เดวิดโรเมอร์ ในตำราเรียนของเขา เศรษฐศาสตร์มหภาคขั้นสูง ( รุ่นที่สาม ) เขียนเกี่ยวกับความเร็วของการลู่เข้าของ แบบจำลองเพชร ต่อไปนี้:

( Pg 83 )

สมการ (2.60) [$ k_ {t + 1} = {1 \ over {(1 + n) (1 + g)}} {1 \ over {2+ \ rho}} (1- \ alpha) k_t ^ \ alpha $] ให้ $ k_ {t + 1} $ เป็นฟังก์ชัน $ k_t $ เศรษฐกิจอยู่บนเส้นทางการเติบโตที่สมดุลเมื่อสองสิ่งนี้เท่ากันนั่นคือ $ k ^ * $ ถูกกำหนดโดย

$ k ^ * = {1 \ over {(1 + n) (1 + g)}} {1 \ over {2+ \ rho}} (1- \ alpha) k ^ {* \ alpha} \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space $ (2.61)

การแก้นิพจน์นี้เพื่อผลตอบแทน $ k ^ * $

$ k ^ * = \ left [{(1- \ alpha) \ over {(1 + n) (1 + g) (2+ \ rho)}} \ right] ^ {1 \ over {1- \ alpha} } \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space $ space (2.62)

[... ] เรายังสามารถค้นหาว่าเศรษฐกิจจะแปรเปลี่ยนไปสู่เส้นทางการเติบโตที่สมดุลได้อย่างไร ในการทำเช่นนี้เราจะทำให้เป็นเส้นตรงอีกครั้งในเส้นทางการเติบโตที่สมดุล [... ] ดังนั้น:

$ k_ {t + 1} \ simeq k ^ * + \ left ({{dk_ {t + 1}} \ over {dk_t}} \ ใหญ่ {|} _ {k_t = k ^ *} \ right) \ left ( k_t-k ^ * \ right) \ space \ space \ space \ space $ (2.64)

ให้ $ \ lambda $ แสดง $ dk_ {t + 1} / dk_t $ ประเมินที่ $ k_t = k ^ * $ ด้วยคำจำกัดความนี้เราสามารถเขียนใหม่ (2.64) [... ]

$ k_t-k ^ * \ simeq \ lambda ^ t (k_0-k ^ *) \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space \ space $ (2.65)

โดยที่ $ k_0 $ เป็นค่าเริ่มต้นของ $ k $

คำถามของฉัน

( หน้า 84 )

[... ] ถ้า $ \ lambda $ มากกว่า 1 ระบบจะระเบิด

มันหมายความว่าอะไรระบบระเบิดเมื่อ $ \ lambda $ มากกว่า 1 ทำไมมันถึงระเบิดเมื่อ $ \ lambda $ มากกว่า 1

อีคิว (2.64) สามารถเขียนเป็น (ลำดับแรก)

$$ k_ {t + 1} - k ^ * = \ lambda (k_t - k ^ *) \ tag {1a} $$

กำหนดปริมาณ $ \ kappa_t $ เป็น

$$ \ kappa_t \ stackrel {\ rm def} {=} k_t - k ^ * \ tag {2} $$

ดังนั้น

$$ \ kappa_ {t + 1} = \ lambda \ kappa_t \ tag {1b} $$

สิ่งนี้สามารถแก้ไขได้ง่ายมากโดยตระหนักว่า

\ begin {} eqnarray \ kappa_1 & amp; = & amp; \ lambda \ kappa_0 \\ \ kappa_2 & amp; = & amp; \ lambda \ kappa_1 = \ lambda (\ lambda \ kappa_0) = \ lambda ^ 2 \ kappa_0 \\ & amp; \ vdots & amp; \\ \ kappa_t & amp; = & amp; \ lambda ^ t \ kappa_0 \ tag {3} \ end {} eqnarray

ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงคือ $ \ kappa $ ถูกขับเคลื่อนโดยค่า $ \ lambda ^ t $ คุณจะเห็นว่าถ้า $ \ lambda = 1 $ แล้ว $ \ lambda ^ t = \ lambda $ สำหรับแต่ละ $ t $ และ $ \ kappa $ ยังคงที่ อย่างไรก็ตามหาก $ \ lambda & gt; 1 $ ค่า $ k ^ t $ จะยิ่งใหญ่ขึ้น ( ระเบิด ) ตามที่ $ t $ เพิ่มขึ้นนั่นคือ

$$ \ lim_ {t \ to \ infty} \ kappa_t \ stackrel {\ lambda & gt; 1} {=} \ infty $$

เหมือนกับ

$$ \ lim_ {t \ to \ infty} \ kappa_t \ stackrel {0 & lt; \ lambda & lt; 1} {=} 0 $$

ระบบระเบิดได้ถ้าสัมประสิทธิ์ไม่คงที่

เครื่องเขียนเป็นคุณสมบัติที่สำคัญที่มีอยู่ในตัวแบบพลวัตเพราะมันบอกเราว่ามีความสมดุลตามตัวอักษร (ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญในการค้นหา BGP) หากระบบของคุณระเบิดไม่มีสมดุล (และ BGP) อยู่

ในตัวอย่างของคุณที่คุณมีความเสมอภาค: $$ k_t-k ^ * \ simeq \ lambda ^ t (k_0-k ^ *) $$

ถ้า $ \ lambda \ le1 $ ดังนั้นเมื่อเวลาผ่านไป ($ t = 1,2, ... , n $) ผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงนโยบายจะเข้าสู่สมดุลและ BGP ใหม่

อย่างไรก็ตามหาก $ \ lambda & gt; 1 $ ระบบของคุณจะระเบิดและจะไม่สามารถเข้าถึงสมดุลได้จึงทำให้ระบบไม่สามารถกู้คืนได้เนื่องจาก $ t $ มีแนวโน้มที่จะ $ \ infty $