เมื่อการควบคุมที่เหมาะสมล้มเหลว (?)

เพื่อที่จะ "ถามคำถามของฉัน" ฉันต้องแก้แบบจำลองก่อน ฉันจะข้ามบางขั้นตอนไป แต่สิ่งนี้จะทำให้โพสต์นี้นานมาก - นี่คือการทดสอบเพื่อดูว่าชุมชนนี้ชอบคำถามแบบนั้นหรือไม่

ก่อนที่จะเริ่มฉันชี้แจงว่าสิ่งนี้อาจดูเหมือนเป็นรูปแบบการเติบโตแบบนีโอคลาสสิกแบบมาตรฐานในเวลาต่อเนื่องแต่ไม่ใช่ : มันเกี่ยวข้องกับบุคคลเดียวซึ่งไม่ได้เป็น "ตัวแทน" ใครก็ตามในระบบเศรษฐกิจรอบตัวเขา ไม่ได้จำลอง กรอบงานที่นี่คือ"การประยุกต์ใช้การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดกับปัญหาการขยายใหญ่สุดของบุคคลเดียว" นี่เป็นเรื่องเกี่ยวกับกรอบโซลูชันและวิธีการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด

เราแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพยูทิลิตี้ระหว่างกันของนักธุรกิจขนาดเล็กที่เป็นเจ้าของเงินทุนใน บริษัท ของเขาในขณะที่เขาซื้อบริการด้านแรงงานในตลาดแรงงานที่มีการแข่งขันสูงและเขาขายผลิตภัณฑ์ของเขา (โดนัทสด) ในตลาดสินค้าที่แข่งขันได้อย่างสมบูรณ์ เรากำหนดรูปแบบในเวลาต่อเนื่องโดยไม่มีความไม่แน่นอน (เงื่อนไขทางสังคมและเศรษฐกิจมีความมั่นคง) และด้วยขอบฟ้าที่ไม่มีที่สิ้นสุด

max_{c, ℓ, k} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} \ln c d t s.t. \dot{k} = f (k, ℓ) - w ℓ - δ k - c lim_{t \to \infty} e^{- ρ t} λ (t) k (t) = 0

$\max_{c,\ell,k}\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\ln c\,\text{d}t\\ \text{s.t.}\;\; \dot k = f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c\\ \lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\rho t}\lambda(t) k(t) = 0$

ที่ $c$ คือการบริโภคของนักธุรกิจ $\ln c$ เป็นประโยชน์จากการบริโภคทันที $\rho>0$ คืออัตราการกำหนดเวลาบริสุทธิ์ $k$ คือเมืองหลวงของ บริษัท $\delta$ คืออัตราค่าเสื่อมราคาทุนและ $f(k,\ell)$ เป็นฟังก์ชั่นการผลิตของธุรกิจ ระดับเริ่มต้นของเงินทุนจะได้รับk_0 $k_0$ อาชีพของนักธุรกิจที่มีธุรกิจเป็นเงินทุน ฟังก์ชั่นการผลิตเป็นมาตรฐานนีโอคลาสสิก (ผลตอบแทนคงที่ขนาดผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่มบวกส่วนที่สองเชิงลบเงื่อนไข Inada) ข้อ จำกัด คือกฎการเคลื่อนที่ของเงินทุนและเงื่อนไขการพลิกผันโดยใช้ตัวคูณมูลค่าปัจจุบัน

การตั้งค่าปัจจุบัน Hamiltonian

\hat{H} = LN ค + λ [ฉ (k, ℓ) - W ℓ - δ k - ค]

$\hat H = \ln c +\lambda[f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c]$

เราคำนวณเงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรก

\frac{\partial \hat{H}}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac{1}{c} = λ \Rightarrow \frac{\dot{c}}{c} = - \frac{\dot{λ}}{λ}

