ค้นหา Pareto-optima สองเศรษฐกิจดี

มีการออกกำลังกายที่ฉันไม่สามารถคาดศีรษะของฉันได้ ฉันมีวิธีแก้ไขปัญหา แต่จริงๆแล้วฉันยังไม่ค่อยเข้าใจ

ให้เศรษฐกิจประกอบด้วยผู้บริโภคสองคน $ A $ และ $ B $ และสินค้าสองรายการ $ X $ และ $ Y $ เช่นที่ $ Y $ ผลิตโดยใช้ $ X $ กับฟังก์ชั่นการผลิต $ Y = \ sqrt {5X} $ เราสมมติว่า $ A $ และ $ B $ มีฟังก์ชันยูทิลิตี้เหมือนกัน $ U (X, Y) = XY $ การบริจาคขั้นต้นของเศรษฐกิจคือ $ X = 1 $ และ $ Y = 0 $ ค้นหา Pareto-optima ของเศรษฐกิจนี้และแสดงพวกเขาเป็นฟังก์ชั่นของ $ X_A $ จำนวนเงินที่ดี $ X $ ที่จัดสรรให้กับผู้บริโภค .

ดังนั้นสิ่งที่ฉันทำเพื่อค้นหา optima เหล่านั้นคือการใส่ $ MRS_ {XY} ^ A = MRS_ {XY} ^ B $ ภายใต้ข้อ จำกัด $ X_A + X_B \ leq 1 $ และ $ Y_A + Y_B = \ sqrt {5 (1 - X_A - X_B)} $ แต่สำหรับฉันแล้วฉันได้สมการสองสามข้อเพื่อแก้ปัญหาจริงๆ สิ่งที่ฉันค้นหาคือการใส่ $ X = 1- X_A - X_B $: \ begin {align *} Y_A = \ frac {\ sqrt {5X}} {1 - X} \ cdot X_A \ end {จัด *} แต่ฉันไม่สามารถไปได้อีกต่อไป ... ในการแก้ปัญหามันอ่าน: \ begin {align *} \ frac {Y_A} {X_A} = \ frac {Y_B} {X_B} (= \ frac {Y_A + Y_B} {X_A + X_B}) = \ frac {\ sqrt {5}} {2 \ sqrt {X}} \ end {จัด *} โดยไม่ต้องอธิบายวิธีการได้มาซึ่งความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้าย

ความเท่าเทียมกันครั้งแรกที่คุณได้พบแล้วเท่ากับ MRS ของ $ A $ และ $ B $ ความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายมาจากการตั้งค่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของ $ MRT_ {XY} $ ระหว่าง $ X $ และ $ Y $ เป็น MRS ทั่วไป สำหรับฟังก์ชั่นการผลิตที่มีอินพุตเดี่ยวและเอาต์พุตเดียว $ MRT_ {XY} $ เท่ากับ $ MP_X $ ซึ่งเป็นผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่มของอินพุตที่ดี $ X $ นั่นคือ:

$$ MRT_ {XY} = \ frac {1} {2} \ sqrt \ frac {5} {X} $$

สำหรับรายละเอียดโปรดดู Mas-Colell, Whinston and Green (1995), ส่วนที่ 16F