การค้นหา Marshallian ต้องการฟังก์ชั่นการผลิต Leontief ที่มีพลังแตกต่างกัน

3

ความพยายามในการแก้ปัญหาการฝึกซ้อมไม่แน่ใจว่าฉันกำลังมุ่งหน้าไปในทิศทางที่ถูกต้องเนื่องจากวิธีการแก้ปัญหาของฉันดูยุ่งเหยิง รับฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ดังต่อไปนี้

$u(x,y)=min\{x^{1/2},2y\}$ , ค้นหาข้อเรียกร้องของมาร์แชล

คำตอบของฉัน:

เนื่องจาก Leontief เป็นการเติมเต็มที่สมบูรณ์แบบจึงต้องเป็นกรณีที่แทนที่สิ่งนี้เป็นข้อ จำกัด ด้านงบประมาณจะให้ผลดังนี้: $x^{1/2}=2y$

$p_x \times x + p_y \times y = w$ โดยที่ w คือรายได้ทั้งหมด การและ squaring อัตราผลตอบแทนนี้ 2 การซับซับสิ่งนี้ลงในข้อ จำกัด จะให้: $x^{1/2}=2y$ $x=4y^2$

$p_x \times 4y^2 + p_y \times y = w$ ณ จุดนี้ฉันใช้สูตรสมการกำลังสองและได้ฟังก์ชั่นอุปสงค์สำหรับ y ดังต่อไปนี้

y = \frac{- p_{y} \pm \sqrt{p_{y}^{2} + 16 p_{x} w}}{8 p_{x}}

$y = \frac{-p_y \pm \sqrt{p_y^2 + 16 p_x w}}{8p_x}$

นี่ดูยุ่งเหยิงสำหรับฉันฉันคิดว่าฉันสามารถแยกแยะลบด้านลบของสมการกำลังสองได้ซึ่งหมายความว่า y เป็นค่าลบ แม้ว่าบางคนยืนยันว่านี่เป็นวิธีการที่เหมาะสมจะได้รับการชื่นชม

ขอบคุณ!

microeconomics

— jbrau
แหล่งที่มา

คุณสามารถแยกแยะว่า y เป็นลบได้เพราะราคาสินค้าหายากเป็นบวก มิฉะนั้นพวกเขาจะไม่ขาดแคลน พวกเขาจะเป็นอิสระ คุณสามารถออกกฎว่าพวกเขาเป็นศูนย์เพราะถ้าพวกเขาจะแล้วจะไม่มีปัญหาในการเริ่มต้นด้วย

— Toby

คุณคิดว่าจะยอมรับคำตอบหรือไม่?

— luchonacho

1

Amit กล่าวว่าคำตอบของคุณถูกต้อง ดังที่โทบี้กล่าวไว้คุณสามารถแยกเอาท์พุทที่เป็นลบออกได้

ไม่มีความเข้าใจที่จะเพิ่มเป็นคำตอบจริงๆ อย่างไรก็ตามฉันก็รู้สึกงงงวยเป็นอย่างมากว่าปัญหาง่ายๆเช่นนี้ให้คำตอบที่ซับซ้อน เมื่อปรากฎว่าคุณได้รับความต้องการเชิงเส้น (เป็นรายได้) เฉพาะเมื่อเลขชี้กำลังของส่วนประกอบทั้งสองเท่ากัน

พิจารณากรณีทั่วไปมากขึ้น:

U (x, y) = min {a x^{α}, b y^{β}}

$U(x,y) = \text{min}\{ax^\alpha,by^\beta\}$

ต้องมีการเพิ่มประสิทธิภาพ (สัญกรณ์ * สำหรับค่าที่ดีที่สุดที่ข้าม)

a x^{α} = b y^{β}

$ax^\alpha = by^\beta\$

การแทนที่หนึ่งในสิ่งเหล่านี้ในข้อ จำกัด ด้านงบประมาณนำไปสู่:

p_{x} x + p_{y} {(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{β}} x^{\frac{α}{β}} = w

$p_x x + p_y \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{\beta}} x^{\frac{\alpha}{\beta}} = w$

ที่นี่เราเห็นว่าเมื่อความต้องการจะเป็นแบบเส้นตรง (กับรายได้) ในกรณีนี้: $\alpha=\beta$

x = \frac{w}{p_{x} + p_{y} {(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{α}}}

$x = \frac{w}{p_x + p_y\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{\alpha}}}$

ดูเหมือนว่าวิธีแก้ปัญหาพีชคณิตสำหรับกรณีทั่วไป (ไม่ จำกัด ) ไม่สามารถรับได้เนื่องจากพหุนามที่คุณได้รับอาจมีอำนาจไม่ลงตัว

— luchonacho
แหล่งที่มา

1

การสำรวจที่น่าสนใจที่นี่คือมีเงื่อนไขว่าฟังก์ชันอุปสงค์นั้นสะท้อนถึงความสัมพันธ์เชิงลบระหว่างราคาและปริมาณที่ต้องการหรือไม่ การทำให้เป็นมาตรฐานและทำให้รายรับคงที่เรามี $p_x =1$

y = \frac{- p_{y}}{8} + \sqrt{(p_{y} / 8)^{2} + \frac{1}{4} w}

$y = \frac{-p_y}{8} + {\sqrt{(p_y/8)^2 + \frac14 w}}$

⟹ \frac{\partial y}{\partial p_{y}} = - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot {((p_{y} / 8)^{2} + \frac{1}{4} w)}^{- 1 / 2} \cdot \frac{2 p_{y}}{8^{2}}

$\implies \frac {\partial y}{\partial p_y} = -\frac {1}{8}+ \frac 12\cdot\left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{-1/2}\cdot \frac {2p_y}{8^2}$

= - \frac{1}{8} \cdot [1 - {((p_{y} / 8)^{2} + \frac{1}{4} w)}^{- 1 / 2} \cdot \frac{p_{y}}{8}]

$= -\frac 18 \cdot \left[ 1- \left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{-1/2}\cdot \frac {p_y}{8}\right]$

เพื่อให้อนุพันธ์นี้เป็นลบเราต้องการแสดงออกภายในวงเล็บให้เป็นบวก ดังนั้นเราจึงต้องการ

1 - {((p_{y} / 8)^{2} + \frac{1}{4} w)}^{- 1 / 2} \cdot \frac{p_{y}}{8} > 0

$1- \left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{-1/2}\cdot \frac {p_y}{8} > 0$

⟹ 1 > {((p_{y} / 8)^{2} + \frac{1}{4} w)}^{- 1 / 2} \cdot \frac{p_{y}}{8}

$\implies 1> \left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{-1/2}\cdot \frac {p_y}{8}$

⟹ {((p_{y} / 8)^{2} + \frac{1}{4} w)}^{1 / 2} > \frac{p_{y}}{8}

$\implies \left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{1/2} > \frac {p_y}{8}$

⟹ (p_{y} / 8)^{2} + \frac{1}{4} w > (p_{y} / 8)^{2}

$\implies (p_y/8)^2 + \frac14 w > (p_y/8)^2$

ซึ่งถืออยู่เสมอ ดังนั้นเราจึงเห็นว่าแม้ฟังก์ชั่น utiity "รูปลักษณ์แปลก ๆ " กับฟังก์ชั่นความต้องการ "ยุ่ง" ของมันสะท้อนให้เห็นถึงผลกระทบเชิงลบของราคาต่อปริมาณที่ต้องการเสมอ

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา