ทำความเข้าใจกับการสร้างกระบวนการสโตแคสติก

11

ฉันเคยเห็นกระบวนการสุ่มจำลอง / สร้างในวิธีต่อไปนี้

พิจารณาพื้นที่ความน่าจะเป็นและให้เป็นการแปลง (ที่วัดได้) ที่เราใช้เพื่อจำลองวิวัฒนาการของจุดตัวอย่างตลอดเวลา . นอกจากนี้ยังให้เป็นแบบสุ่มเวกเตอร์ n จากนั้นกระบวนการสุ่มใช้เพื่อจำลองลำดับของการสังเกตผ่านสูตร หรือ $(\Omega, \mathcal F, Pr)$ $\mathbb S$ $\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$ $\omega$ $X$ $X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n$ $\{ X_t: t=0,1,...\}$ $X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)]$ $X_t = X \circ \mathbb S^t.$

ฉันจะเข้าใจจุดตัวอย่างและการแปลงในโครงสร้างนี้ได้อย่างไร (อาจเป็นบางสิ่งที่เหมือนลำดับของการกระแทกในบางกรณีหรือไม่) $\omega \in \Omega$ $\mathbb S$ $\omega$

เพื่อความเป็นรูปธรรมมากขึ้นฉันจะเขียนกระบวนการทั้งสองนี้ในสัญลักษณ์นี้ได้อย่างไร

กระบวนการที่ 1: ที่0

\begin{matrix} (1) & X_{t + 1} = ρ X_{t} + ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \rho X_t + \varepsilon_{t+1} \tag{1}$

X_{0} = 0

$X_0 = 0$

กระบวนการที่ 2:

\begin{matrix} (2) & X_{t + 1} = ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \varepsilon_{t+1} \tag{2}$

— jmbejara
แหล่งที่มา

4

สิ่งปลูกสร้างที่คุณอธิบายนี้ไม่ได้เป็นแบบทั่วไป ในความเป็นจริงมันเป็นลักษณะอนุกรมเวลาหยุดนิ่ง คุณจะเห็นว่ามันเป็นกะ - คงที่ ตัวดำเนินการนี้เป็นตัวดำเนินการเปลี่ยนเป็นหลัก $S$

สำหรับการเปรียบเทียบนี่คือคำจำกัดความปกติของสมมติกระบวนการไม่ต่อเนื่อง:

นิยามกระบวนการสุ่มเป็นลำดับของแผนที่ที่วัดโบเรลในพื้นที่น่าจะเป็นMU) $\{ X_t \}$ $( \Omega, \mathcal{F}, \mu )$

ตอนนี้สำหรับสิ่งที่คุณอธิบายคุณมีการแก้ไข Borel แผนที่ที่วัด n มันเป็นตัวชี้วัดพื้นฐานที่มีการพัฒนาตามส แผนที่ทำให้เกิด "การวัดการผลักดันไปข้างหน้า" ใหม่ (ในสำนวนการวัดเชิงทฤษฎี) บนโดยเพียงแค่ใช้คำนำหน้า: กำหนดการวัดโดย $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ $S$ $S$ $\Omega$ $\mu_S$

A \in F \overset{μ_{S}}{\mapsto} P r (S^{- 1} (A)) .

$A \in \mathcal{F} \stackrel{\mu_S}{\mapsto} Pr(S^{-1}(A)).$

ดังนั้นเวกเตอร์สุ่มคือโดยการก่อสร้าง พวกเขาทำให้เกิดมาตรการผลักดันไปข้างหน้าเช่นเดียวกันกับ n ทำสิ่งนี้กับสำหรับแต่ละและคุณมีอนุกรมเวลาของคุณ $X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n$ $X \circ S$ $\mathbb{R}^n$ $S^t$ $t$

สำหรับคำถามของคุณเกี่ยวกับการตรวจสอบหลักฐานสำหรับทิศทางอื่นควรชี้แจงเรื่องนี้ --- นั่นคืออนุกรมเวลาที่อยู่กับที่อย่างเคร่งครัดจะต้องใช้แบบฟอร์มนี้สำหรับบางคน ,และ . $\omega$ $( \Omega, \mathcal{F}, Pr)$ $X$ $S$

จุดพื้นฐานคือจากมุมมองทั่วไปกระบวนการสโทแคสติกคือการวัดความน่าจะเป็นในชุดของการรับรู้ที่เป็นไปได้ ยกตัวอย่างเช่นสิ่งนี้เห็นได้จากการสร้างการเคลื่อนไหวของบราวเนียน Wiener; เขาสร้างความน่าจะเป็นตัวชี้วัดในinfty) โดยทั่วไปแล้วเป็นเส้นทางตัวอย่างและประกอบด้วยเส้นทางตัวอย่างที่เป็นไปได้ทั้งหมด $C[0, \infty)$ $\omega$ $\Omega$

ตัวอย่างเช่นใช้สองกระบวนการที่คุณระบุไว้ข้างต้น พวกมันอยู่กับที่อย่างเคร่งครัดถ้าสมมุติว่านวัตกรรมนั้นเป็นเกาส์เซียน (ความแปรปรวนแบบเวลาคงที่ใด ๆ ที่ขับเคลื่อนด้วยนวัตกรรมแบบเกาส์นั้นไม่หยุดนิ่ง) การก่อสร้างจะเริ่มต้นด้วยการใช้เป็นเซตของลำดับทั้งหมด the -algebra ที่สร้างขึ้นโดยพิกัดแผนที่และมาตรการที่เหมาะสม สำหรับกระบวนการลดเสียงรบกวนสีขาว (2)เป็นเพียงการวัดผลิตภัณฑ์สำหรับผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด $\Omega$ $\mathcal{F}$ $\sigma$ $Pr$ $Pr$