$\frac {\partial \hat H}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac 1c =\lambda \Rightarrow \frac {\dot c}{c} = -\frac {\dot \lambda}{\lambda}$

\frac{\partial \hat{H}}{\partial ℓ} = 0 \Rightarrow λ [f_{ℓ} - w] = 0 \Rightarrow f_{ℓ} = w

$\frac {\partial \hat H}{\partial \ell} = 0 \Rightarrow \lambda [f_{\ell} -w]=0 \Rightarrow f_{\ell} =w$

\frac{\partial \hat{H}}{\partial k} = ρ λ - \dot{λ} \Rightarrow λ [f_{k} - δ] = ρ λ - \dot{λ}

$\frac {\partial \hat H}{\partial k} = \rho\lambda - \dot \lambda \Rightarrow \lambda [f_{k} -\delta]=\rho\lambda - \dot \lambda$

และการรวมเข้าด้วยกันเราได้รับกฎวิวัฒนาการของการบริโภคของนักธุรกิจของเรา

\begin{matrix} (1) & \dot{c} = (f_{k} - δ - ρ) c \end{matrix}

$\dot c = \big(f_k-\delta -\rho \big)c \tag{1}$

จากการปกครองที่ดีที่สุดสำหรับความต้องการแรงงาน (คงที่) และผลตอบแทนคงที่จะหมายขนาด ( ) เราได้รับf_kk การแทรกสิ่งนี้ไว้ในกฎการเคลื่อนที่ของเงินทุนที่เราได้รับ $\ell: f_{\ell} =w$ $f = f_kk + f_{\ell}\ell$ $f-w\ell = f_kk$

\begin{matrix} (2) & \dot{k} = f_{k} k - δ k - c \end{matrix}

$\dot k = f_kk - \delta k - c \tag {2}$

สมการและสร้างระบบสมการเชิงอนุพันธ์ ค่าสถานะคงที่สำหรับการบริโภคและเมืองหลวงของนักธุรกิจคือ $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & c^{*} = f_{k}^{*} k^{*} - δ k^{*}, k^{*} : f_{k}^{*} = δ + ρ \end{matrix}

$c^* = f_k^*k^* - \delta k^*,\;\;\; k^*: f^*_k = \delta +\rho \tag{3}$

\begin{matrix} (3a) & \Rightarrow c^{*} = ρ k^{*} \end{matrix}

$\Rightarrow c^* = \rho k^* \tag{3a}$

... ซึ่งเป็นคำที่คุ้นเคย

$k^*$ บางครั้งเรียกว่าระดับ "การแก้ไขกฎทอง" ของทุน Jacobian ของระบบที่ประเมินที่ค่าคงที่ของรัฐมีตัวกำหนดลบสำหรับค่าใด ๆ ของพารามิเตอร์โมเดลซึ่งเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับระบบเพื่อแสดงความเสถียรของเส้นทางอานม้า

ค่าสูงสุดของ locus อยู่ที่จุด (บางครั้งเรียกว่าระดับ "กฎทอง" ของเมืองหลวง) $\dot k =0$ $\tilde k$

\begin{matrix} (4) & \tilde{k} : f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} + f_{k} (\tilde{k}) - δ = 0 \Rightarrow f_{k} (\tilde{k}) = δ - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} \end{matrix}

$\tilde k : f_{kk}(\tilde k)\tilde k + f_k(\tilde k) - \delta = 0\Rightarrow f_k(\tilde k) = \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag{4}$

ค่ามีความสำคัญเป็นเกณฑ์มาตรฐาน: เป็นระดับของเงินทุนที่และเป็นค่าสูงสุด (ไม่ใช่สถานะที่เหมาะสมหรือมั่นคง ) $\tilde k$ $\dot k =0$ $c$

สถานะข้ามแกนนอนของเฟสไดอะแกรม (ว่ามาตรการ Capital) ที่มั่นคงของรัฐระดับทุน * $\dot c=0$ $k^*$

