เกี่ยวกับ Ms. Exponential กับ Ms. Hyperbolic vignette

ฉันได้พบอุปมาอุปมัยเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่อ้างว่าเพื่อแสดงว่าทำไมการลดราคาแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลจึงเหนือกว่าการลดไฮเปอร์โบลิก¹ :

การโค้งคำนับที่ยิ่งใหญ่กว่า [ของกราฟลดไฮเพอร์โบลิกลดต่ำลง] หมายความว่าหากเครื่องมือลดไฮเพอร์โบลิกมีส่วนร่วมในการค้าขายกับคนที่ใช้เส้นโค้งเอ็กซ์โปเนนเชียล นางสาวเอกซ์โปเนนเชียลสามารถซื้อเสื้อหนาวของไฮเปอร์โบลิกอย่างถูกทุกฤดูใบไม้ผลิเพราะระยะทางถึงฤดูหนาวครั้งหน้าจะทำให้ราคาของนางสาวเอชมากกว่าของอี นางสาวอีสามารถขายเสื้อโค้ทกลับไปหาคุณเอชได้ทุกฤดูใบไม้ร่วงเมื่อฤดูหนาวเข้าใกล้ได้ส่งการประเมินมูลค่าของเอชเอชให้สูงขึ้น

รูปที่ตัดตอนมาหมายถึงลักษณะคล้ายหนึ่งที่แสดงด้านล่างที่แตกต่างที่โดดเด่นที่สุดที่ฉันได้เพิ่มตำนานเพื่อระบุว่าเป็นเส้นโค้งที่²ร่วมกับแบบฟอร์มการวิเคราะห์ของฟังก์ชั่นส่วนลดที่ใช้จริง3

แต่สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าข้อโต้แย้งตามที่ปรากฏด้านบนนั้นเป็นของปลอม เป็นที่ชัดเจนว่าการประเมินมูลค่าใดที่จะถูกกดดันมากขึ้นขึ้นอยู่กับเวลา ดังนั้นข้อโต้แย้งที่เหมือนกันกับบทบาทของ Ms. E และ Ms. H ที่กลับกันจะทำงานกับเวลาใดก็ได้ระหว่างจุดที่เส้นโค้งตัดกับแกนตั้ง

ในความเป็นจริงทางเลือกหนึ่งของค่าสัมประสิทธิ์สำหรับเส้นโค้งเกินความจริงและชี้แจงโค้งชี้แจงหดหู่มากกว่าหนึ่งผ่อนชำระสำหรับทุกจุดเวลา ตัวอย่างเช่น:

ปรากฎว่าเส้นโค้งเอ็กซ์โปเนนเชียลสีเขียวด้านบนตัดกันโค้งไฮเพอร์โบลิกที่ค่าเดียวเท่านั้น $t$คือ $t = 0$(เช่นในเวลาที่ระบุโดยแกนตั้ง) เพื่อทุกสิ่ง$t < 0$เส้นโค้งเลขชี้กำลังสีเขียวนั้นต่ำกว่าค่าไฮเพอร์โบลิกอย่างเคร่งครัด

ซึ่งหมายความว่าหากเส้นโค้งการลดแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลของนางสาวอีนั้นเป็นสีเขียวคุณก็จะสามารถทำให้เธอหมดกำลังใจได้อย่างรวดเร็วโดยใช้กลยุทธ์ที่อธิบายไว้ในข้อความที่ตัดตอนมาและสิ่งนี้จะเป็นจริงโดยไม่คำนึงถึงระยะเวลาระหว่าง การซื้อและหลังการขายเสื้อหนาว

โดยสรุปแล้วข้อความที่ตัดตอนมาสำหรับความเหนือกว่าของการลดแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลมากกว่าการลดไฮเพอร์โบลิกนั้นไม่ถือน้ำ

ตอนนี้ฉันรู้ว่าข้อความที่ตัดตอนมานั้นไม่ได้เข้มงวดมากนักและอาจมีวิธีที่น่าเชื่อถือมากขึ้นในการแสดงให้เห็นถึงความเหนือกว่าของการลดแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลมากกว่าการลดไฮเพอร์โบลิก ถ้าเป็นเช่นนั้นมันคืออะไร? โดยเฉพาะฉันต้องการทราบสิ่งต่อไปนี้:

ใครบางคนที่ใช้การลดแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสามารถใช้ประโยชน์ทางการเงินได้เพียงฝ่ายเดียวของคนที่ใช้การลดไฮเปอร์โบลิก

(โดยฝ่ายเดียวฉันหมายถึงว่ากลยุทธ์นี้มีให้เฉพาะกับผู้ที่ใช้ส่วนลดแบบเอกซ์โปเนนเชียลแบบ vis-à-vis somoneone ที่ใช้การลดไฮเปอร์โบลิกไม่ใช่ไม่ใช่ viceversa)

