ตลาดที่สมบูรณ์ในเวลาต่อเนื่อง

15

ในระบบเศรษฐกิจแบบแยกเวลามาตรฐานที่มีจำนวน จำกัด , , เศรษฐกิจตลาดที่สมบูรณ์เป็นเพียงเศรษฐกิจที่มีสินทรัพย์อิสระ (คิดว่า Ljunqvist และซาร์เจนท์บทที่ 8) นี้เป็นเพราะสินทรัพย์อิสระเพียงพอที่จะครอบคลุมชุดของรัฐในวันพรุ่งนี้ $n$ $n$ $n$

ฉันได้พูดคุยกับอาจารย์เมื่อสัปดาห์ที่แล้วซึ่งเขากล่าวว่าหนึ่งในความสะดวกสบายของเวลาอย่างต่อเนื่องเมื่อคิดเกี่ยวกับการกำหนดราคาสินทรัพย์คือภายในเศรษฐกิจแบบต่อเนื่องเราสามารถหาตลาดที่สมบูรณ์ได้ง่ายๆด้วยพันธบัตรปลอดความเสี่ยงและสินทรัพย์ที่มีความเสี่ยง อิสระ) สำหรับการเคลื่อนไหวของ Brownian แต่ละครั้งในระบบเศรษฐกิจ

เขาอธิบายมันในขณะที่เราคุยกันดังนั้นฉันคิดว่าฉันส่วนใหญ่เข้าใจ แต่สงสัยว่ามีใครบางคนจะเขียนรายละเอียดลงไปไหม?

ฉันอาจจะใช้เวลาหนึ่งหรือสองวันในสัปดาห์นี้ (ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของแคลคูลัสอนุพันธ์) ดังนั้นหากไม่มีใครตอบคำถามก็หวังว่าฉันจะได้คำตอบที่น่าพอใจ

— cc7768
แหล่งที่มา

1

ในกรณีที่ไม่ต่อเนื่องความสมบูรณ์ไม่ต้องการจำนวนสถานะและจำนวนสินทรัพย์เท่ากันแม้ว่าคุณจะไม่สามารถมีสถานะได้มากกว่าสินทรัพย์ การกำหนดลักษณะทั่วไปของความครบถ้วนสมบูรณ์นั้นมี IIRC ที่เทียบเท่าการวัด martingale

— Michael

9

ฉันเป็นคนสุดท้ายที่ควรตอบคำถามแบบต่อเนื่องเวลาเช่นนี้ แต่ถ้าไม่มีใครฉันเดาว่าฉันจะให้มันยิง (การแก้ไขใด ๆ ของการเงินต่อเนื่องที่จำได้เล็กน้อยของฉันยินดีอย่างมาก)

ความประทับใจของฉันได้เสมอว่านี่คือการตีความที่ดีที่สุดเป็นผลมาจากการที่ทฤษฎีบทตัวแทนบังเหียน ก่อนอื่นฉันจะสร้างสัญลักษณ์อย่างหลวม ๆ ขอให้พื้นที่น่าจะถูกสร้างขึ้นโดยอิสระกระบวนการ Wienern) ให้มีสินทรัพย์ที่มีค่าของสินทรัพย์วันที่จะได้รับโดยฉัน สมมติว่าทรัพย์สินเป็นพันธบัตรที่ความเสี่ยงในขณะที่สินทรัพย์เป็นแต่ละความเสี่ยงและถูกขับเคลื่อนโดยสอดคล้องกัน: $n$ $(Z_t^1,\ldots,Z_t^n)$ $n+1$ $i$ $t$ $S_t^i$ $i=0$ $dS_t^0=r_tS_t^0dt$ $i=1,\ldots,n$ $Z_t^i$

d S_{เสื้อ}^{ผม} = μ_{เสื้อ}^{ผม} d เสื้อ + σ_{เสื้อ}^{ผม} d Z_{เสื้อ}^{ผม}

$dS_t^i=\mu_t^idt+\sigma_t^idZ_t^i$ สมมติว่ามีกระบวนการ SDF บวกอย่างเคร่งครัดปกติจะเช่นว่าเป็นบังเหียนสำหรับแต่ละ (พื้นนิยามของ SDF) และที่ (ผมใช้ในฐานะผลิตภัณฑ์ dot ซึ่งจะสะดวกสบาย)