หากซึ่งต้องการเนื่องจากลบส่วนที่สองเราจะมี "การสะสมทุน" (โดนัทมากเกินไป): นักธุรกิจสามารถมีความมั่นคงมากขึ้น - การบริโภคของรัฐที่มีระดับเงินทุนที่ต่ำกว่า ใช้และเรามี $k^* > \tilde k$ $f_k^* < f_k(\tilde k)$ $(3)$ $(4)$

f_{k}^{*} < f_{k} (\tilde{k}) \Rightarrow δ + ρ < δ - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k}

$f_k^* < f_k(\tilde k) \Rightarrow \delta + \rho < \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k$

\begin{matrix} (5) & \Rightarrow ρ < - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} \end{matrix}

$\Rightarrow \rho < - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag {5}$

ความไม่เท่าเทียมกันเป็นเงื่อนไขของระดับเงินกองทุนที่มั่นคง และสิ่งนี้คือเราไม่สามารถแยกแยะออกได้ มันแค่ต้องการให้นักธุรกิจนั้น "อดทนพอ" ด้วยอัตราที่พอเพียงของเวลาที่บริสุทธิ์ แต่ก็ยังเป็นแง่บวก $(5)$

ที่นี่เริ่มต้นปัญหา: การสะสมเกินทุนไม่รวมอยู่ในรูปแบบตัวแทนตัวแทน มันเป็นไปได้ในการสร้างแบบจำลองที่ทับซ้อนกัน แต่ในฐานะที่เป็นผลมาจากระดับเศรษฐกิจมหภาคโดยไม่ได้ตั้งใจหนึ่งในตัวอย่างแรกสุดที่เศรษฐกิจมหภาคอาจถูกก่อตั้งขึ้นในระดับจุลภาคและยังคงทำงานแตกต่างจากไมโครโลก

แต่โมเดลของเราไม่อยู่ในหมวดหมู่ใด ๆ : มันเป็นโมเดลสมดุลบางส่วนของเอเจนต์เดียวในสภาพแวดล้อมต่างกันโดยปริยาย - และดุลยภาพทั่วไปที่นี่จะไม่เปลี่ยนแปลงผลลัพธ์: บุคคลนี้แสดงถึงตัวเขาเท่านั้น ดังนั้นปัญหาคือถ้าถือแล้วทางออกที่ดีที่สุดในการควบคุมจะเห็นได้ชัดว่าย่อยเพราะที่นี่เรามีคนคนเดียวใจเดียวใจเดียว: โดยดูที่วิธีแก้ปัญหาที่นักธุรกิจของเราจะพูดว่า " เฮ้วิธีนี้ไม่มีค่าถ้าฉันทำตามคำแนะนำของฉันฉันจะจบลงด้วยทุนระดับสูงย่อยอย่างเหมาะสม " $(5)$

และฉันไม่พอใจเพียงแค่พูดว่า "ดีการควบคุมที่เหมาะสมไม่เหมาะสำหรับปัญหานี้ลองใช้วิธีอื่น" เพราะฉันไม่เห็นว่าทำไมเราควรพิจารณาว่าไม่เหมาะสม แต่ถ้ามันมีความเหมาะสมแล้ววิธีการที่ควรส่งสัญญาณว่ามีบางอย่างผิดปกติในบางจุดต้องการที่ไม่ได้ถือเพื่อที่จะสามารถเสนอวิธีแก้ปัญหา (ถ้ามันเกิดขึ้นที่ไม่ ถือทุกอย่างดูบวม) $(5)$ $(5)$

อาจมีใครสงสัยว่า "สภาพการตัดขวางอาจถูกละเมิดหากถือ" - แต่มันไม่ได้ดูว่ามันทำเพราะซึ่งไปที่ค่าคงที่เป็นบวกในขณะที่ไปที่ ศูนย์ต้องใช้เพียงว่า 0 $(5)$ $\lambda(t)k(t) = k(t)/c(t)$ $e^{-\rho t}$ $\rho>0$