อ้างอิงลักษณะนี้ / ก่อสร้างโดยการเปลี่ยนแปลงของชุดเวลานิ่งอย่างเคร่งครัดถูกกล่าวถึงในสีขาวของทฤษฎีที่สำหรับ econometricians

— ไมเคิล
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบและการอ้างอิง นอกจากนี้ขออภัยสำหรับการตอบช้าที่นี่ มันสมเหตุสมผลแล้ว นอกจากนี้ยังพูดถึงตามที่อ้างอิง (หนังสือของไวท์) มันดูเหมือนว่าฉันว่าการก่อสร้างนี้จะช่วยให้กระบวนการที่ไม่หยุดนิ่ง Def 3.27 กำหนดเปลี่ยนแปลงจะเป็นมาตรการรักษาถ้าสำหรับทุกF จากนั้นข้อเสนอที่ 3.29 กล่าวว่าหากเป็นมาตรการในการรักษากระบวนการก็จะหยุดนิ่ง

S

$\mathbb S$

P r (A) = P (S^{- 1} (A))

$Pr(A) = P(\mathbb S^{-1}(A))$

A \in F

$A \in \mathcal F$

S

$\mathbb S$

— jmbejara

1

@jmbejara ใช่จุดดี จริงๆแล้วมันเป็นเรื่องทั่วไป --- โดยการเลือกให้เป็นที่ยอมรับของพื้นที่ ( ), ผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด --- และกำหนดให้เป็นกะการเปลี่ยนแปลงอนุกรมเวลาใด ๆ ก็ได้ แบบฟอร์มดังกล่าว

Ω

$\Omega$

Π R

$\Pi \mathbb{R}$

S

$S$

— Michael

1

มีความเป็นไปได้ที่จะพิจารณากรณีของที่เป็นจุดในพื้นที่ว่างในมิติเช่นลำดับของการสั่นสะเทือน แต่การตีความดังกล่าวจะไม่เกิดผลเนื่องจากคุณจะไม่ได้รับความเรียบง่ายเมื่อเปรียบเทียบกับข้อกำหนดเฉพาะของกระบวนการในพื้นที่กรองความน่าจะเป็น ผลิตเอนทิตีเพิ่มเติมที่ไม่ต้องการเพื่อทำให้เรื่องซับซ้อน $\omega$

วิธีนี้เหมาะกว่าสำหรับการใช้งานกับจุดในพื้นที่ จำกัด จากนั้นด้วยวิธีนี้คุณจะสร้างกระบวนการมาร์คอฟแบบเอกพันธ์เวลาและจะถูกตีความว่าเป็นจุดในพื้นที่ของรัฐพูดตำแหน่งปัจจุบันของกระบวนการหรือตำแหน่งสุดท้ายหลายตำแหน่ง ข้อพิจารณาเกี่ยวกับการตีความของ S จะถูกเลื่อนออกไปจนกว่าจะมีการพูดถึงตัวอย่าง $\omega$

ดังนั้นฉันคิดว่าเป็นลำดับ iid ของตัวแปรสุ่มในพื้นที่ความน่าจะเป็นที่กำหนดไว้ในคำถาม จากนั้นกระบวนการที่สองสามารถกำหนดได้ดังนี้: $\epsilon_t$

$\omega \in R,$ $S(\omega) = \omega,$ $X(S^t(\omega)) = S^t(\omega).$ ดัชนีด้านบนที่นี่หมายถึงแอปพลิเคชั่นหลายตัวของผู้ประกอบการ

ตัวอย่างแรกคือรายละเอียดของตัวอย่างแรก:

$\omega \in R^2,$ $S((\omega_1,\omega_2)) = (\rho \cdot \omega_1 + \omega_2,\omega_2),$ $X(S^t(\omega)) = (S^t(\omega))_1.$ ดัชนีที่ต่ำกว่าที่นี่หมายถึงส่วนประกอบที่เกี่ยวข้องของเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง

ดังที่เราได้เห็นการดำเนินการ S นั้นค่อนข้างคลุมเครือและมีเหตุผลที่จะตีความอย่างสมเหตุสมผล อย่างไรก็ตามจุดที่ควรสังเกตคือมันกำหนดมาตรการรักษาการแปลงและการถ่ายภาพภายใต้มันสร้างชุดที่มีการวัดเดียวกัน ดังนั้นฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงของการวัดในพื้นที่รัฐของเราในเวลานี้

— Nikita Toropov
แหล่งที่มา

1

เขาแค่คิดว่าว่าเป็นคนกำหนดและว่าเป็นคนที่มองไม่เห็น จากนั้นเราสังเกตเป็นรูปแบบของข้อมูลที่ไม่สมบูรณ์เกี่ยวกับ\ และแล้วช่วยให้เราอนุมานกระจายความน่าจะร่วมกันมากกว่า\ $\mathbb{S}$ $\omega$ $X(\omega)$ $\omega$ $\mathbb{S}$ $X$ $\{X_t\}_{t=0}^\infty$

— Pat W.
แหล่งที่มา