m_{t}

$m_t$

m_{0} = 1

$m_0=1$

m_{t} S_{t}^{i}

$m_tS_t^i$

i

$i$

d {ม.}_{เสื้อ} = ν_{เสื้อ} d เสื้อ + ψ_{เสื้อ} \cdot d Z_{เสื้อ}

$dm_t=\nu_t dt+\psi_t\cdot dZ_t$

\cdot

$\cdot$

สุดท้ายให้มิติเวกเตอร์เป็นผลงานของเราในช่วงเวลาดังกล่าวว่ามูลค่าสุทธิจะได้รับโดยS_t สมมติว่าได้รับการแก้ไขและเรายังมี ทีนี้ฉันจะระบุวัตถุประสงค์ซึ่งรวบรวมสาระสำคัญของตลาดที่สมบูรณ์ สมมติว่าปลายโลกในเวลาและที่เราต้องการมูลค่าสุทธิเท่ากับบางสุ่มซึ่งจะขึ้นอยู่กับประวัติเต็มจนถึงเวลาTสมมติว่าดังนั้นในโลกที่มีตลาดสมบูรณ์เราสามารถทำได้ (ที่ $n+1$ $\theta_t$ $t$ $A_t$ $A_t=\theta_t\cdot S_t$ $A_0$

d A_{เสื้อ} = θ_{เสื้อ} \cdot d S_{เสื้อ}

$dA_t=\theta_t\cdot dS_t$

T

$T$

A_{T}

$A_T$

Y

$Y$

T

$T$

A_{0} = E_{0} [m_{T} Y]

$A_0=E_0[m_TY]$

t = 0

$t=0$ ) การใช้ความมั่งคั่งของเราเริ่มต้นที่จะซื้อเวลาจ่ายเงินYในกรณีที่ไม่มีตลาดที่สมบูรณ์โดยตรงเหล่านี้คำถามคือยังมีกลยุทธ์บางอย่างสำหรับพอร์ตโฟลิโอที่จะช่วยให้เราได้รับในทุกสภาวะของโลกหรือไม่ และคำตอบในการตั้งค่านี้คือใช่

A_{0}

$A_0$

t = T

$t=T$

Y

$Y$

θ_{t}

$\theta_t$

A_{T} = Y

$A_T=Y$

ครั้งแรกหนึ่งสามารถคำนวณ(m_tS_t) ดังนั้นการเป็น martingale หมายความว่าเป็น martingale ดังนั้นเราจึงมี IFF สำหรับทุกT] โปรดทราบว่านี่เป็นความจริงสำหรับโดยการสันนิษฐาน ดังนั้นเพื่อให้ได้ความเสมอภาคมันเป็นสิ่งจำเป็นเพียงเพื่อพิสูจน์ว่าการเพิ่มขึ้นจะเท่ากันทั้งสองข้าง $d(m_tA_t)=\theta_t\cdot d(m_tS_t)$ $m_tS_t$ $m_tA_t$ $A_T=Y\Longleftrightarrow m_TA_T=m_TY$

{ม.}_{เสื้อ} A_{เสื้อ} = E_{เสื้อ} [{ม.}_{T} Y]

$m_tA_t=E_t[m_TY]$

t \in [0, T]

$t\in[0,T]$

t = 0

$t=0$

ตอนนี้เป็นตัวแทนบังเหียนทฤษฎีบทมาใน. ตั้งแต่เป็นบังเหียนเราสามารถเขียน สำหรับกระบวนการที่คาดการณ์บาง\ดังนั้นเราจะต้องสามารถที่จะแสดงdZ_t กำลังเขียน เราเห็นว่าเราต้องการสำหรับแต่ละสินทรัพย์ที่มีความเสี่ยง , ซึ่งเราสามารถสลับทางเลือกพอร์ตโฟลิโอที่ต้องการ : ตัวเลือกพอร์ตการลงทุนที่ไม่มีความเสี่ยง $E_t[m_TY]$

E_{เสื้อ} [{ม.}_{T} Y] = E_{0} [{ม.}_{T} Y] + \int_{0}^{เสื้อ} φ_{s} \cdot d Z_{s}

$E_t[m_TY]=E_0[m_TY]+\int_0^t \phi_s\cdot dZ_s$

ϕ_{s}

$\phi_s$

d (m_{t} A_{t}) = ϕ_{t} \cdot d Z_{t}

$d(m_tA_t)=\phi_t\cdot dZ_t$

d ({ม.}_{เสื้อ} A_{เสื้อ}) = \underset{ผม}{Σ} ({ม.}_{เสื้อ} θ_{เสื้อ}^{ผม} σ_{เสื้อ}^{ผม} + A_{เสื้อ} ψ_{เสื้อ}^{ผม}) d Z_{เสื้อ}^{ผม}

