ในโมเดลใหม่ของ Keynesian แบบบันทึกล็อกเชิงเส้นแล้ว , ,หมายถึงอะไรจริง?

นี่อาจเป็นคำถามแปลก ๆ แต่ฉันรู้สึกสับสนกับคำศัพท์ ให้เราสมมติว่าเป็นโมเดล Keynesian ใหม่แบบบันทึกเชิงเส้นตามที่ Gali แนะนำไว้ที่นี่: http://crei.cat/people/gali/pdf_files/monograph/slides-ch3.pdf

คำถามแรกของฉันคือค่าคงตัวคือการบันทึกเชิงเส้นของ , เอาต์พุต แต่นี่คือค่าคงที่หรือเส้นทางเอาต์พุตคงที่ทั้งหมดหรือไม่ เท่ากับเกี่ยวกับวิธีการที่ผลผลิตจะพัฒนาถ้าวิวัฒนาการโดยไม่มีปัจจัยสุ่มและข้อผิดพลาดตามอัตราธรรมชาติระยะยาว?Y t Y Y Y $Y$$Y_t$$Y$$Y$$Y_t$

คำถามที่สองของฉันเกี่ยวข้องกับคำถามแรกคือหมายถึงเอาต์พุตทั้งหมดหรือเอาต์พุตปกติ นั่นคือถ้าเศรษฐกิจมีอัตราการเติบโตของผลผลิตเป็นบวกจะเติบโตหรือไม่ หรือมันเป็นเอาท์พุทปกติที่ไม่เปลี่ยนแปลงโดยไม่มีองค์ประกอบสุ่ม?Y $Y_t$$Y_t$

คำถามที่สามของฉันคือสิ่งที่จริงหมายถึง ขณะที่ผมเข้าใจมันเป็นเพียงY_t ถูกต้องหรือไม่บันทึกY $y_t$$\log Y_t$

ความจริงที่ว่าสมการออยเลอร์ของการบริโภคนั้นมีอยู่เพื่อสนับสนุนสัญชาตญาณว่าเป็นเส้นทางการส่งออกที่มั่นคงไม่ใช่มูลค่าที่คงที่เนื่องจากอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงมักเป็นผลบวกต่อเศรษฐกิจ ความสับสนของฉันเพิ่มขึ้นจากที่นี่และฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นความเข้าใจที่ถูกต้องหรือไม่$Y$

การบันทึกเชิงเส้นจะดำเนินการในพื้นที่ใกล้เคียงของรัฐที่มั่นคงด้วยอัตราเงินเฟ้อเป็นศูนย์ผลผลิตคงที่และมาร์กอัปค่าใช้จ่ายสูงกว่าต้นทุนส่วนเพิ่มตามที่ระบุไว้ในสไลด์ 11 ของการนำเสนอGalíที่คุณเชื่อมโยง ดังนั้นมีจุดมุ่งหมายที่แน่นอนจะเป็นค่าคงที่ในระดับมั่นคงของรัฐของการส่งออกรอบที่เข้าสู่ระบบจะดำเนินการเชิงเส้น เป็นเพียงระดับของเอาต์พุตทั้งหมดในช่วงเวลาขณะที่เป็นค่าบันทึกของเอาต์พุตทั้งหมดตามที่คุณพูดY t t y t = บันทึกY $Y$$Y_t$$t$$y_t=\log Y_t$

ประเด็นเพิ่มเติมหลายประการที่เกี่ยวข้องกันที่นี่:

• การได้มาของโมเดล New Keynesian ขั้นพื้นฐานนี้ดำเนินการภายใต้สมมติฐานว่าไม่มีการเติบโตของแนวโน้มที่มั่นคง เราสามารถมั่นใจได้ว่าสมการการบันทึกเชิงเส้นตรงนั้นถูกต้องโดยประมาณสำหรับสถานการณ์ที่การเบี่ยงเบนใด ๆ จากสถานะคงที่การเติบโตเป็นศูนย์นี้มีขนาดเล็กพอสมควร เห็นได้ชัดว่าเนื่องจากเราอยู่ในโลกที่มีการเติบโตของแนวโน้มที่เป็นบวกอย่างเห็นได้ชัดนี่เป็นปัญหาที่อาจเกิดขึ้น - ดังนั้นนี่จึงเป็นข้อกังวลที่ถูกต้องมาก
• ในขณะที่มันเกิดขึ้นฉันเชื่อว่าสมการจะคล้ายกันมากเมื่อเราเข้าสู่ระบบเชิงเส้นรอบ ๆ สถานะที่มั่นคงด้วยการเติบโตของการผลิตแนวโน้มในเชิงบวก (แต่ยังคงสมมติฐานสมมติฐานอัตราเงินเฟ้อเป็นศูนย์) โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ระบุไว้เมื่อในแง่ของช่องว่างการส่งออกและอัตราตามธรรมชาติของดอกเบี้ยในสม Gali ของ (10), สมการออยเลอร์ข้ามเวลาเป็นสิ่งเดียว ( แต่ทราบว่าสภาวะอัตราธรรมชาติสูงกว่าโดยที่เป็นอัตราการเติบโตของบันทึกการเติบโตของผลผลิต) New Keynesian Phillips curve เป็น messier เล็ก ๆ น้อย ๆ : ในกรณีการตั้งค่าบันทึกมีการยกเลิกที่ดีหลายครั้งและเราได้รับ NKPC เหมือนกันทุกประการ แต่สำหรับอื่น ๆกรัม σ = 1 σ $r^n=\rho+\sigma \psi_{ya}g_a$$g_a$$\sigma=1$$\sigma$อัตราการลดอัตราเงินเฟ้อในอนาคตจะไม่มีอีกต่อไป\นี่คือทั้งหมดที่น่ารำคาญมากขึ้นในการจัดการกับซึ่งเป็นเหตุผลที่Galíหลีกเลี่ยงมันสำหรับการแสดงออกที่เรียบง่ายและติดอยู่กับรัฐมั่นคงการเจริญเติบโตเป็นศูนย์$\beta$
• ดังที่ได้กล่าวมาแล้วทั้ง , , และเป็น "เอาท์พุทที่ทำให้เป็นมาตรฐาน" ไม่ว่าชนิดใด อย่างไรก็ตามช่องว่างเอาท์พุทกำหนดไว้ในสมการของGalí (7) นั้นได้ทำให้การบันทึกปกติเป็นมาตรฐานได้อย่างมีประสิทธิภาพลบออกจากบันทึก "เอาต์พุตธรรมชาติ"ที่เราคาดหวังในความยืดหยุ่น โลก -price บันทึกให้ผลผลิตÃ_tในแง่นี้โมเดลสามารถรองรับความผันผวนของผลผลิต แต่ตามที่ระบุไว้ข้างต้นหากความผันผวนเหล่านี้มีขนาดใหญ่เกินไปการบันทึกการเชิงเส้นรอบศูนย์การเติบโตของแนวโน้มศูนย์จะเริ่มพังทลายและหากเราต้องเขียน NKPC ในรูปแบบที่แตกต่างกันเพื่ออธิบายเรื่องนี้Y t y t ˜ y t ≡ y t - y n t y n t a t σ ≠ $Y$$Y_t$$y_t$$\tilde{y}_t\equiv y_t-y_t^n$$y_t^n$$a_t$$\sigma\neq 1$
• ในที่สุดฉันสับสนเล็กน้อยในย่อหน้าสุดท้าย แต่คุณดูเหมือนจะบอกเป็นนัย ๆ ว่าแบบจำลองอาจมีอัตราการเติบโตเป็นบวก "เนื่องจากอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงมักเป็นผลดีต่อเศรษฐกิจ" นี้เป็นความเข้าใจผิดนี้: สภาวะอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงในรูปแบบนี้เป็นบวกเพราะตัวแทนในรูปแบบมีการตั้งค่าเวลาบริสุทธิ์ที่มีอัตราส่วนลด<1 ถ้าคุณมองไปด้านล่างสม Gali ของ (10) คุณจะเห็นว่าเมื่อไม่มีการเปลี่ยนแปลงการผลิต "ธรรมชาติ" อัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงคือที่\R n T = ρ ρ = - บันทึก$\beta<1$$r_t^n = \rho$$\rho=-\log \beta$

โพสต์ต่อไปนี้อธิบายในวิธีที่ค่อนข้างง่ายกว่าสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อเราเข้าสู่ระบบเชิงเส้นแบบจำลอง

http://economictheoryblog.com/2012/06/22/latexgx_t/

การผ่านตัวอย่างที่ให้มาควรทำให้ชัดเจนว่าขั้นตอนเดียวคืออะไร

การเปิดเผยอย่างเต็มรูปแบบ: ฉันไม่ได้อ่านบันทึกการบรรยายที่คุณให้มาอย่างระมัดระวังเป็นพิเศษ แต่ฉันคิดว่าฉันสามารถตอบคำถามของคุณได้

