LEN-Model สมมูล

ตำแหน่งเริ่มต้นคือตัวจำลองตัวแทนพร้อมข้อมูลที่ไม่สมบูรณ์ (อันตรายจากศีลธรรม) และคุณสมบัติต่อไปนี้:

ยูทิลิตีตัวแทน: $u(z)=-e^{(-r_az)}$
ยูทิลิตี้หลัก: $B(z)=-e^{(-r_pz)}$
ระดับความพยายาม $e\in \Bbb R$
ผลลัพธ์ $x\in \Bbb R, x\sim N(\mu(e), \sigma), \mu'(e)>0, \mu''(e)\le0$
สัญญา: $w(x)=a+bx$ ,

โดยที่ $r_A$ และ $r_P$ คือการวัด Arrow – Pratt ของการหลีกเลี่ยงความเสี่ยงอย่างสมบูรณ์สำหรับตัวแทนและตัวเงินต้นตามลำดับ

ฉันกำลังมองหาสัญญาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับเงินต้นที่จะเสนอให้กับตัวแทนเมื่อความพยายามของตัวแทนไม่สามารถมองเห็นได้ ยูทิลิตี้ของอาจารย์ใหญ่สามารถเขียนได้ดังนี้:

U^{P} (e, a, b) = \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x

$U^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx$

ฉันต้องการแสดงให้เห็นว่าการถือครองความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ซึ่งหมายความว่าการเพิ่มสูงสุดของยูทิลิตี้ของครูใหญ่สามารถเขียนเป็น RHS ของความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

max_{e, a, b} \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x \Leftrightarrow max_{e, a, b} (1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{P}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2}

$\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2$

โดยที่เป็นฟังก์ชั่นความหนาแน่นของตัวแปรสุ่มปกติด้วยคาดว่าค่าและความแปรปรวน 0 $f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}$ $x\sim N(\mu(e),\sigma)$ $\mu(e)$ $\sigma>0$

ฉันพยายามที่จะใช้รูปแบบที่ชัดเจนของใน LHS จัดการมันเล็กน้อยแล้ว itegrate แต่ไม่สามารถได้รับความเท่าเทียมกัน $f(x|e)$

expected-utility asymmetric-information principal-agent

— Fusscreme
แหล่งที่มา

จุดหลักคือการที่ครูใหญ่คาดว่ายูทิลิตี้จากผลตอบแทนเงื่อนไขในระดับหนึ่งของความพยายามของสามารถเขียนเป็น $z$ $e$

E [z | e] - \frac{r_{p}}{2} Var (z | e) .

$\text{E}[{z}|e] - \frac{r_p}{2}\text{Var}(z|e).$

กล่าวอีกนัยหนึ่งเนื่องจากความมั่งคั่งมีการกระจายตามปกติยูทิลิตี้เอ็กซ์โปเนนเชียลมีการแสดงค่าความแปรปรวนแบบง่าย ๆ สำหรับแหล่งที่มาให้ดูที่นี่

ฉันจะเอามันที่หลักของผลตอบแทนเท่ากับจากนั้นตรงไปตรงมาเพื่อคำนวณค่าเฉลี่ย (เงื่อนไข) และความแปรปรวนของ : $z$ $x - w(x) = (1 - b)x - a$ $z$

E [z | e] = (1 - b) E [x | e] - E [a] = (1 - b) μ (e) - a,

$\text{E}[z|e] = (1 - b)\text{E}[x|e] - \text{E}[a] = (1 - b)\mu(e) - a,$

Var [z | e] = (1 - b)^{2} Var (x | e) - Var (a) = (1 - b)^{2} σ^{2} .

$\text{Var}[z|e] = (1 - b)^2 \text{Var}(x|e) - \text{Var}(a)= (1 - b)^2\sigma^2.$

ตามด้วยยูทิลิตี้หลักที่คาดว่าจะสามารถเขียนเป็น

(1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{p}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2} .

$(1 - b)\mu(e) - a - \frac{r_p}{2}(1 - b)^2\sigma^2.$