$d(m_tA_t)=\sum_i (m_t\theta_t^i \sigma_t^i +A_t\psi_t^i)dZ_t^i$

m_{t} θ_{t}^{i} σ_{t}^{i} + A_{t} ψ_{t}^{i} = ϕ_{t}^{i}

$m_t\theta_t^i\sigma_t^i +A_t\psi_t^i=\phi_t^i$

i = 1, \dots, n

$i=1,\ldots,n$

θ_{t}^{i}

$\theta_t^i$

θ_{เสื้อ}^{ผม} = \frac{φ_{เสื้อ}^{ผม} - A_{เสื้อ} ψ_{เสื้อ}^{ผม}}{{ม.}_{เสื้อ} σ_{เสื้อ}^{ผม}}

$\theta_t^i=\frac{\phi_t^i-A_t\psi_t^i}{m_t\sigma_t^i}$

θ_{t}^{0}

$\theta_t^0$ จากนั้นจะสามารถถอยออกมาจากS_t

A_{t} = θ_{t} \cdot S_{t}

$A_t=\theta_t\cdot S_t$

สัญชาตญาณที่นี่เป็นเรื่องง่าย: เราต้องมักจะมีปรับเพื่อรักษาความเสมอภาคแต่ทั้งความคาดหวังด้านขวาและไอ้เวรด้านซ้ายกำลังจะย้ายในการตอบสนองต่อการขับขี่กระบวนการฉัน ดังนั้นเราต้องเลือกพอร์ตโฟลิโอเพื่อที่ชดเชยการเคลื่อนไหวเหล่านี้ได้อย่างแม่นยำและสมการยังคงมีอยู่ และเรามักจะสามารถทำเช่นนี้ตราบใดที่ในพื้นที่สินทรัพย์ของเราครอบคลุมทุกความเสี่ยง - ซึ่งสามารถเกิดขึ้นได้มากขึ้นโดยทั่วไปแม้สำหรับสินทรัพย์มีลักษณะร่วมกันตราบใดที่การเพิ่มขึ้นของพวกเขาอยู่ในประเทศที่เป็นอิสระเป็นเส้นตรง (กรณีของ $A_t$ $m_tA_t=E_t[m_TY]$ $m_t$ $dZ_t^i$ $\theta_t$ $dA_t$ $dZ_t^i$ $n$ $n$ สินทรัพย์ที่มีความเสี่ยงต่างกันไปตามการเคลื่อนไหวของ Brownian ที่เป็นอิสระนั้นเป็นสิ่งที่พิเศษ)

— ในนามแข็ง
แหล่งที่มา

1

ขอบคุณ ฉันคำตอบของคุณขาดมันและมันก็ดูดี มีบางอย่างเกิดขึ้นที่ฉันต้องทำให้เสร็จในอีกไม่กี่วันข้างหน้า แต่ฉันจะมองให้ดีขึ้นและยอมรับคำตอบของคุณเมื่อฉันทำเสร็จ

— cc7768

5

ฉันตั้งใจจะโพสต์สิ่งนี้เป็นเวลานาน ฉันเจอสิ่งนี้และคิดว่ามันสามารถเพิ่มความเข้าใจได้บ้าง ตัวอย่างนี้มาจาก "ทฤษฎีการกำหนดราคาสินทรัพย์ทางการเงิน" โดย Munk

พิจารณารูปต่อไปนี้ เราต้องมีสินทรัพย์จำนวนเท่าใดจึงจะมีตลาดที่สมบูรณ์ ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

คุณอาจคิดว่าเพราะมี 6 สถานะที่แตกต่างกันที่นี่เราต้องการสินทรัพย์ที่แตกต่างกันอย่างน้อย 6 รายการ ในการตั้งค่าคงที่เรารู้ว่าเมื่อเรามีสถานะที่แตกต่างกันรัฐเราจะต้องมี "สินทรัพย์ที่แตกต่างกันพอสมควร" (ในการตั้งค่าคงที่ปกตินี้หมายถึงความเป็นอิสระเชิงเส้น) อย่างไรก็ตามในการตั้งค่าแบบไดนามิกนี่ไม่ใช่กรณี Munk อธิบายสิ่งนี้ตามการสังเกตสองแบบ: $N$ $N$

(i) ความไม่แน่นอนนั้นไม่ได้เปิดเผยอย่างสมบูรณ์ในคราวเดียว แต่ทีละเล็กทีละน้อยและ (ii) เราสามารถซื้อขายในสินทรัพย์แบบไดนามิก ในตัวอย่างมีการเปลี่ยนแปลงทางเศรษฐกิจที่เป็นไปได้สามครั้งจากเวลา 0 ถึงเวลา 1 จากการวิเคราะห์ช่วงเวลาเดียวของเราเรารู้ว่าสินทรัพย์ที่แตกต่างกันสามแห่งเพียงพอที่จะ 'ขยาย' ความไม่แน่นอนนี้ จากช่วงเวลาที่ 1 ถึงเวลา 2 มีการเปลี่ยนแปลงทางเศรษฐกิจที่เป็นไปได้สองสามหรือหนึ่งอย่างขึ้นอยู่กับว่าเศรษฐกิจอยู่ในช่วงเวลาที่ 1 ในที่สุดเราจำเป็นต้องมีสินทรัพย์ที่แตกต่างกันสามอย่างพอที่จะขยายความไม่แน่นอน โดยรวมแล้วเราสามารถสร้างกระบวนการจ่ายเงินปันผลได้หากเราเข้าถึงสินทรัพย์ที่แตกต่างกันสามแห่งในช่วงเวลาทั้งสอง

ในกรณีของต้นไม้หลายรุ่นทั่วไปของตลาดที่ไม่ต่อเนื่องแบบ จำกัด เวลาทั่วไปเราสามารถสำหรับแต่ละโหนดในต้นไม้กำหนดหมายเลขการขยายเป็นจำนวนกิ่งย่อยของต้นไม้ย่อยที่ออกจากโหนดนั้น ตลาดจะเสร็จสมบูรณ์หากโหนดใด ๆ ในทรีจำนวนสินทรัพย์ที่มีการซื้อขายอิสระเชิงเส้นในช่วงเวลาต่อไปนี้เท่ากับจำนวนสแปนนิ่ง

ตอนนี้ในกรณีของแบบจำลองเวลาต่อเนื่องที่ความไม่แน่นอนถูกสร้างขึ้นโดยการเคลื่อนไหวบราวเนียนมาตรฐานมิติสองมิติการโต้แย้งมีความซับซ้อน แต่ Munk ให้ข้อมูลเชิงลึกบางอย่างจากการสนทนาก่อนหน้านี้

ผลที่ได้นั้นค่อนข้างง่ายเมื่อสังเกตจากสิ่งต่อไปนี้:

สำหรับการเปลี่ยนแปลงที่ต่อเนื่องกันในช่วงเวลาเพียงหมายถึงและผลต่างเท่านั้นที่มีความสำคัญ

เราสามารถใกล้เคียงกับ d มิติช็อตโดยตัวแปรสุ่มที่จะใช้เวลาในค่าเป็นไปได้และมีความหมายเหมือนกันและความแปรปรวนเป็นdz_tยกตัวอย่างเช่นมิติหนึ่งช็อตมีศูนย์ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนdtนี้ยังเป็นจริงสำหรับตัวแปรสุ่มซึ่งเท่ากับกับความน่าจะเป็นของและเท่ากับกับความน่า1/2... $dz_i$ $d+1$ $dz_t$ $dz_t$ $dt$ $\epsilon$ $\sqrt{dt}$ $1/2$ $-\sqrt{dt}$ $1/2$

ด้วยการซื้อขายอย่างต่อเนื่องเราสามารถปรับการเปิดรับของเราต่อการกระแทกจากภายนอกได้ทุกครั้ง

$d+1$ $d+1$

— jmbejara
แหล่งที่มา

1

ฉันมักจะสงสัยอย่างมากในการเล่าเรื่องแบบนี้ --- ใช่ฉันรู้ว่าเราทำเช่นนี้ตลอดเวลา ในเวลาต่อเนื่องมันน่าสงสัยอย่างยิ่ง แน่นอนว่าฟังดูดีสำหรับกรณี Bm จะเกิดอะไรขึ้นกับเรื่องราวนั้นเมื่อกระบวนการราคาเป็นเซมาติติงทั่วไป กลายเป็นเรื่องไร้สาระ

— Michael

คุณสามารถมีปัญหากับข้อโต้แย้งเหล่านี้ได้อย่างแน่นอน แต่กรณีที่ไม่ต่อเนื่องนั้นน่าสนใจและเป็นของตัวเองและเป็นประโยชน์อย่างมากสำหรับกรณีต่อเนื่อง การอ้างอิงที่ดีมีดังต่อไปนี้: เงื่อนไขที่ความสมบูรณ์แบบไดนามิกและเงื่อนไขสำหรับการรวมกันของการประมาณแบบไม่ต่อเนื่องสามารถพบได้ในAnderson และ Raimondo (2008)

— jmbejara

ในบันทึกที่เกี่ยวข้องบทความนี้น่าสนใจ: กฎหมายของราคาเดียวจำเป็นสำหรับความสมบูรณ์แบบไดนามิกที่แสดงถึงความสมบูรณ์แบบหนึ่งช่วงเวลา Battauz and Ortu (2007)

— jmbejara