Quasilinear Utility: Optimized Pareto หมายถึงการทำให้เกิดประโยชน์สูงสุดจาก Total Utility?

ฉันอ่านว่าถ้าเรามียูทิลิตี้ quasilinear สำหรับผู้บริโภคทุกคนการจัดสรรที่เหมาะสมที่สุดของพาเรโตจะเพิ่มผลรวมของระดับยูทิลิตี้ของผู้บริโภคทั้งหมด นั่นคือ:

$\textbf{What we know:}$

$$1)\quad u^i(m^i,x^i)=m^i+\phi^i(x^i)\; \quad \forall i=1,...,I$$ $$2)\quad\phi^i(\;)\;\text{is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)}$$ $$3)\quad \text{An allocation,}\,x\, \text{satisfies}\;\neg\,\exists\,\hat{x}\; s.t. \;\hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)\geq m^i+\phi(x^i)\;\forall i$$ $$\text{and} \quad \hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)> m^i+\phi(x^i)\,\text{for some}\,i$$

$\textbf{What to show:}$

$$x\;\text{solves}\;max\sum_{i=1}^Im^i+\phi^i(x^i)$$

ใครสามารถแสดงหลักฐานนี้ ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก!

$\textbf{Edit:}\,$ฉันไม่รู้ว่านี่เป็นเส้นทางที่ถูกต้องหรือไม่ แต่โดยการเพิ่มคุณสมบัติที่เข้มงวดของ , ความพึงพอใจไม่ใช่ความพึงพอใจของคนในท้องถิ่นซึ่งหมายความว่าพวกเขาตอบสนองทฤษฎีสวัสดิการแรก ทีนี้ถ้าฉันสามารถหาได้ว่าการจัดสรรที่เหมาะสมที่สุดของพาเรโต้นั้นเป็นดุลยภาพที่แข่งขันได้กับยูทิลิตี้ quasilinear หรือไม่ $\phi(\,)$

แก้ไข:กรณีขอบดูด; ดูความคิดเห็น ดูเพิ่มเติม MWG บทที่ 10 ส่วน C, D

---

สมมติว่าแก้ไขได้$(\vec x^*, \vec m^*)$

$$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$$

แต่ไม่ใช่ Pareto ที่ดีที่สุด

$$\begin{align} \implies \exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad & u_i(x_i', m_i') \geq u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \forall \ i = 1,\cdots,I \\ & u_i(x_i', m_i') > u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \text{for some} \ i \end{align}$$

$$\implies \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)$$

ซึ่งเป็นความขัดแย้ง หากเรามีวิธีแก้ไขปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพของยูทิลิตี้มันจะต้องเป็นพาเรโตที่ดีที่สุด

(โปรดทราบว่าสิ่งนี้มาในรูปแบบต่อเนื่องและเพิ่มคุณสมบัติของ )$\phi(\cdot)$

---

สมมติว่าเป็นการจัดสรรที่เหมาะสมที่สุดของ Pareto แต่ไม่สามารถแก้ไขได้$(\vec x^*, \vec m^*)$

$$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$$

เนื่องจากเราปฏิบัติต่อในฐานะ numeraire และกำลังเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดเราจึงรู้ว่านั้นไม่ได้อยู่ในพื้นที่ การจัดสรร Pareto ควรเป็นไปได้$m_i$$\phi_i(\cdot)$$u_i(\cdot)$

$$\exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)\\ \implies \boxed{ \sum^I_{i=1} \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} \phi_i(x^*_i)}$$

หากนี่เป็นความจริงเพราะการจัดสรรทางเลือกนี้จะให้มากขึ้นสำหรับแต่ละคนเท่ากันดังนั้นการจัดสรรทางเลือกนั้นเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นเราจะมีความขัดแย้ง$x$

หากนี่เป็นความจริงเพราะในการจัดสรรทางเลือกคนอื่นจะได้รับการจัดสรรมากกว่าและมีเพียงคนอื่นที่ได้รับการจัดสรรน้อยกว่าดังนั้นการจัดสรรดั้งเดิมจะไม่เหมาะสมกับพาเรโต สมมติว่ามันเป็น หากคุณใช้การจัดสรรดั้งเดิมและเลื่อนในทางของการจัดสรรใหม่คุณจะต้องมีการแลกเปลี่ยนที่สอดคล้องกันใน numeraire good, , เพื่อให้ผู้ที่สูญเสียอย่างน้อยในระดับยูทิลิตี้เดียวกัน แต่การค้าขายในสินค้าที่ดีของ numeraire ไม่สามารถเปลี่ยนยูทิลิตี้รวมที่สรุปได้ จากการจัดสรรดั้งเดิมหากคุณสามารถแลกเปลี่ยนสำหรับ$x$$x$$m$$x$$m$$x$และทำให้คนอื่นดีขึ้นโดยไม่ทำร้ายใครคุณไม่ได้อยู่ที่ Pareto ที่เหมาะสมและถ้าคุณไม่สามารถแลกเปลี่ยนสำหรับเพื่อทำให้ใครบางคนดีขึ้นคุณจะไม่สามารถเพิ่มยูทิลิตี้รวมที่รวมซึ่งหมายความว่าการจัดสรรเดิมเป็น ทางออกสำหรับปัญหาการขยายใหญ่สุด$m$$x$

