ข้อใดที่สัจพจน์ของ Anscombe-Aumann บ่งบอกถึงหลักการที่แน่นอน?

พิจารณาการตั้งค่า Anscombe-Aumann และสมมติว่าความสัมพันธ์ที่พึงพอใจสอดคล้องกับหลักการของ Anscombe-Aumann ดั้งเดิมทั้งหมด (เหตุผล, ความต่อเนื่อง, ความเป็นอิสระและความน่าเบื่อ)

หากเรา จำกัด ความสนใจในการแข่งม้าบริสุทธิ์ (นั่นคือกระทำโดยไม่มีความไม่แน่นอนใด ๆ ) โมเดล Anscombe-Aumann เดือดลงไปที่ยูทิลิตี้ที่คาดหวังอัตนัยแทน la Savage ดังนั้นในการแข่งม้าที่บริสุทธิ์ผู้มีอำนาจตัดสินใจจะตอบสนองความจริงทั้งหมดของ Savage โดยเฉพาะอย่างยิ่งหลักการที่แน่นอน (P2 ในศัพท์ของ Savage)

ฉันไม่เห็นการเชื่อมต่อโดยตรงระหว่างสัจพจน์ของ Anscombe-Aumann และหลักการที่แน่นอน ไม่มีใครเห็นว่าหลักการของสิ่งที่แน่นอนนั้นบอกเป็นนัยโดยสัจพจน์ของ Anscombe-Aumann โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันเป็นผลมาจากความเป็นอิสระเท่านั้นหรือต้องการอิสรภาพและความน่าเบื่อหน่ายหรือไม่?

decision-theory

— Oliv
แหล่งที่มา

เป็นข้อสังเกตแรก: สัจพจน์ของ Anscombe-Aumann โดยเฉพาะอย่างยิ่งอิสรภาพถูกกำหนดเหนือการกระทำที่นำพื้นที่รัฐไปสู่อวกาศเชิงเส้น (โดยทั่วไปลอตเตอรี่ที่เรียบง่ายเหนือวัตถุการบริโภค) แม้เมื่อเราพิจารณาถึงข้อ จำกัด ของตัวแบบเพื่อการกระทำที่ไม่แน่นอนทางจิตใจอย่างแท้จริงเรายังคงต้องใช้แบบจำลองเต็มรูปแบบหรือเราจะสูญเสียข้อมูล

ที่ถูกกล่าวว่า: ช่วยให้เป็นพื้นที่ จำกัด ของรัฐและเป็นทางเลือกที่ จำกัด ให้แสดงลอตเตอรี่ทั้งหมดที่อยู่เหนือและเป็นการกระทำ สำหรับเหตุการณ์ , ให้เป็นการกระทำที่กำหนดโดย $S$ $X$ $\Delta(X)$ $X$ $f: S \to \Delta(X)$ $E \subseteq S$ $f_{-E}g$

f_{- E} g {\begin{cases} f (s) if x \in E \\ g (s) if x \notin E . \end{cases}

$f_{-E}g \begin{cases} f(s) \text{ if } x \in E \\ g(s) \text{ if } x \notin E. \end{cases}$

ตอนนี้เราสามารถพูดได้ว่าแบบจำลองของเราเป็นไปตามหลักการของสิ่งที่แน่นอนถ้าและแล้วคำจำกัดความนี้ใช้ได้กับทุกการกระทำไม่ใช่เฉพาะที่ไม่มีความเสี่ยง แต่คุณสามารถพิจารณาเฉพาะการฉายภาพที่เกี่ยวข้องเท่านั้น $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$ $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$ $f \succsim g.$

สมมติว่าบรรพบุรุษของ STP จากและความเป็นอิสระเรามี สังเกตว่าเราสามารถเขียนสิ่งนี้เป็น และใช้ความเป็นอิสระอีกครั้งเราได้รับ $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$

\frac{1}{2} f_{- E} h + \frac{1}{2} f_{- E^{c}} h ≿ \frac{1}{2} g_{- E} h + \frac{1}{2} f_{- E^{c}} h .

$\frac12 f_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h \succsim \frac12 g_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h.$

\frac{1}{2} f + \frac{1}{2} h ≿ \frac{1}{2} g_{- E} f + \frac{1}{2} h

$\frac12 f + \frac12 h \succsim \frac12 g_{-E}f + \frac12h$

\begin{matrix} (1) & f ≿ g_{- E} f . \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{1} f \succsim g_{-E}f. \end{equation}$

ในลักษณะคล้ายคลึงจากและความเป็นอิสระเรามี อีกครั้งเราสามารถเขียนใหม่เป็น และใช้ความเป็นอิสระอีกครั้งเราได้รับ $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

\frac{1}{2} f_{- E^{c}} h + \frac{1}{2} g_{- E} h ≿ \frac{1}{2} g_{- E^{c}} h + \frac{1}{2} g_{- E} h .

