ลำดับที่สองการสุ่มสุ่มโดยไม่มีค่าเฉลี่ย

ให้และเป็นสองการแจกแจงด้วยค่าเฉลี่ยเดียวกัน มีการกล่าวถึงลำดับที่สองครอง stochastically ( SOSD ) ถ้า ทั้งหมดที่เพิ่มขึ้นและเว้า ) $F$ $G$ $F$ $G$

\begin{matrix} (1) & \int u (x) d F (x) \geq \int u (x) d G (x) \end{matrix}

$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\tag{1}$

u (\cdot)

$u(\cdot)$

นิยามข้างต้นนี้จะเทียบเท่ากับ

\begin{matrix} (2) & \int_{- \infty}^{x} F (t) d t \leq \int_{- \infty}^{x} G (t) d t, \forall x \in R . \end{matrix}

$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\tag{2}$

ฉันบอกว่าข้อกำหนดสำหรับ $F$ และ $G$ จะมีค่าเฉลี่ยเท่ากันนั้นไม่จำเป็นจริงๆ สมมติว่า $F$ และ $G$ จะไม่ได้มีความหมายเดียวกัน เราสามารถยังคงมีความเท่าเทียมกันระหว่าง $(1)$ และ $(2)$ ไหม?

NB ฉันสามารถแสดง $(2)\Rightarrow (1)$ โดยไม่มีเงื่อนไขที่เหมือนกัน แต่ไม่ใช่วิธีอื่น ๆ

microeconomics probability

— เฮอร์เค
แหล่งที่มา

$u(x) = x$

\begin{matrix} (1) & \int x d F (x) \geq \int x d G (x) ⟹ E_{F} (X) \geq E_{G} (X) \end{matrix}

$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implies E_F(X) \geq E_G(X) \tag{1}$

$E_F(X) < E_G(X)$

$E_F(X) \geq E_G(X)$ $F$ $G$

$F$ $G$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา