ความแตกต่างของฟังก์ชั่นค่าใน Burdett Mortensen (1998)

ขณะนี้ฉันกำลังเดินทางผ่าน Burdett และกระดาษแบบดั้งเดิมของ Mortensen ในการค้นหางาน สิ่งที่ควรเป็นเรื่องง่ายในการค้นหานิพจน์สำหรับค่าจ้างการจองนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อยโดยการมีตัวดำเนินการสูงสุด เรากำลังเผชิญกับสมการของเบลแมนต่อไปนี้สำหรับมูลค่าของงานที่จ่ายค่าจ้าง $w$ . สมการ Bellman เป็นมาตรฐาน มูลค่าของงานที่จ่าย $w$ ประกอบด้วยค่าจ้าง $w$ บวกกับกำไรที่คาดหวังจากการค้นหาและการหางานที่ลดลงโดยความน่าจะเป็นที่มีการเสนองานมา $\lambda_1$ บวกกับการสูญเสียเนื่องจากการว่างงานเมื่องานถูกทำลายในอัตรา $\delta$ . มูลค่าของการว่างงาน $V_0$ ประกอบด้วยสิทธิประโยชน์กรณีว่างงาน $b$ บวกกำไรที่คาดหวังจากการเป็นลูกจ้างลดราคาโดยความน่าจะเป็นที่มีข้อเสนอ $\lambda_0$ . หมายเหตุความน่าจะเป็นที่ทำกับข้อเสนอนั้นแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับว่ามีคนจ้างงานหรือว่างงานอยู่แล้ว การกระจายข้อเสนอได้รับจาก $F$

r V_{1} (w) = w + λ_{1} [\int max {V_{1} (w), V_{1} (\tilde{x})} - V_{1} (w)] d F (\tilde{x}) + δ [V_{0} - V_{1} (w)]

$\begin{equation} rV_1(w)=w+\lambda_1\bigg[\int \max\{V_1(w),V_1(\tilde{x})\}-V_1(w)\bigg]\;dF(\tilde{x})+\delta [V_0-V_1(w)] \end{equation}$

r V_{0} = b + λ_{0} [\int max {V_{0}, V_{1} (\tilde{x})} d F (\tilde{x}) - V_{0}]

$\begin{equation}rV_0=b+\lambda_0 \bigg[\int \max\{V_0,V_1(\tilde{x})\}\;dF(\tilde{x})-V_0\bigg]\end{equation}$ ตั้งแต่

V_{1} (w)

$V_1(w)$ กำลังเพิ่มขึ้น

w

$w$ และ

V_{0}

$V_0$ เป็นอิสระจากมันเรารู้ว่าค่าจ้างการจองมีอยู่เช่นนั้นถ้า

w > R ⟹ V_{1} (w) > V_{0}

$w>R\implies V_1(w)>V_0$ ,

w < R ⟹ V_{1} (w) < V_{0}

$w<R\implies V_1(w)<V_0$ และ

V_{1} (R) = V_{0}

$V_1(R)=V_0$ . อาร์กิวเมนต์มาตรฐาน (การรวมเป็นส่วน ๆ ) แสดงให้เห็นว่า

R - b = (λ_{0} - λ_{1}) \int_{R}^{\infty} V_{1}^{'} (\tilde{x}) [1 - F (\tilde{x})] d \tilde{x}

$\begin{equation} R-b=(\lambda_0-\lambda_1)\int_R^\infty V_1'(\tilde{x})[1-F(\tilde{x})]\;d\tilde{x} \end{equation}$ จากตรงนี้ฉันอยากหาอนุพันธ์ของสมการแรกและแก้หา

V_{1}^{'} (w)

$V_1'(w)$ . อย่างไรก็ตามหากฉันใช้กฎการรวม Leibnizฉันต้อง integrand ที่จะหาอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นต่อเนื่องสูงสุดสองอย่างนั้นมักจะไม่แตกต่างกันในกรณีที่พวกเขาเท่ากันดังนั้นฉันจึงมีปัญหา ถ้าฉันคิดว่าฉันรวมทุกอย่าง

\tilde{x} \geq w

$\tilde{x}\geq w$ แล้วก็

V_{1} (\tilde{x}) \geq V_{1} (w)

$V_1(\tilde{x})\geq V_1(w)$ (ข้อเสนอค่าจ้างที่จะชักจูงคนงานให้เปลี่ยนงาน) และผลลัพธ์ตามด้วยกฎ Leibniz แต่มีค่าจ้างในการแจกแจงที่จะไม่ได้รับการยอมรับและอนุพันธ์นี้จะไม่ถืออยู่ อนุพันธ์คือ

V^{'} (\tilde{x}) = \frac{1}{r + δ + λ_{1} (1 - F (\tilde{x}))}

$\begin{equation} V'(\tilde{x})=\frac{1}{r+\delta+\lambda_1(1-F(\tilde{x}))} \end{equation}$ ฉันคิดว่าฉันขาดอะไรไป แต่ฉันไม่แน่ใจว่าทำอะไร หากใครสามารถให้คำแนะนำกับฉันฉันจะขอบคุณมันจริงๆ

labor-economics search-and-matching

— เครื่องหมาย
แหล่งที่มา

คำตอบ:

เมื่อคุณรับอินทิกรัลของ $\max_{\{\cdot\}}$ ฉันคิดว่าคุณต้องแยกอินทิกรัลเป็นสองอินทิกรัลแยกกันด้วยการรองรับที่แตกต่างกัน

แม้ว่าฟังก์ชั่นค่าของคุณจะซับซ้อนและไม่มีความแตกต่างกัน แต่คุณต้องการเพียงความต่อเนื่องสำหรับการมีทางออกในการแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสม

— ทหารม้า Kitsune
แหล่งที่มา

นี่คือความพยายามของฉันที่ฉันถือว่าขีด จำกัด บนแน่นอนในการสนับสนุน $F$ , $F(\overline{w})=1$ เพื่อความเรียบง่าย

เขียนซ้ำสมการแรกเป็น

r V_{1} (w) = w + λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1} (\tilde{x}) d F (\tilde{x}) + \underset{I}{\underset{⏟}{λ_{1} \int_{0}^{w} V_{1} (w) d F (\tilde{x})}} - λ_{1} \int_{0}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) + δ [V_{0} - V_{1} (w)],

$\begin{equation} rV_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(\tilde{x})dF(\tilde{x}) +\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{I} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) +\delta[V_0-V_1(w)] \ , \end{equation}$ อย่างไร

- λ_{1} \int_{0}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) = - λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) - \underset{I I}{\underset{⏟}{λ_{1} \int_{0}^{w} V_{1} (w) d F (\tilde{x})}} .

$\begin{equation} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x})= -\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) -\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{II} \ . \end{equation}$

เงื่อนไข $I$ และ $II$ ยกเลิกเพื่อให้การจัดการให้

(δ + r) V_{1} (w) = w + λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} [V_{1} (\tilde{x}) - V_{1} (w)] d F (\tilde{x}) + δ V_{0} .

$\begin{equation} (\delta +r)V_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}[V_1(\tilde{x})-V_1(w)]dF(\tilde{x}) +\delta V_0 \ . \end{equation}$ ถ้าเราใช้กฎของไลบนิซเราก็รู้

(δ + r) V_{1}^{'} (w) = 1 - λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1}^{'} (w) d F (\tilde{x}) = 1 - λ_{1} V_{1}^{'} (w) [1 - F (w)],

$\begin{equation} (\delta +r)V_1'(w)= 1-\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1'(w)dF(\tilde{x})=1-\lambda_1V_1'(w)[1-F(w)] \ , \end{equation}$ โดยความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายตามมาจาก

F (\bar{w}) = 1

$F(\overline{w})=1$ . การแก้เพื่อ

V_{1}^{'} (w)

$V_1'(w)$ ให้ทางออกที่ต้องการ

— daniel_EDI
แหล่งที่มา