คำถามของฉัน:

1) มีใครให้ข้อมูลเชิงลึกที่นี่บ้างไหม

2) ฉันจะขอบคุณถ้ามีคนแก้ไขได้โดยใช้โปรแกรมแบบไดนามิกและรายงานผล

ภาคผนวก
จากจุดทางคณิตศาสตร์ของมุมมองที่แตกต่างที่สำคัญของรุ่นนี้คือการที่Optimizedกฎหมายของการเคลื่อนไหวของเงินทุน, EQ รวมถึงการไม่ได้ทั้งการส่งออกเช่นเดียวกับในรุ่นมาตรฐาน แต่ผลตอบแทนไปยังเมืองหลวงf_kkและสิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะเราได้แยกสิทธิในทรัพย์สินเหนือผลลัพธ์ซึ่งอยู่ในกรอบ "ปัญหาการขยายธุรกิจสูงสุด" ซึ่งคาดว่าจะเกิดขึ้น $(2)$ $f(k)$ $f_kk$

economic-growth optimal-control dynamic-programming

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

ฉันไม่แน่ใจว่าคุณหมายถึงอะไรเมื่อคุณพูดว่า "the สูงสุดของ kdot = 0 locus" สูงสุดเกี่ยวกับอะไร นอกจากนี้เมื่อคุณคำนวณ (4) คุณไม่ควรแยกความแตกต่างอย่างสิ้นเชิง (2) - นั่นคือคุณไม่ควรคำนวณการเปลี่ยนแปลงใน c ที่จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่า kdot = 0 ยังคงพอใจหลังจากเปลี่ยน k?

— แพร่หลาย

@Ubiquitious Maximum เกี่ยวกับทุน นี่เป็นวิธีวาดไดอะแกรมเฟส แต่ฉันไม่สามารถรวมการคำนวณเหล่านี้ได้ที่นี่ สำหรับคำถามที่สอง:มาจากการตั้งค่าในและแสดงการบริโภคเป็นฟังก์ชั่นของทุน ( ไม่ได้ประเมินที่ค่าสถานะคงที่) เพื่อให้ได้รูปร่างของสถานที่นี้เราจึงแยกความแตกต่างด้วยความเคารพต่อทุน

(4)

$(4)$

\dot{k} = 0

$\dot k =0$

(2)

$(2)$

c = f_{k} k - δ k

$c = f_kk-\delta k$

— Alecos Papadopoulos

ฉันไม่ได้ตรวจสอบทั้งหมด แต่ปัญหาหนึ่งที่ฉันเห็นคือเงื่อนไขการมองโลกในแง่ดีของแรงงาน (ภายใต้ CRS) จะกำหนดอัตราส่วนเงินทุน / แรงงานซึ่งจะกำหนดผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่มของเงินทุนซึ่งจะคงที่ตลอดเส้นทางที่ดีที่สุด แบบจำลองนั้นเทียบเท่ากับปัญหาการประหยัดการบริโภคมาตรฐานด้วยอัตราดอกเบี้ยภายนอกดังนั้นหาก MPK - delta> rho การบริโภคของตัวแทนจะเพิ่มขึ้นในอัตราคงที่ (เช่นไม่มีสถานะคงที่)

— ivansml

@ivansml ขอบคุณสำหรับการมีส่วนร่วม แต่การแก้ปัญหาไม่ได้บอกว่าเดลต้า> สถานะคงที่คือจุดที่

, สมการ

)

ปัญหาคือสิ่งที่ระดับของทุนในครั้งนี้สอดคล้องมั่นคงของรัฐและไม่ว่ามันจะสูงหรือต่ำกว่า "กฎทอง" ระดับ

f_{k} - δ > ρ

$f_k -\delta >\rho$

f_{k} - δ = ρ

$f_k -\delta = \rho$

(3)

$(3)$

\tilde{k}

$\tilde k$

— Alecos Papadopoulos

ตอนนี้ฉันสังเกตเห็นว่าคำถามนี้ค่อนข้างเก่า ... ความหวังที่ไม่สำคัญ กลับไปที่หัวข้อ -

จะต้องถูกกำหนดโดย FOC ของแรงงาน สถานะคงที่จะมีอยู่ก็ต่อเมื่อค่าของ

นี้เท่ากับ

เช่นโดยบังเอิญ (หรือการพิจารณาความสมดุลทั่วไปบางอย่าง) หากสูงกว่านี้ตัวแทนจะสะสมทุนอย่างไม่มีกำหนดและการบริโภคของเขาจะเพิ่มขึ้นหากมันลดลงเขาจะทำลายทุนและการบริโภคของเขาจะลดลง เป็นจริงทั้งหมดเนื่องจากสมมติฐาน CRS - ฟังก์ชัน "รายได้"

เป็นเส้นตรงใน

f_{k}

$f_k$

f_{k}

$f_k$

ρ + δ

$\rho+\delta$

f (k, ℓ) - w ℓ

$f(k,\ell) - w \ell$

k

$k$ เมื่อ บริษัท ปรับสภาพแรงงานให้เหมาะสมจึงจะสามารถเติบโตได้อย่างมั่นคง

— ivansml

คำตอบ:

ฉันเชื่อว่าปัญหาคือสภาวะคงตัวอาจไม่มีอยู่และระบบจะแสดงการเติบโตที่มั่นคง (ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์)

เหตุผลก็คือเพราะตัวแบบนั้นเทียบเท่ากับปัญหาการประหยัดการบริโภคมาตรฐานที่มีอัตราดอกเบี้ยภายนอกและอัตราดอกเบี้ยคงที่ หากต้องการดูว่าอันดับแรกให้พิจารณาเงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรกสำหรับตัวเลือกแรงงาน (ที่นี่เป็นอนุพันธ์บางส่วนของ wrt. ข้อโต้แย้งที่ th) การใช้คำนิยามของผลตอบแทนคงที่ผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่มของแรงงานคือ $f_2(k,\ell) = w$ $f_i$ $f$ $i$ ซึ่งเป็นหน้าที่ของอัตราส่วนเงินทุนแรงงานเท่านั้น ถ้าค่าจ้างเป็นค่าคงที่เสียค่าใช้จ่ายแรงงานกำหนดที่ไม่ซ้ำกันที่ดีที่สุดอัตราส่วนเป็นหน้าที่ของค่าจ้างและพารามิเตอร์อื่น ๆ เนื่องจากผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่มของเงินทุน

\frac{\partial}{\partial ℓ} f (k, ℓ) = \frac{\partial}{\partial ℓ} [f (\frac{k}{ℓ}, 1) ℓ] = f_{1} (\frac{k}{ℓ}, 1) \frac{- k}{ℓ} + f (\frac{k}{ℓ}, 1)

$\frac{\partial }{\partial \ell} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial \ell} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \frac{-k}{\ell} + f \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$

k / ℓ

$k/\ell$

w

$w$

ยังขึ้นอยู่กับ

, มันจะคงที่ตลอดเส้นทางที่ดีที่สุด แสดงว่ามูลค่าของผลิตภัณฑ์นี้ร่อแร่

และแสดงสุทธิผลตอบแทนจากค่าเสื่อมราคา

สมการ (1) - (2) สำหรับการเปลี่ยนแปลงของเงินทุนและการบริโภคแล้ว

\frac{\partial}{\partial k} f (k, ℓ) = \frac{\partial}{\partial k} [f (\frac{k}{ℓ}, 1) ℓ] = f_{1} (\frac{k}{ℓ}, 1)

