สภาพความเป็นปึกแผ่นของ Diagonal Strict

พิจารณาเกมกับผู้เล่นที่มีพื้นที่กลยุทธ์ที่เป็นที่สิ้นสุดชุดและผู้เล่นของฟังก์ชั่นผลตอบแทน {R} สภาพของโรเซ็น ( JB Rosen. การดำรงอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของคะแนนสมดุลสำหรับเกม n- คนเว้า Econometrica, 33 (3): 520–534, 1965 ) สำหรับเอกลักษณ์ของสมดุลแนชในผู้เล่นเกม $n$ $S \subset \mathbb{R}$ $S$ $i$ $\pi_i:S^n \rightarrow \mathbb{R}$

ฟังก์ชั่นการจ่ายผลตอบแทน เป็นเว้าในกลยุทธ์ของตัวเอง $\pi_i(\textbf{s}) \; i \in N$
มีเวกเตอร์ (ฟังก์ชันนี้เป็นแนวเว้าอย่างเคร่งครัด $\textbf{z}$ $(\forall i \in N)(z_i \geq 0)\ \wedge (\exists i \in N) (z_i >0)$ $\sigma(\mathbf{s}, \mathbf{z})=\sum_{i=1}^{n}z_i\pi_i({\textbf{s}})$

$N$ หมายถึงชุดของผู้เล่น

เพื่อกำหนดแนวความคิดของความเข้มงวดเข้มงวดในแนวทแยงหมัดแนะนำ pseudogradient ของฟังก์ชัน , กำหนดด้วย: จากนั้นฟังก์ชั่นพูดอย่างโดดเด่นในแนวทแยงสำหรับการแก้ไขถ้าสำหรับทุกถือต่อไปนี้: $\sigma$

\begin{aligned} g (s, z) = (\begin{matrix} z_{1} \frac{\partial π_{1} (s)}{\partial s_{1}} \\ z_{2} \frac{\partial π_{2} (s)}{\partial s_{2}} \\ . . . \\ z_{n} \frac{\partial π_{n} (s)}{\partial s_{n}} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} g(\mathbf{s},\mathbf{z}) = \begin{pmatrix} z_1\frac{\partial \pi_1(\mathbf{s})}{\partial s_1} \\ z_2\frac{\partial \pi_2(\mathbf{s})}{\partial s_2} \\ ... \\ z_n\frac{\partial \pi_n(\mathbf{s})}{\partial s_n}% \end{pmatrix} \end{align}$

σ

$\sigma$

s \in S

$\mathbf{s} \in S$

z \geq 0

$\mathbf{z} \geq 0$

s^{0}, s^{1} \in S

$\mathbf{s}^0, \mathbf{s}^1 \in S$

\begin{aligned} (s^{1} - s^{0})^{'} g (s^{0}, z) + (s^{0} - s^{1})^{'} g (s^{1}, z) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} (\mathbf{s}^1 - \mathbf{s}^0)'g(\mathbf{s}^{0}, \mathbf{z}) + (\mathbf{s}^0 - \mathbf{s}^1)'g(\mathbf{s}^{1}, \mathbf{z})>0 \end{align}$

มันแสดงให้เห็นในกระดาษที่ฉันอ้างถึงในตอนแรกว่าเงื่อนไขเพียงพอสำหรับจะเป็นแนวทแยงมุมเว้าเข้มงวดเมทริกซ์เป็นผลบวกลบสำหรับที่คือ Jacobian แห่ง pseudogradientด้วยความเคารพ{s} ฉันใช้ 'เพื่อแสดงถึงการเปลี่ยนตำแหน่งของเมทริกซ์ สัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังสภาพเว้าที่เข้มงวดในแนวทแยงคืออะไร? $\sigma$ $\left[G(\mathbf{x}, \mathbf{z}) +G(\mathbf{x}, \mathbf{z})' \right]$ $\mathbf{s} \in S$ $G(\mathbf{x}, \mathbf{z})$ $g$ $\mathbf{s}$

game-theory nash-equilibrium

— Nidjsi
แหล่งที่มา

ดังนั้นคุณจึงต้องการที่จะหาสูงสุดของz) หากเป็นเว้าตามแนวทแยงอย่างเคร่งครัดคุณสามารถทำได้โดยเริ่มจากจุดใดก็ได้แล้วไล่ตามไล่ระดับจนกว่าคุณจะพบจุดสูงสุดและไม่ว่าคุณจะเริ่มต้นที่ใดคุณจะจบที่จุดเดียวกันเสมอ (เริ่ม ที่จุดสีดำด้านล่างและทำตามทิศทางของการไล่ระดับสี (ทิศทางของทางขึ้นชัน) $\sigma(s,z)$ $\sigma$ $g(s,z)$

อย่างไรก็ตามหากไม่ได้เว้าอย่างเคร่งครัดคุณสามารถจบลงที่ maxima ที่แตกต่างกันโดยเริ่มต้นที่จุดตามอำเภอใจและไล่ตามการไล่ระดับสี (ตามทิศทางของทางขึ้นชันที่เริ่มต้นจากจุดสีดำล่างสองจุดคุณจะสิ้นสุด ที่จุดที่แตกต่างกันสอง.) $\sigma$

— muxamilian
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ! สิ่งที่คุณเขียนนั้นเป็นหนึ่งในผลลัพธ์ในกระดาษต้นฉบับของ Rosen เมื่อฉันพูดปรีชาฉันหมายถึงทรัพย์สินของการโต้ตอบเชิงกลยุทธ์ในเกมที่ถูกจับโดยเงื่อนไขที่เข้มงวด ตัวอย่างเช่นเงื่อนไขนี้บอกบางสิ่งเกี่ยวกับการกระทำของผู้เล่นคนอื่นที่มีผลต่อการจ่ายเงินของผู้เล่นที่ฉันเล่นหรือการกระทำของผู้เล่นที่ฉันส่งผลต่อการจ่ายเงินของผู้เล่นคนอื่นในเกม ขออภัยถ้าฉันยังไม่ชัดเจนพอในคำถาม

— Nidjsi