ตรรกะนี้ใช้ไม่ว่าคุณจะเรียงลำดับระหว่างคนหลายคนอย่างไร$x$

$\square$

ฉันไม่คิดว่ามันเป็นเรื่องจริงในระบบเศรษฐกิจแลกเปลี่ยนมาตรฐานที่เป็นคำถามที่กล่าวถึง พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้: สมมติว่า

$I = \{1,2\}$และและm_2$u_1(x_1, m_1) = \sqrt{x_1} + m_1$$u_2(x_2, m_2) = \sqrt{x_2} + m_2$

และปล่อยให้ชุดของการจัดสรรเป็นไปได้

$\{((x_1, m_1), (x_2, m_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+: x_1+x_2 = 2, m_1+m_2 = 2 \}$\}

ขอให้สังเกตว่าการจัดสรรเป็นแบบ Pareto ที่มีประสิทธิภาพ แต่ไม่รวมผลรวมของอรรถประโยชน์สูงสุด เหตุผลคือการจัดสรรให้ผลรวมที่สูงขึ้น$a_1 = ((x_1, m_1), (x_2, m_2)) = ((2,2),(0,0))$$a_2 = ((1,1),(1,1))$

$u_1(2,2) + u_2(0,0) = \sqrt{2} + 2 < 2 + 2 = u_1(1,1) + u_2(1,1)$(1,1)

ฉันเชื่อว่าคุณกำลังอ้างถึงผลลัพธ์ต่อไปนี้: การจัดสรร PE ใด ๆ เพิ่มสูงสุดแต่มันยากที่จะรู้อย่างแม่นยำเนื่องจากคุณไม่เฉพาะเจาะจงเกี่ยวกับ ความเป็นไปได้$\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$

ให้ฉันเจาะจงมากขึ้น สำหรับแต่ละ ,{R} การจัดสรรคือ{I} ชุดของการจัดสรรที่เป็นไปได้คือ\} ยูทิลิตี้ของจากคือโดยที่เพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวด$i\in\{1,\ldots,I\}$$(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}$$a=(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}$$F=\{(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}|(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\forall i\in\{1,\ldots,I\},\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x},\sum_{i=1}^{I}m_{i}\leq c_{m}\}$$i\in\{1,\ldots,I\}$$a\in F$$u_{i}(a)=m_{i}+\phi_{i}(x_{i})$$\phi_{i}$

คำจำกัดความของการจัดสรร PE เป็นมาตรฐาน:คือ PE หากเช่นนั้นสำหรับและสำหรับบางฉัน$a\in F$$\nexists a'\in F$$u_{i}(a')\geq u_{i}(a)$$i$$u_{i}(a')>u_{i}(a)$$i$

ตอนนี้ฉันอ้างว่าถ้าคือ PE ดังนั้นคือทางออกของหรือการสร้าง การขยายใหญ่สุดด้วยความเคารพ s ชัดเจนเซนต์{x}$a$$a$$\displaystyle\max_{a\in F}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$$x_{i}$$\displaystyle\max_{(x_{i})_{i=1}^{I}\in\mathbb{R}_{+}^{I}}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$$\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x}$

ฉันจะไม่พิสูจน์ข้อเรียกร้องที่นี่ แต่ความคิดหลักนั้นง่ายและมีดังนี้ สมมติว่าเป็น PE แต่ไม่สามารถแก้ปัญหาการขยายให้ใหญ่สุดได้ แล้วเราสามารถพบอีกเป็นไปได้ดังกล่าวว่า{*}) จริงใน , เมื่อเทียบกับ , เอเจนต์ที่แย่กว่านั้น แต่เราสามารถใช้เงิน, s, เพื่อทำให้พวกมันมีค่าเท่ากันภายใต้และยังเหลืออยู่ ด้วยเงินจำนวนหนึ่งเนื่องจากเราเพิ่มผลรวมของยูทิลิตี้ที่มาจาก s$a^{*}$$a'$$\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}')>\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}^{*})$$a'$$a^{*}$$m_{i}$$a^{*}$$x_{i}$

อีกวิธีที่จะพูดได้ว่านี่คือผลรวมของยูทิลิตี้จากคือ{i}) ตอนนี้การจัดสรรที่ไม่สิ้นเปลืองจะมีคำเหมือนกันหมด$a\in F$$\sum_{i=1}^{I}m_{i}+\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$$a\in F$

อีกวิธีที่จะคิดเกี่ยวกับสิ่งนี้คือ s กำหนดขนาดของวงกลมและเงิน s กำหนดการกระจาย โดย quasi-linearity การลดโดยหนึ่งหน่วยและการเพิ่มโดยหนึ่งหน่วยทำให้ใบไม้ไม่เปลี่ยนแปลง นี้ไม่เป็นความจริงสำหรับและ{J}$x_{i}$$m_{i}$$m_{i}$$m_{j}$$m_{i}+m_{j}$$x_{i}$$x_{j}$

นี่ก็หมายความว่าที่แก้ปัญหาการขยายสูงสุดคือ PE$a\in F$