$\frac{\partial }{\partial k} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial k} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$

k / ℓ

$k/\ell$

r^{*}

$r^*$

r = r^{*} - δ

$r = r^* - \delta$

โซลูชั่นที่เฉพาะเจาะจงซึ่งสภาพที่น่าพอใจ transversality ควรจะเป็นและ

กับ

ได้รับคือเป็นส่วนหนึ่งที่คงที่ของความมั่งคั่งที่มีการบริโภคในแต่ละช่วงเวลา ทั้งเงินทุนและการบริโภคเติบโตในอัตรา

ดังนั้นจึงไม่มีสถานะที่คงที่จนกว่าจะได้รับผลตอบแทนจากทุน (ซึ่งขึ้นอยู่กับอัตราค่าจ้างภายนอก

) เท่ากับอัตราของการตั้งค่าเวลา

\begin{aligned} {\dot{ค}}_{เสื้อ} & = (R - ρ) ค_{เสื้อ} \\ {\dot{k}}_{เสื้อ} & = R k_{เสื้อ} - ค_{เสื้อ} \end{aligned}

$\begin{split} \dot c_t &= (r - \rho) c_t \\ \dot k_t &= r k_t - c_t \end{split}$

c_{t} = ρ k_{t}

$c_t = \rho k_t$

k_{0}

$k_0$

(r - ρ)

$(r-\rho)$

w

$w$

— ivansml
แหล่งที่มา

(+1) ขอบคุณ ฉันกำลังทำสิ่งนี้ให้เป็นคำตอบของฉัน

— Alecos Papadopoulos

คำตอบที่ดี โดยพื้นฐานเมื่อเลือกแรงงานอย่างเหมาะสมแล้วฟังก์ชั่นกำไรกลายเป็นเงินทุนในเชิงเส้นเพื่อให้โมเดลนี้กลายเป็นโมเดล AK ซึ่งมีคุณสมบัติ (รวมถึงการเติบโตของรัฐที่มั่นคง) เป็นที่เข้าใจกันดี

— เข้มงวดในนาม

@nominallyrigid แต่ถ้าเราคิดว่าค่าจ้างการเข้าพักอย่างต่อเนื่อง โปรดจำไว้ว่านี่ไม่ใช่ดุลยภาพทั่วไปเพียงแค่ว่ายน้ำตัวเล็ก ๆ ในมหาสมุทรเศรษฐกิจ

— Alecos Papadopoulos

ฉันโพสต์คำตอบนี้เป็นคำตอบเนื่องจากผู้ใช้ @ivansml ยังคงตอบคำถามต่อไป ... ซึ่งเป็นคำที่ระบุว่ามีการจับที่นี่การจับที่ฉันมองข้ามอย่างไร้เดียงสา (แม้ว่าจะเป็นกรณีที่แคบ อย่างไรก็ตามควรได้รับการจัดการ)

แท้จริงด้วยอัตราค่าจ้างภายนอกและการเพิ่มประสิทธิภาพการแข่งขันที่สมบูรณ์แบบในความต้องการแรงงานผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่มของเงินทุนจะถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ของรูปแบบและโดยอัตราค่าจ้าง สำหรับกรณีง่าย ๆ ที่เราคิดว่าอัตราค่าจ้างคงที่การวิเคราะห์ของ @ivansml ถือ: แบบจำลองกลายเป็นหนึ่งในการเติบโตภายนอก : ผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่มของเงินทุนคงที่ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับการเจริญเติบโตภายนอกซึ่งไม่มีความมั่นคง ของรัฐในระดับ

แสดงถึงและสมการและของ OP ที่สามารถเขียน $\hat c = \dot c/c$ $\hat k = \dot k /k$ $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (1b) & \hat{ค} = ฉ_{k} - δ - ρ \end{matrix}

$\hat c = f_k-\delta -\rho \tag{1b}$

\begin{matrix} (2b) & \hat{k} = ฉ_{k} - δ - ค / k \end{matrix}

$\hat k = f_k - \delta - c/k \tag{2b}$

เนื่องจากเป็นค่าคงที่อัตราการเติบโตของการบริโภคคงที่ - ศูนย์บวกหรือลบขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์และค่าจ้าง ในขณะที่ความแตกต่างกับเวลาที่เราได้รับ $f_k$ $(2b)$

\dot{\hat{k}} = (\hat{k} - \hat{ค}) \cdot (ค / k)

$\dot {\hat k} = (\hat k - \hat c)\cdot (c/k)$

และมันก็เป็นที่ชัดเจนว่าสำหรับการเจริญเติบโตมั่นคงของรัฐเราต้องการซึ่งจากจะได้รับเฉพาะในกรณีที่ kมันง่ายที่จะตรวจสอบว่าเนื่องจากวิธีเดียวที่จะรักษาสภาพการพลิกผันคือหากการบริโภคและทุนเติบโตหรือหดตัวในอัตราเดียวกัน (หรือคงที่) $\hat k = \hat c$ $(2b)$ $c = \rho k$ $\lambda(t) = c(t)$

ในแบบจำลองการเจริญเติบโตภายนอกที่เหมาะสมที่เราตรวจสอบเศรษฐกิจทั้งหมดเราแค่สมมติว่าพารามิเตอร์ของตัวแบบนั้นมีอัตราการเติบโตในเชิงบวกเพราะนี่คือสิ่งที่เราสังเกตเห็นในโลกแห่งความเป็นจริง แต่ที่นี่เรามีเพียงคนเดียว ดังนั้นสิ่งที่เราอาจจะบอกนักธุรกิจของเรา?

ถ้าอัตราการเติบโตเป็นบวกและทั้งการบริโภคและทุนของเขาควรเติบโต "ตลอดไป" โดยคงอัตราส่วนไว้คงที่ ถ้าอัตราการเติบโตจะเป็นศูนย์และตัวแปรทั้งสองจะคงที่ตลอดไป ถ้าอัตราการเติบโตเป็นลบและเราควรเข้าสู่เกลียวลงของการบริโภคและทุนที่ลดลง (รักษาความสัมพันธ์เสมอ) $f_k-\delta -\rho >0$
$f_k-\delta -\rho =0$
$f_k-\delta -\rho <0$ $c= \rho k$

$\rho$

ส่วนที่น่าสนใจจริงๆจะเริ่มต้นถ้าเราพิจารณาค่าจ้างตัวแปร สิ่งนี้สามารถสร้างพลวัตที่น่าสนใจและซับซ้อนได้ทุกประเภทสำหรับนักธุรกิจตัวน้อยของเราและการตัดสินใจลงทุนเพื่อบริโภค

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

$w$ $w$ $k$ $k$

— Jyotirmoy Bhattacharya
แหล่งที่มา

ฉันกำลังมองหา บริษัท เดียวที่ยังเล็กเกินไปที่จะมีอิทธิพลต่อการรวม ดังนั้นความคิดเห็นที่สองของคุณจึงเกี่ยวข้องซึ่งคุณพูดว่า "การแทนที่ก่อนหน้าสมการ (2) ไม่ถูกต้อง" ฉันไม่เห็นว่าทำไม คุณสามารถอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับเรื่องนั้นได้ไหม? ขอขอบคุณ.

— Alecos Papadopoulos

w = f_{l}

$w=f_l$

r = f_{k}

$r=f_k$

k

$k$

\dot{k}

$\dot k$

k

$k$

@JyotirmoyBhattacharya นั่นเป็นผลลัพธ์มาตรฐานจากการสมมติว่าตลาดแข่งขัน

— FooBar

k

$k$

l

$l$

w = f_{l}

$w=f_l$

r = f_{k}

$r=f_k$

l

$l$

k

$k$

ตกลงฉันจะต้องเขียนชาวมิลโตเนียนและทำให้มันยาวขึ้น

— Alecos Papadopoulos