ผู้บริโภคที่เหมาะสมที่สุดในระบบเศรษฐกิจที่มีสินค้าอย่างต่อเนื่อง

พิจารณาเศรษฐกิจที่มีความต่อเนื่องของสินค้าโภคภัณฑ์ที่มีหนึ่งในสินค้าโภคภัณฑ์สำหรับแต่ละจุดใน ] $[0,1]$

สมมติว่าผู้บริโภคต้องการเพิ่ม ภายใต้

U = \int_{0}^{1} c_{i}^{θ} d i 0 < θ < 1

$U = \int_0^1 c_i^\theta\,di\qquad 0<\theta<1$

ที่

เป็นจำนวนเงินของ

สินค้าโภคภัณฑ์ -th บริโภค

ราคาและ

ของผู้บริโภคที่มีรายได้เงิน

\int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i = M

$\int_0^1 p_i c_i\,di = M$

c_{i}

$c_i$

i

$i$

p_{i}

$p_i$

M

$M$

ปัญหาเช่นนี้เกิดขึ้นในการประยุกต์ใช้แบบจำลอง Dixit-Stiglitz กับเศรษฐศาสตร์มหภาคหรือการค้าระหว่างประเทศ

การแก้ปัญหานี้คือ โดยที่คือค่าคงที่ที่เลือกเพื่อให้แน่ใจว่าข้อ จำกัด ด้านงบประมาณเป็นที่พอใจ

c_{i} = A p_{i}^{\frac{1}{θ - 1}}

$c_i = Ap_i^{1 \over {\theta-1}}$

A

$A$

ฉันไม่พอใจกับผลของผลลัพธ์นี้ซึ่งใช้ตัวคูณแบบลากรองจ์ในการเปรียบเทียบกับกรณีของสินค้าจำนวน จำกัด อะไรจะเป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์อย่างเข้มงวดอย่างสมบูรณ์ของการได้รับผลข้างต้นหรือไม่

ดูเหมือนชัดเจนว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใครเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงค่าของสำหรับจำนวนค่าที่แน่นอนของจะทำให้อินทิกรัลในฟังก์ชันอรรถประโยชน์และข้อ จำกัด ด้านงบประมาณไม่เปลี่ยนแปลง ฉันคาดหวังว่าการสืบทอดที่เข้มงวดอย่างสมบูรณ์จะระบุตำแหน่งของความไม่ซ้ำนี้ได้อย่างถูกต้อง $c_i$ $i$

แก้ไข: เพื่อตอบสนองต่อความคิดเห็นโดย @BKay, @Ubiquitous ปัญหาของฉันกับการเริ่มต้นออกมาพร้อมกับเศรษฐกิจกับสินค้าโภคภัณฑ์และการ จำกัด เป็นคือความต้องการนี้จะมาพร้อมกับการโต้แย้งซึ่งแสดงให้เห็นว่าขีด จำกัด ของการที่ดีที่สุดเป็นที่ดีที่สุดของปัญหาขีด จำกัด ด้วย ฉันขอขอบคุณที่อ้างอิงถึงผลลัพธ์ที่แสดงสิ่งนี้สำหรับปัญหาเฉพาะนี้หรือผลลัพธ์ทั่วไปที่ใช้กับปัญหานี้ $n$ $n \to \infty$

ในการตอบสนองต่อ @AlecosPapadopoulos การพิสูจน์ตัวคูณ Langrange ที่สอนในวิชาคณิตศาสตร์สำหรับวิชาเศรษฐศาสตร์มักใช้กับตัวแปรตัวเลือกจำนวน จำกัด ฉันจะขอบคุณการอ้างอิงถึงวิธีการที่เป็นธรรมสำหรับตัวแปรทางเลือกอย่างต่อเนื่อง นอกจากนี้ความไม่เป็นเอกเทศที่ฉันกล่าวถึงข้างต้นแสดงให้เห็นว่าวิธีการไม่ถูกต้องอย่างแน่นอน ถ้าอย่างนั้นคุณสมบัติที่จำเป็นสำหรับความถูกต้องของมันคืออะไร?

microeconomics mathematical-economics

— Jyotirmoy Bhattacharya
แหล่งที่มา

ฉันเห็นด้วยกับ OP มากอาจผิดไปได้เมื่อพื้นที่ว่างกลายเป็นมิติไม่ จำกัด สำหรับฉันมันไม่ชัดเจนเลยว่าขีด จำกัด ที่เหมาะสมคือขีด จำกัด ที่ดีที่สุด

— FooBar

คำตอบ:

สิ่งที่เข้มงวดอย่างยิ่งคือการเขียนสมการออยเลอร์ลากรองจ์ของปัญหาแคลคูลัสของการแปรผันนี้จะให้วิธีแก้ปัญหาที่แข็งแกร่งซึ่งเป็นสิ่งที่คุณมีหรือวิธีแก้ปัญหาที่อ่อนแอซึ่งเขียนด้วยการแจกแจง

— user157623
แหล่งที่มา

แต่ฉันจะรวมข้อ จำกัด ด้านงบประมาณของฉันเข้ากับแคลคูลัสของการกำหนดรูปแบบต่างๆได้อย่างไร

— Jyotirmoy Bhattacharya

ตรวจสอบการเชื่อมโยงนี้math.stackexchange.com/questions/279518/... , ฟังก์ชั่นคูณ Lagrange !, คือสิ่งที่คุณต้องการนี้จะช่วยให้คุณแก้ปัญหาที่แข็งแกร่งที่สามารถตีความได้ pointwise แม้ว่ามันจะต้องถือเกือบแน่ใจกับตัวชี้วัดที่โดดเด่น

— user157623

ขอบคุณ จากคำใบ้ของคุณในการใช้แคลคูลัสของการแปรปรวนฉันพบทฤษฎีบทที่ 1 ในส่วนที่ 12 ของ Kolomogorov และแคลคูลัสของการแปรผันของ Fomin ดูเหมือนว่าจะจัดการกับข้อ จำกัด ที่แสดงเป็นอินทิกรัล ดังนั้นในแง่หนึ่งเราสามารถใช้ตัวคูณ Langrange ได้

— Jyotirmoy Bhattacharya

สิ่งนี้มีประโยชน์ - แต่เป็นความคิดเห็นไม่ใช่คำตอบ

— Alecos Papadopoulos

คุณพูดถูก Jyotirmoy Bhattacharya บางทีใครบางคนสามารถแก้ไขได้เพื่อเป็นคำตอบแบบเต็มกับลิงก์ที่ให้ไว้ในความคิดเห็น

— user157623

ตามที่ OP ระบุไว้ในความคิดเห็นทฤษฎีบทที่ 1 ในส่วนที่ 12 ของKolomogorov และแคลคูลัสของการเปลี่ยนแปลงของ Fominดูเหมือนว่าจะให้ความสะดวกสบายบางอย่างที่เราสามารถใช้วิธีการคูณ Langrange เมื่อจำนวนตัวแปรของเราไม่มีที่สิ้นสุด ถึงกระนั้นผู้เขียนทำในเชิงอรรถโดยเขียน "ผู้อ่านจะจดจำการเปรียบเทียบได้อย่างง่ายดายด้วยตัวคูณ Langrange" ไม่เลยนี่ไม่ได้แสดงสิ่งที่เราต้องการอย่างจริงจัง

ฉันคิดว่าสิ่งที่เราต้องการคือกระดาษอย่างCraven, BD (1970) ลักษณะทั่วไปของตัวคูณ Lagrange แถลงการณ์ของสมาคมคณิตศาสตร์ออสเตรเลีย, 3 (03), 353-362 ซึ่งในการสรุปของมันเขียน:

วิธีการของตัวคูณ Lagrange สำหรับการแก้ปัญหาค่าคงที่แบบ จำกัด นั้นเป็นแบบทั่วไปเพื่ออนุญาตให้ฟังก์ชันใช้ค่าในช่องว่าง Banach โดยพลการ (เหนือสนามจริง) ชุดของตัวคูณ Lagrange ในปัญหามิติ จำกัด แสดงให้เห็นว่าถูกแทนที่ด้วยการแมปเชิงเส้นอย่างต่อเนื่องระหว่างช่องว่าง Banach ที่เกี่ยวข้อง

นี่คือการพูดเชิงคณิตศาสตร์ แต่บอกว่าสิ่งที่เราต้องการจะได้ยิน (เราสามารถหาคำอธิบายสั้น ๆ ในวิกิพีเดียในระดับที่เชื่อถือได้กับเนื้อหา)

จากนั้นเราสามารถสร้างลากรองจ์ของปัญหา

Λ = \int_{0}^{1} c_{i}^{θ} d i + λ (M - \int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i)

$\Lambda = \int_0^1 c_i^\theta\,\text{d}i +\lambda\left(M - \int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i\right)$

และคำนวณเงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรกโดยพูดอย่างไม่เป็นทางการ "ดูที่ส่วนประกอบและเห็นผลรวม"

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial Λ}{\partial c_{i}} = 0 \Rightarrow θ c_{i}^{θ - 1} = λ p_{i}, i \in [0, 1] \end{matrix}