^{1ข้อมูลอ้างอิงที่ฉันมีสำหรับตอนนี้คือการแยกความประสงค์ (2001) โดย George Ainslie (หน้า 30-31) แต่ฉันไม่มีหนังสือ}

^{2ฉันได้เพิ่มป้ายกำกับ "ไฮเปอร์โบลิก" และ "เอ็กซ์โปเนนเชียล" ตามการตีความของฉันในสิ่งที่ผู้เขียนหมายถึงโดย "โค้งคำนับมากขึ้น" ฉันไม่ใช่เจ้าของภาษาอังกฤษดังนั้นโปรดแก้ไขให้ถูกต้องหากการตีความนี้ย้อนหลัง}

^{3โปรดทราบว่าฟังก์ชั่นเหล่านี้ทั้งหมดมี$(-\infty, 0]$เป็นโดเมนของพวกเขา ตัวเลือกนี้จำเป็นต้องมีเพื่อให้ตรงกับลักษณะที่ปรากฏของเส้นโค้งดั้งเดิม นอกจากนี้ฉันควรเน้นด้วยว่ารูปแบบการใช้งานที่ฉันใช้กับเส้นโค้งทั้งหมดนี้เป็นของฉันเองซึ่งได้รับเลือกเพื่อประมาณลักษณะของเส้นโค้งดั้งเดิม ข้อความที่ตัดตอนมาไม่ได้ให้รูปแบบการทำงานของเส้นโค้งที่ปรากฎ}

ฉันเชื่อว่าปั๊มเงินทำงานเช่นนี้:

ที่ $T=0$ ยืมเงินหนึ่งร้อยดอลลาร์จากเฮนรี่เพื่อหาส่วนลดเกินความจำเป็นตลอดช่วงเวลา $t$. อัตราดอกเบี้ยควรเป็นศูนย์เพราะอัตราคิดลดของพวกเขามากกว่าสินเชื่อในช่วงเวลานั้นคือ$1$. เพื่อความง่ายให้เครดิตเป็นศูนย์ด้วยการชำระเงินเมื่อถึงกำหนดและสมมติว่าคุณทั้งสองตกลงกันว่าไม่มีความเสี่ยงด้านเครดิต ตอนนี้ก้าวไปข้างหน้าหนึ่งช่วงเวลาเพื่อ$T=\epsilon$. เสนอขายคืนเงินกู้ให้แก่ Henry อัตราส่วนลดของเขาคือตอนนี้$\frac{1}{1-\epsilon} < 1$ดังนั้นอัตราดอกเบี้ยต่ำกว่าสิ่งที่เขาจะเรียกเก็บจากเงินกู้ใหม่ดังนั้นราคาจะต้องสูงกว่าราคาพาร์ โทรสอบถามราคา$100 + \psi_1$. ขาย, ฉีกสินเชื่อและกระเป๋า$\psi_1$. ขอสินเชื่อใหม่ร้อยดอลลาร์อีกครั้งที่ศูนย์คูปองตอนนี้อัตราดอกเบี้ย$\frac{1}{1-\epsilon}$ต่องวด ก้าวไปข้างหน้าอีกช่วงเวลาหนึ่งเพื่อ$T = 2 \epsilon$. อีกครั้ง$\frac{1}{1-2\epsilon} < \frac{1}{1-\epsilon}$ เพื่อให้คุณสามารถขายภาระผูกพันนี้ได้เช่นกันนานกว่า ($1 + \psi_2$) ขาย, ฉีกสินเชื่อและกระเป๋า$\psi_2$. ล้างฟองและทำซ้ำจนกว่าพวกเขาจะไม่ได้มีร้อยเหรียญเพื่อให้ยืมคุณ

อัปเดต: หวังว่านี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายกว่า สิ่งที่คุณทำคือในแต่ละช่วงเวลาซื้อ T (T$\geq$2) กำหนดเวลาพันธบัตรจาก Henry the Hyperbolic discounter คุณขายคืนให้กับ Henry ที่คุณซื้อในช่วงก่อนหน้านี้ คุณจะยินดีที่จะทำเช่นนี้ตราบเท่าที่ระยะเวลาสั้นพอที่กำไรในการทำธุรกรรมนั้นสูงพอที่จะชดเชยอัตราคิดลดของคุณเอง

พิจารณาพันธบัตร 2 ปีพร้อมค่ากำหนดด้านบน ส่วนลด 2 ปีคือ$\frac{1}{3}$ ซึ่งน้อยกว่าอัตราคิดลด 1 ปี $\frac{1}{2}$. เอ็ดดี้ดิสเคาเดอร์ผู้อธิบายมีความเต็มใจที่จะให้ยืมเงินกับเฮนรี่เพราะเป็นผลกำไรจากเงินให้สินเชื่อที่สูงพอที่จะชดเชยให้เขาแม้ว่าอัตราการตั้งเวลาของเขาสำหรับสินเชื่อ 1 และ 2 ปีนั้นสูงกว่าของเฮนรี่