CES: ฟังก์ชันการผลิต: ความยืดหยุ่นของการทดแทน

10

ฉันต้องพิสูจน์ว่า $\sigma = 1/(1 + \rho)$ สำหรับฟังก์ชั่นการผลิตในงาน CES:

\begin{aligned} q = (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ}} \end{aligned}

$\begin{align} q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho} \end{align}$

ฉันพบว่าฉันต้องแก้สมการต่อไปนี้:

\begin{aligned} σ = \frac{\frac{d (k / l)}{k / l}}{\frac{d R T S}{R T S}} = \frac{d (k / l)}{d R T S} \frac{R T S}{k / l} = \frac{d (k / l)}{d ((k / l)^{1 - ρ})} \frac{(k / l)^{1 - ρ}}{k / l} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma = \frac{\frac{d(k/l)}{k/l}}{\frac{dRTS}{RTS}} = \frac{d(k/l)}{dRTS}\frac{RTS}{k/l} = \frac{d(k/l)}{d((k/l)^{1-\rho})}\frac{(k/l)^{1-\rho}}{k/l} \end{align}$

แต่ฉันไม่รู้วิธีเขียนนิพจน์นี้อีกครั้ง $\sigma = 1/(1 + \rho)$

production-function

— frankfranfrank
แหล่งที่มา

ตรวจสอบตัวอย่างสำหรับการผลิต Cobb Douglas และพยายามแก้ปัญหาสำหรับงาน CES en.wikipedia.org/wiki/Elasticity_of_substitution

— clueless

9

ฟังก์ชั่นการผลิตคือ:

q = (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ}}

$q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho}$ MPL และ MPK ตามลำดับ:

q_{l} = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot l^{ρ - 1}

$q_l = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}$

q_{k} = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}

$q_k = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}$ อัตราที่ l สามารถใช้แทน k คืออะไร?

ที่ไหน $f$ เป็นฟังก์ชั่นมูลค่าที่แตกต่างกันจริงของตัวแปรเดียวเรากำหนดความยืดหยุ่นของ f (x) เทียบกับ x (ณ จุด x)

σ (x) = \frac{x f^{'} (x)}{f (x)} \equiv \frac{\frac{d f (x)}{f (x)}}{\frac{d x}{x}}

$\sigma(x) = \frac{x f'(x)}{f(x)}\equiv \frac{\frac{df(x)}{f(x)}}{\frac{dx}{x}}$

ทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเช่นนั้น $u = ln(x)$ ( $\rightarrow x = e^u$ ) และ $v=ln(f(x))$ ( $\rightarrow f(x) = e^v$ )
สังเกตได้ว่า $v' = f'(x) / f(x)$ และ $u'=\frac{1}{x}$ ดังนั้น $\frac{v^{'}}{u^{'}} = \frac{\frac{f^{'} (x)}{f (x)}}{\frac{1}{x}} = σ (x)$ $\frac{v'}{u'}=\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{1}{x}} = \sigma(x)$
โปรดทราบว่านี่เป็นผลลัพธ์ที่คุณได้รับจากการแก้ไข $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)}$ เพราะ $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)} = \frac{d v}{d u}$ ซึ่งเราแก้ปัญหาผ่านกฎลูกโซ่: $\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f^{'} (x)}{f (x)} \cdot x$ $\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot x$ ซึ่งเกิดขึ้นกับคำจำกัดความของ $\sigma(x)$ .

ทีนี้ลองมาแก้ปัญหาความยืดหยุ่นของคุณกัน

l n (\frac{q_{k}}{q_{l}}) = l o g (\frac{\frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot l^{ρ - 1}}{\frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}}) = l n (\frac{l}{k})^{ρ - 1} = (ρ - 1) l n (l / k) = (1 - ρ) l n (k / l)

$ln(\frac{q_k}{q_l})= log(\frac{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}}{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}}) = ln (\frac{l}{k})^{\rho-1} = (\rho-1) ln (l/k) = (1 - \rho) ln (k/l)$

\Rightarrow l n (k / l) = \frac{1}{1 - ρ} \cdot l n (\frac{q_{k}}{q_{l}})

$\Rightarrow ln (k/l) = \frac{1}{1-\rho} \cdot ln(\frac{q_k}{q_l})$

ดังนั้น $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$

— BKay
แหล่งที่มา

\frac{1}{ρ}

$\frac{1}{\rho}$ และ

ρ

$\rho$ สามารถลดลงได้จากอนุพันธ์ MPL และ MPK เพื่อลดความซับซ้อนของการแสดงออก

— garej

0

ฉันต้องการเพิ่มคำตอบข้างบนเล็กน้อย ฉันเขียนความคิดเห็นก่อนหน้านี้ แต่ฉันคิดว่ามันจะมีประโยชน์มากขึ้นในการคัดค้านการโต้เถียงอีกเล็กน้อย

เรามี บริษัท ที่ใช้ปัจจัยการผลิตสองอย่างคือแรงงาน $l$ และทุน $k$ เพื่อผลิตผลผลิต ปริมาณของเอาต์พุตถูกเขียน $q$ .

ความยืดหยุ่นของฟังก์ชันของตัวแปรเดียววัดการตอบสนองเปอร์เซ็นต์ของตัวแปรตามการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ในตัวแปรอิสระ

ในทางกลับกันความยืดหยุ่นของการทดแทนระหว่างปัจจัยป้อนเข้าสองตัววัดการตอบสนองเปอร์เซ็นต์ของอัตราส่วนของปริมาณกับการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ในผลิตภัณฑ์ที่สัมพันธ์กัน

ที่เกี่ยวข้องกับข้างต้นเรามีความยืดหยุ่นที่ได้รับจาก

\begin{aligned} σ \equiv \frac{d LN (k / ล.)}{d LN (M P L / M P K)} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma \equiv \frac{d \ln{\left( k/l \right)}}{d\ln{ \left( MPL/MPK \right)}} \end{align}$

ที่ไหน $MPL$ เป็นผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่มของแรงงานและ $MPK$ เป็นผลผลิตส่วนเพิ่มของเงินทุน

เหตุผลที่ฉันเขียนออกมานี้คือมีข้อผิดพลาดเล็กน้อยในคำตอบข้างต้น ในสมการหลังจาก "ตอนนี้ลองจัดการปัญหาความยืดหยุ่นของคุณ" $\ln{\frac{q_k}{q_l}}$ ตามด้วยการแสดงออกในทันที $\ln{\frac{q_l}{q_k}}$ การสลับตัวเศษด้วยตัวส่วน

หากคุณแก้ไขสิ่งนี้คุณจะได้รับสิ่งนั้น $\sigma = -\frac{1}{1-\rho}$ ซึ่งใกล้เคียง แต่ไม่ค่อยถูกต้องนัก เพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้องคุณจะต้องปฏิบัติตามการคำนวณแบบเดียวกันกับที่ได้รับจากคำตอบข้างต้น

LN k / ล. = \frac{1}{1 - ρ} \cdot LN \frac{Q_{ล.}}{Q_{k}}

$\ln{k/l} = \frac{1}{1-\rho}\cdot \ln {\frac{q_l}{q_k}}$

เพื่อให้ได้ $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$ ซึ่งการแก้ไขนั้นมีเหตุผลตามที่กล่าวไว้ข้างต้น

— mathsquestions1
แหล่งที่มา