$\frac{\partial \Lambda}{\partial c_i} = 0 \Rightarrow \theta c_i^{\theta-1} = \lambda p_i, \;\; i \in [0,1] \tag{1}$

... เงื่อนไขต่อเนื่อง เพื่อใช้ในภายหลังเรากำหนด

σ \equiv 1 / (1 - θ), \Rightarrow 1 - θ = 1 / σ, θ = \frac{σ - 1}{σ}

$\sigma \equiv 1/(1-\theta), \Rightarrow 1-\theta = 1/\sigma, \;\; \theta = \frac {\sigma-1}{\sigma}$

$\sigma$

$(1)$ $j$

\begin{matrix} (2) & c_{i} = {(\frac{p_{i}}{p_{j}})}^{- σ} c_{j} \end{matrix}

$c_i = \left(\frac {p_i}{p_j}\right)^{-\sigma}c_j \tag{2}$

$p_i$ $i$

\int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i = \int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} p_{j}^{- σ} c_{j} d i

$\int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i = \int_0^1 p_i^{1-\sigma}p_j^{-\sigma}c_j\,\text{d}i$

\Rightarrow M = p_{j}^{σ} c_{j} \int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} d i

$\Rightarrow M = p_j^{\sigma}c_j\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i$

\begin{matrix} (3) & \Rightarrow c_{j} = p_{j}^{- σ} \cdot M \cdot {(\int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} d i)}^{- 1} \end{matrix}

$\Rightarrow c_j = p_j^{-\sigma} \cdot M \cdot \left(\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i\right)^{-1} \tag{3}$

$j$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

ผลลัพธ์ที่ได้จาก Kolmogorov-Fomin นำไปใช้อย่างมีกลไกช่วยแก้ปัญหาให้เรา ดังนั้นเราไม่จำเป็นต้องสนใจการเปรียบเทียบกับตัวคูณลากรองจ์ ฉันกำลังเขียนมันออกมาในคำตอบที่แยกต่างหาก

— Jyotirmoy Bhattacharya

นี่เป็นเพียงรายละเอียดของคำตอบที่ได้รับจาก @ user157623 ฉันโพสต์มันเป็นวิกิชุมชนเพื่อความสะดวก

ทฤษฎีบทที่ 1 ของส่วนที่ 12 ของ Kolmogorov และแคลคูลัสของการเปลี่ยนแปลงของ Fomin กล่าว

$J [y] = \int_{a}^{b} F (x, y, y^{'}) d x,$ $J[y] = \int_a^b F(x,y,y')\,dx,$ $y (a) = A, y (b) = b, K [y] = \int_{a}^{b} G (x, y, y^{'}) d x = l,$ $y(a)=A,\quad y(b)=b, \quad K[y] = \int_a^bG(x,y,y')\,dx=l,$ $K[y]$ $J[y]$ $y=y(x)$ $y=y(x)$ $K[y]$ $\lambda$ $y=y(x)$ $\int_{a}^{b} (F + λ G) d x,$ $\int_a^b (F+\lambda G)\,dx,$ $y=y(x)$ $F_{y} - \frac{d}{d x} F_{y^{'}} + λ (G_{y} - \frac{d}{d x} G_{y^{'}}) = 0.$ $F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\lambda\left(G_y-\frac{d}{dx}G_{y'}\right)=0.$

$x$ $i$ $c$ $y$ $F(i,c,c')=c^\theta$ $G(i,c,c')=pc$

θ c_{i}^{θ - 1} + λ p_{i} = 0

$\theta c_i^{\theta-1} + \lambda p_i=0$

$K[y]$ $y(a)$ $y(b)$ $c$ $c^*(i)$ $c(0)=c^*(0), c(1)=c^*(1)$

สิ่งเดียวที่จับได้ก็คือธรรมชาติของทฤษฎีบทนั้นเอง มันให้เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการที่เหมาะสม ระบุว่าในกรณีของเราเงื่อนไขที่จำเป็นให้ผลลัพธ์ที่ไม่ซ้ำกันสิ่งที่เราต้องทำให้เพียงพอก็คือการยืนยันว่าปัญหาของเรามีวิธีแก้ไข

การพิสูจน์ใน Kolmogorov-Fomin ถือว่าฟังก์ชั่นที่เรากำลังเผชิญอยู่นั้นมีอนุพันธ์อันดับหนึ่งอย่างต่อเนื่อง ดังนั้นเรายังต้องแสดงให้เห็นว่าปัญหาของผู้บริโภคมีความเหมาะสมที่สุดในฟังก์ชั่นประเภทนี้ แต่เนื่องจากปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

— Jyotirmoy Bhattacharya
แหล่งที่มา