เล็มม่าของ Ito

3

ฉันกำลังเข้าสู่การกำหนดราคาสินทรัพย์และกำลังดูเล็มม่าของ Ito แต่ไม่สามารถเข้าใจขั้นตอนที่ได้รับ

เล็มม่าของ Ito ระบุว่า

d x_{เสื้อ} = μ d เสื้อ + σ d Z_{เสื้อ} Y_{เสื้อ} = ฉ (เสื้อ, x_{เสื้อ})

$dx_t = \mu dt + \sigma dz_t \\ y_t = f(t, x_t)$

แล้วก็

(1) d Y_{เสื้อ} = \frac{\partial ฉ}{\partial เสื้อ} d เสื้อ + \frac{\partial ฉ}{\partial x} d x_{เสื้อ} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} ฉ}{\partial x^{2}} d x_{เสื้อ}^{2}

$(1) \quad dy_t = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} dx_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} dx^2_t \\$

ฉันเข้าใจส่วนนี้โดยใช้กฎลูกโซ่และการขยายตัวอันดับที่สองของสมการที่สอง ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมจึงมีดังต่อไปนี้:

(*) d y_{t} = [\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} μ + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} σ^{2}] d t + [\frac{\partial f}{\partial x} σ] d z_{t}

$(*) \quad dy_t = \left[\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \mu + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \sigma^2 \right] dt + \left[ \frac{\partial f}{\partial x} \sigma \right] dz_t \\$

เมื่อฉันแทนในเข้าไปในและใช้ความจริงที่ว่าก็ไม่เพียงพอที่จะมาถึงที่ )ฉันคิดว่าสามารถตีความได้อย่างแท้จริงว่าเป็นแต่ถ้ามีวิธีที่ดีกว่าในการจัดการคำนั้นคำแนะนำใด ๆ ก็จะได้รับการชื่นชม $dx_t$ $(1)$ $dz^2_t = dt$ $(*)$ $dx^2_t$ $(dx_t)^2$

asset-pricing stochastic-calculus

— ทหารม้า Kitsune
แหล่งที่มา

2

ฉันขอแนะนำการอ่านที่มีประสิทธิภาพใน "ตัวเลือกและอนุพันธ์" ของฮัลล์ที่คุณสามารถหาภาคผนวกที่น่าสนใจเพื่อพิสูจน์บทแทรกของ Ito

— Alexis L.

แปลกที่ไม่มีใครตอบคำถามนี้ตลอดไป ใน math.stackexchange ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถรับความช่วยเหลือได้อย่างรวดเร็ว! นี่ไม่ใช่เฉพาะเศรษฐศาสตร์

— Matthew Gunn

2

d x_{เสื้อ} = μ d เสื้อ + σ d Z_{เสื้อ} Y_{เสื้อ} = ฉ (เสื้อ, x_{เสื้อ})

$dx_t = \mu dt + \sigma dz_t \\ y_t = f(t, x_t)$

ความคิดที่สำคัญที่นี่เป็นที่ Tเหตุผลที่หลวมคือและคำอื่น ๆ ทั้งหมด (เช่นและ $\left( dx_t \right)^2=\left( \ldots \right)dt^2 + \left(\ldots\right) dzdt + \sigma^2 dz_t^2 = \sigma^2 dt$ $\left( dz_t\right)^2 = dt$ $dt^2$ ) เป็นอนันต์มีขนาดเล็กกว่าตัน $dz\, dt$ $dt$

สัญชาตญาณหลวมอย่างน่ากลัวสำหรับคือว่าจะมีการกระจายตามปกติที่มีความแปรปรวนและด้วยเหตุนี้ความคาดหวังของตารางของเป็น T $dz_t^2 = dt$ $dz_t$ $dt$ $dz_t$ $dt$

ไม่ว่าในกรณีใดเรามี:

\begin{aligned} d Y_{เสื้อ} & = \frac{\partial ฉ}{\partial เสื้อ} d เสื้อ + \frac{\partial ฉ}{\partial x} d x_{เสื้อ} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} ฉ}{\partial x^{2}} d x_{เสื้อ}^{2} \\ = \frac{\partial ฉ}{\partial เสื้อ} d เสื้อ + \frac{\partial ฉ}{\partial x} (μ d เสื้อ + σ d Z_{เสื้อ}) + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} ฉ}{\partial x^{2}} σ^{2} d เสื้อ \\ = (\frac{\partial ฉ}{\partial เสื้อ} + \frac{\partial ฉ}{\partial x} μ + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} ฉ}{\partial x^{2}} σ^{2}) d เสื้อ + (\frac{\partial ฉ}{\partial x}) σ d Z_{เสื้อ} \end{aligned}

$\begin{align*} \quad dy_t &= \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} dx_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} dx^2_t\\ &= \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} \left( \mu dt + \sigma dz_t \right)+ \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \sigma^2 dt \\ &= \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x}\mu + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \sigma^2 \right) dt + \left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)\sigma dz_t \end{align*}$

อันไหนบทสรุปของอิโตะ

— Matthew Gunn
แหล่งที่มา

-1

บางทีสูตรItôของคุณผิดไป ดูที่:

http://www.columbia.edu/~mh2078/stochastic_calculus.pdf

$dx_t^2$ $(dx_t)^2$ $dx_t^2$ $(dx_t)^2$

— Pablo E
แหล่งที่มา