แก้ไข: หัวขึ้นโดยไม่ได้อ่านลิงก์ที่ให้มาโดยคำถามฉันคิดถึงบางอย่าง

New Keynesian รุ่นมาตรฐาน (เช่น Gali ที่นำเสนอ) ถูกสร้างแบบจำลองโดยไม่มีการเติบโต ถ้าคุณจดโมเดลไว้คุณก็สามารถแทนมันเป็นสมการที่ต่างกันได้:

$$0 = E_t \left[ F(X_{t+1}, X_t, X_{t-1}, Z_{t}) \right]$$

โดยที่มีตัวแปรที่เกี่ยวข้องทั้งหมดและเป็นตัวแทนของแรงกระแทกต่อเศรษฐกิจ "สถานะคงที่" โดยทั่วไปหมายถึงสถานะของโลกที่เป็นค่าคงที่ (คิดว่าวิธีแก้ปัญหาที่เสถียรสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ / อนุพันธ์) และดังนั้นคุณสามารถเขียนมันเป็นวิธีแก้ปัญหา:Z t X t Z t = $X_t$$Z_t$$X_t$$Z_t = 0$

$$0 = F(X, X, X, 0)$$

ในกรณีที่จะเป็นค่าคงที่ของรัฐ (สังเกตเห็นไม่ใช่ตัวห้อยเวลา - บางครั้งก็ทำโดยการแสดงถึงสถานะคงที่ด้วยแถบเหนือศีรษะ ) นี่คือสิ่งที่เขาเรียกว่าและมันเป็นค่าคงที่$X$$\bar{X}$$Y$

สำหรับคำถามที่สองฉันยังไม่ได้อ่านอย่างระมัดระวังดังนั้นฉันจึงไม่แน่ใจ 100% แต่โดยทั่วไปแล้วเมื่อตัวแปรถูกเขียนเป็นมันอ้างอิงถึงมูลค่าจริงที่เกิดขึ้น (หรือที่รู้จักกันว่าถ้าคุณแก้ไขโมเดลและจำลองมันอย่างแน่นอน) นี่คือค่าที่จะมี)$X_t$

สำหรับคำถามที่สามฉันคิดว่าความเข้าใจเชิงลึกของ log-linearization จะตอบคำถามให้คุณ การบันทึกเชิงเส้นตรงที่หัวใจเป็นเพียงการขยายตัวของเทย์เลอร์รอบ ๆ สถานะคงที่ พิจารณาสมการทั่วไป(Z_t) มีขั้นตอนพื้นฐาน 3 ขั้นตอนในการบันทึกการจัดเรียงเชิงเส้น (รีเฟรชหน่วยความจำของฉันที่นี่ )$f(X_t, Y_t) = g(Z_t)$

• จดบันทึก
• การขยายตัวของคำสั่งแรกของ Taylor
• พีชคณิต

ก่อนอื่นเราทำการบันทึก

$$\ln(f(X_t, Y_t)) = \ln(g(Z_t))$$

หากเราทำการขยายลำดับแรกของ Taylor ในสภาพคงที่เราสามารถเขียน:

$$\ln(f(X_t, Y_t)) \approx \ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y)$$

$$\ln(g(Z_t)) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

ดังนั้นเราสามารถเขียน:

$$\ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

โปรดจำไว้ว่าในสถานะคงที่และฉันจะคูณด้วยหนึ่งในหลาย ๆ สถานที่ (ฯลฯ ... ) ดังนั้น$f(X, Y) = g(Z)$$\frac{X}{X}$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(X_t - X)}{X} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(Y_t - Y)}{Y} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$

ตอนนี้ให้นิยาม , , และ{Z} นี่คือเปอร์เซ็นต์ความเบี่ยงเบนของจาก (และสอดคล้องกันสำหรับและ ) จากนั้นคุณสามารถเขียนสมการบันทึกเชิงเส้นเป็น:$\hat{x_t} := \frac{(X_t - X)}{X}$$\hat{y_t} = \frac{(Y_t - Y)}{Y}$$\hat{z_t} := \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$X_t$$X$$Y_t$$Z_t$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{x_t} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{y_t} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \hat{z_t}$$

สองสิ่งสุดท้าย ครั้งแรกหนึ่งความละเอียดอ่อนที่ทำให้ฉันไม่ระวังในครั้งแรกที่ฉันสลับระหว่างค่าเบี่ยงเบนร้อยละและค่าจริงและคุณอาจต้องระวัง ค่าที่ไม่ปกติเป็นค่าลบอาจเป็นค่าลบได้เนื่องจากหมายความว่าเป็นเปอร์เซ็นต์ที่ต่ำกว่าสถานะคงที่ ประการที่สองรูปแบบการทำงานมักจะทำให้สิ่งเหล่านี้ง่ายขึ้นอย่างที่คุณเห็นในสมการบันทึกเชิงเส้นที่นำเสนอ

ในตัวอย่างนี้ Gali ใช้ตามที่เห็นในคำตอบอื่นดังนั้นหวังว่านี่จะให้สัญชาตญาณสำหรับสิ่งที่เกิดขึ้นที่อื่น$y_t := \log Y_t$

หวังว่านี่จะช่วยได้