สภาพการพลิกผันในตัวแบบการเติบโตแบบนีโอคลาสสิก

ในรูปแบบการเติบโตแบบนีโอคลาสสิคมีเงื่อนไขการตัดขวางดังต่อไปนี้:

$$\lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u'(c_{t})k_{t+1}= 0,$$ ที่ไหน $k_{t+1}$ เป็นเมืองหลวงในช่วงเวลา $t$.

คำถามของฉันคือ:

1. เราได้รับเงื่อนไขนี้อย่างไร

2. ทำไมเราต้องใช้สิ่งนี้ถ้าเราต้องการที่จะแยกแยะเส้นทางที่ไม่มีการสะสมหนี้?

3. เหตุใดตัวคูณลากรองจ์จึงเป็น $\beta^{t}u'(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t}$ มูลค่าลดปัจจุบันของทุนเป็นอย่างไร

สภาพการพลิกผันอาจจะเข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้าเราเริ่มต้นจากปัญหาที่มีขอบเขต จำกัด

ในรุ่นมาตรฐานวัตถุประสงค์ของเราคือ

$$\max_{\{c_t,k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T\beta^t u(c_t)$$ ภายใต้ $$\begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned}$$ กับ $k_0$รับ ลากรองจ์ที่เกี่ยวข้อง (มีตัวคูณ$\lambda_t$, $\mu_t$และ $\omega_t$) คือ $$\max_{\{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1}$$ FOCs คือ $$\begin{align} c_t:&& \beta^tu'(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \\ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \\ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align}$$ กับเงื่อนไขเสริมสำหรับ Kuhn-Tucker: สำหรับ $t=0,\dots,T$, $$\begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \\ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align}$$ เนื่องจากข้อ จำกัด ของทรัพยากรจะต้องมีผลผูกพันในทุกช่วงเวลาเช่น $\lambda_t>0$ เพื่อทุกสิ่ง $t$มันเป็นไปตามนั้นในช่วงสุดท้าย $T$, $\omega_T=\lambda_T>0$ซึ่งจะหมายถึง $k_{T+1}=0$.

เรามักจะคิด $c_t>0$ เพื่อทุกสิ่ง $t$ (เงื่อนไข Inada) และนี่ก็หมายถึง $\mu_t=0$ เพื่อทุกสิ่ง $t$. FOC ของการบริโภคจึงกลายเป็น

$$\beta^tu'(c_t)=\lambda_t \tag{3}$$

มองไปที่เงื่อนไข $(1)$ $(2)$ และ $(3)$ ในช่วงสุดท้าย $T$, เราได้รับ

$$\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$$ การขยายสิ่งนี้ไปยังขอบฟ้าที่ไม่มีที่สิ้นสุดเราจะได้รับสภาพการเบี่ยงเบน $$\lim_{T\to\infty}\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$$

สัญชาตญาณของสภาพการตัดขวางเป็นส่วนหนึ่งที่ว่า "ไม่มีการออมในช่วงสุดท้าย" แต่เนื่องจากไม่มี "ช่วงเวลาสุดท้าย" ในสภาพแวดล้อมที่ไม่มีขอบเขตเราจึง จำกัด เวลาเมื่อเวลาผ่านไปไม่สิ้นสุด

ในความคิดของฉันมาที่ดีที่สุดคือโดยตรรกะ คิดแบบนี้: ถ้าสิ่งเดียวที่เราบอกกับครอบครัวคือการใช้ประโยชน์ให้เกิดประโยชน์สูงสุดพฤติกรรมที่เหมาะสมที่สุดก็จะเป็นการสร้างหนี้ที่ไม่มีที่สิ้นสุดและกินไปเรื่อย ๆ นี่ไม่ใช่ทางออกที่สมเหตุสมผล เราจึงต้องมีเงื่อนไขการมองโลกในแง่อื่น สิ่งนี้ควรตอบคำถาม 2

ในขอบเขตที่แน่นอนนั้นความเป็นไปได้จะเกิดขึ้นได้โดยการชำระหนี้ในงวดสุดท้าย สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ในการตั้งค่าขอบฟ้าไม่ จำกัด อย่างไรก็ตาม "การพิจารณาการสะสมหนี้" ตามที่คุณแนะนำนั้นเป็นเงื่อนไขที่เข้มงวดเกินไป (เงื่อนไขการพลิกผันช่วยให้หนี้!)

หากต้องการตอบคำถาม 3 ให้เราดูคำศัพท์ $\beta^t \lambda_t k_{t+1}$. มันหมายถึงการได้รับประโยชน์ส่วนเพิ่ม$k_{t+1}$หน่วยของเงินทุนถึงระยะเวลา t และบริโภคพวกเขา หากการรับประโยชน์จากยูทิลิตี้นี้เป็นบวกที่ไม่มีที่สิ้นสุดเราสามารถเพิ่มยูทิลิตี้โดยรวมได้มากขึ้นโดยใช้ "ระยะเวลาไม่มีที่สิ้นสุด" ดังนั้นเส้นทางทุนของเราจะไม่เหมาะสม

สำหรับคำถามที่ 1: หากต้องการรับเงื่อนไขนี้คุณสามารถสร้างอาร์กิวเมนต์เชิงตรรกะที่ฉันเพิ่งทำไว้โดยแสดงให้เห็นว่าหากไม่มีเงื่อนไขการถือครองตามขวางเส้นทางทุนไม่เหมาะสมหรือสำหรับหลักฐานทางคณิตศาสตร์คุณสามารถตรวจสอบได้เช่นหมายเหตุของ Krusell (แม้ว่าจะค่อนข้างยากที่จะเข้าใจ)