c_1$;
• หนึ่งจาก $(c_1^2,c_1c_2)$ ถึง $(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$สอดคล้องกับ $c_1\le x\le c_2$;
• หนึ่งจาก $(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$ ถึง $(1,1)$สอดคล้องกับ $c_2\le x\le1$.

ส่วนของเส้นสามเส้นนี้แบ่งตารางหน่วยออกเป็นสองส่วน พื้นที่ของส่วนใต้กราฟคือความน่าจะเป็นที่บุคคล 1 มีจำนวนสูงกว่า เรขาคณิตบางอันแสดงว่าบริเวณนี้เป็น$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(c_2-c_1)(c_1c_2+c_2-1)$. เพื่อให้มีความสมดุลที่มั่นคงทั้งอนุพันธ์ย่อยของสิ่งนี้จะต้องเป็นศูนย์เช่น

$$1-c_2-2c_1c_2+c_2^2=0\\-1-c_1+2c_2-c_1^2+2c_1c_2=0$$

การเพิ่มสมการแสดงให้เห็นว่า $(c_2-c_1)(1+c_1+c_2)=0$ซึ่งเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ $c_1=c_2$. กลับมาเป็นสมการหนึ่ง$1-c_1-c_1^2=0$ดังนั้นดุลคงตัวเดียวจึงอยู่ที่ $c_1=c_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.