$\frac12 f_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h \succsim \frac12 g_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h.$

\frac{1}{2} g_{- E} f + \frac{1}{2} h ≿ \frac{1}{2} g + \frac{1}{2} h

$\frac12 g_{-E}f + \frac12 h \succsim \frac12 g + \frac12h$

\begin{matrix} (2) & g_{- E} f ≿ g . \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{2} g_{-E}f \succsim g. \end{equation}$

การรวม (1) และ (2) ผ่านทางความไวแสงทำให้ได้ความสัมพันธ์ที่ต้องการ กลับไปที่คำกล่าวก่อนการสังเกตเห็นว่าการใช้ความเป็นอิสระเราจำเป็นต้องผสมผสานการกระทำเพื่อดึงดูดความเสี่ยงตามวัตถุประสงค์ ดังนั้นแม้ว่า ,และไม่มีความเสี่ยงที่เป็นวัตถุประสงค์เรายังต้องการการกระทำที่เสี่ยงเพื่อเป็นสื่อกลางในการพิสูจน์ ในแง่หนึ่งนี่เป็นข้อมูลเชิงลึกที่ยิ่งใหญ่ต่อกรอบ AA ทั้งหมดโดยใช้ความเสี่ยงเชิงวัตถุเพื่อหลีกเลี่ยงความจำเป็นของพื้นที่รัฐที่ไม่มีที่สิ้นสุดโดยใช้เส้นตรงของความคาดหวังเพื่อบังคับใช้ STP $f$ $g$ $h$

แจ้งให้ทราบเพียงความเป็นอิสระและการเปลี่ยนแปลงถูกนำมาใช้ สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าแม้แต่สหภาพยุโรปที่พึ่งพารัฐ (กรณีที่ความน่าเบื่อหน่าย / ความเป็นอิสระของรัฐล้มเหลว) หรือ Bewley EU (ซึ่งความผ่อนคลายสมบูรณ์) จะยังคงเป็นไปตาม STP

แก้ไขเพื่อตอบสนองต่อความคิดเห็น: ให้เรียกความคิดข้างต้นของหลักการสิ่งที่แน่นอนSTP1และพูดว่าการตั้งค่าเป็นไปตามSTP2ถ้าสำหรับทั้งหมด จากนั้นถ้า เป็นคำสั่งซื้อล่วงหน้าจะเป็นไปตาม STP1 หากว่าตรงกับ STP2 เท่านั้น $f_{-E}h \succsim g_{-E}h \iff f_{-E}h' \succsim g_{-E}h'$ $f,g,h,h'$ $\succsim$

ครั้งแรกถือว่า STP2 ถือและและชั่วโมง จากนั้นโดย STP2 เรามี ความหมายแฝงหมายถึง ; STP1 ถือครอง $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$ $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

f = f_{- E} f ≿ g_{- E} f and g_{- E} f = f_{- E^{c}} g ≿ g .

$f = f_{-E}f \succsim g_{-E}f \qquad \text{ and } \qquad g_{-E}f = f_{-E^c}g \succsim g.$

f ≿ g

$f \succsim g$

ถัดไปสมมติ STP1 ถือและชั่วโมง กำหนดและล็อก ตามคำนิยาม ดังนั้นเราจึงสันนิษฐานว่าเป็น นอกจากนี้ดังนั้นเราจึงได้โดยการสะท้อนของการตั้งค่าที่ ตอนนี้เราสามารถใช้ STP1 กับ (3) และ (4) เพื่อรับ $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$ $\hat f = f_{-E}h'$ $\hat g$

{\hat{f}}_{- E} h = f_{- E} h and {\hat{g}}_{- E} h = g_{- E} h,

$\hat f_{-E}h = f_{-E}h \qquad \text{ and } \qquad \hat g_{-E}h = g_{-E}h,$

\begin{matrix} (3) & {\hat{f}}_{- E} h ≿ {\hat{g}}_{- E} h . \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{3} \hat f_{-E}h \succsim \hat g_{-E}h. \end{equation}$

{\hat{f}}_{- E^{c}} h = {\hat{g}}_{- E^{c}} h = h_{- E}^{'} h

$\hat f_{-E^c}h = \hat g_{-E^c}h = h'_{-E}h$

\begin{matrix} (4) & {\hat{f}}_{- E^{c}} h ≿ {\hat{g}}_{- E^{c}} h . \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{4} \hat f_{-E^c}h \succsim \hat g_{-E^c}h. \end{equation}$

\hat{f} ≿ \hat{g}

$\hat f \succsim \hat g$ ซึ่งให้คำจำกัดความของพวกเขาสิ่งที่เราต้องแสดงให้ STP2 ถือ

— 201p
แหล่งที่มา

(+1) คำถาม: มันแสดงให้เห็นว่า STP ต้องการให้การกระทำนั้นไม่ส่งผลกระทบต่อความน่าจะเป็นมากกว่าเหตุการณ์มิฉะนั้นอาจไม่เกิดขึ้น สิ่งนี้ครอบคลุม / รับประกันโดยกรอบงาน AA หรือไม่?

— Alecos Papadopoulos

@ 201p คำตอบที่ดีขอบคุณมาก หนึ่งคำถาม: คำนิยามมาตรฐานของเอสทีพีคือว่าH' คำจำกัดความของคุณเทียบเท่ากับคำนี้หรือไม่?

f_{E} h ⪰ g_{E} h \Leftrightarrow f_{E} h^{'} ⪰ g_{E} h^{'}

$f_{E}h \succeq g_{E}h \Leftrightarrow f_{E}h' \succeq g_{E}h'$

— Oliv

@AlecosPapadopoulos มันไม่ใช่ความจริง P4 (แทนที่จะเป็น P2) ซึ่งต้องการความน่าจะเป็นที่จะทำตัวเป็นอิสระหรือเปล่า? มิฉะนั้นคุณมีการอ้างอิงสำหรับการเรียกร้องของคุณ?

— Oliv

@Oliv แน่นอนตรวจสอบ ftp.cs.ucla.edu/pub/stat_ser/r466.pdf และวรรณกรรมในนั้น

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos ขอบคุณมากมันมีประโยชน์มาก

— Oliv