ความล่าช้าในการถ่ายทอดความรู้ไปยังประเทศยากจน

สมมติว่าโลกประกอบด้วยสองภูมิภาคภาคเหนือและภาคใต้ที่มีฟังก์ชั่นการผลิตและเทคโนโลยีล่าช้าในภาคใต้ $ \ tau $ ปี:

$$ Y_N = A_N (t) (1-a_L) L_N; \; \; \ dot {A} _N = a_L L_N A_N (t) $$

$$ Y_S = A_S (t) L_S; \; \; A_S = A_N (t - \ tau) $$

อัตราการเติบโตของผลผลิตต่อคนงานในภาคเหนือคือ $ 3 \% \; ปี ^ {- 1} $ และถ้า $ a_L \ simeq 0 $, $ \ tau $ จะต้องเป็นผลผลิตต่อคนงานในภาคเหนือที่จะเกินกว่าในภาคใต้โดยปัจจัย 10?

สำหรับผลผลิตต่อคนงานในภาคเหนือจะสูงกว่านั้นในภาคใต้ด้วยปัจจัยสิบ:

$$ 10 = \ frac {Y_N / L_N} {Y_S / L_S} = \ frac {A_N (t) (1-a_L)} {A_S (t)} $$

ด้วย $ a_L \ simeq 0 $ สิ่งนี้จะไป

$$ \ to \ frac {A_N (t)} {A_N (t- \ tau)} $$

หนังสือของฉันบอกว่านี่เท่ากับ $ e ^ {0.03 \ tau} $

มีคนช่วยอธิบายผลลัพธ์สุดท้ายของเรื่องนี้ได้ไหม

โดยสัญกรณ์ที่ใช้ปริมาณแรงงานดูเหมือนจะคงที่ ดังนั้นแหล่งเดียวของการเติบโตของผลผลิตคือการเติบโตใน $ A_N (t) $ และพวกเขาจะมีการเติบโตแบบเดียวกัน อัตรา . ใช้ลอการิทึมจากนั้นใช้เวลาอนุพันธ์บนผลลัพธ์ต่อสมการของประชากรเพื่อดูสิ่งนี้ จากนั้นให้จำสมการเชิงอนุพันธ์เบื้องต้นเบื้องต้นเกี่ยวกับวิธีแสดง $ x (t) $ เป็นฟังก์ชันของ $ x (0) $ และอัตราการเติบโตคงที่ และอย่าลืมที่จะแก้ปัญหาอย่างชัดเจนสำหรับ 10 - ความแตกต่างของตัวกรองที่ต้องการในตอนท้าย