ฉันไม่แน่ใจว่าจะกำหนดช่วงที่ราคาเงาถูกต้องได้อย่างไร

คุณสามารถข้ามคำถามไปที่นี่ได้เลย

ฉันได้รับการแนะนำโดยใช้วิธีการต่อไปนี้ในแบบ 2D

บริบท

เมื่อพิจารณาถึงทางออกที่ดีที่สุดซึ่งอยู่ที่มุมหนึ่งจะมีเส้นตัดกันสองเส้น สมมติว่าเส้นเหล่านี้แสดงถึงความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้

$$\begin{equation} \begin{aligned} 2K + 3S & \leq 10 \\ K + 2S & \leq 6 \\ Z & = 30K + 50S \end{aligned} \end{equation}$$

จากนั้นราคาเงาคือการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์เมื่อด้านขวามือของความไม่เท่าเทียมกันมีการเปลี่ยนแปลงโดยหนึ่งหน่วย$Z$

การคำนวณนี้สำหรับสมการที่สองทำได้ดังนี้:

$$\begin{equation} \begin{aligned} 2K + 3S & \leq 10 \\ K + 2S & \leq 6 + \Delta\\ \end{aligned} \end{equation}$$

จากนั้นลบสมการที่สองจากสองครั้งแรก

$$\begin{equation} \begin{aligned} S & = 2 + 2 \Delta \end{aligned} \end{equation}$$

ดังนั้น

$$\begin{equation} \begin{aligned} K &= 2 - 3 \Delta \end{aligned} \end{equation}$$

และฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์สามารถเขียนเป็น

$$\begin{equation} \begin{aligned} 30K + 50S &= 30(2 - 3 \Delta) + 50(2 + 2\Delta) \\ &= 160 + 10 \Delta \end{aligned} \end{equation}$$

และราคาเงาที่พบจาก , ที่ซึ่งจะช่วยให้10z ( Δ ) = 160 + 10 Δ $z(1) - z(0)$$z(\Delta) = 160 + 10 \Delta$$10$

ดังนั้นราคาเงาคือ 10

แต่ฉันจะคำนวณช่วงที่สิ่งนี้ถูกต้องได้อย่างไร ฉันสามารถผ่านพีชคณิตที่นี่ได้อย่างง่ายดาย แต่มีความหมายเล็กน้อย

คำถาม

ฉันจะตรวจสอบช่วงที่ผมสามารถปรับความไม่เท่าเทียมกันที่สองดังกล่าวว่าความแตกต่างที่เกิดขึ้นกับฟังก์ชันวัตถุประสงค์คือ{}$10 \times \text{adjustment}$

ราคาเงาไม่ได้เพิ่มขึ้นอย่างเป็นทางการในฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์สำหรับการผ่อนคลายข้อ จำกัด โดยหน่วยเดียว แต่โดยการผ่อนคลายที่น้อยที่สุด ในโลกของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นมันสามารถใช้ได้ถึงหน่วย แต่มันไม่จำเป็นต้อง ในตัวอย่างปัญหาของคุณมันไม่จริง สิ่งนี้ชัดเจนที่สุดเมื่อเราใช้รูปภาพ

ฉันจะสมมติว่าคุณเพิ่มประสิทธิภาพสูงสุดไม่ลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของคุณและยิ่งกว่านั้นคุณมีข้อ จำกัด เพิ่มเติมสองข้อที่คุณไม่ได้ระบุไว้จริง:

S ≥ $K\geq0$และ $S\geq0$

นั่นจะส่งผลให้กราฟิกต่อไปนี้มี K บนแกน y และ S บนแกน x และค่าที่เหมาะสมที่จุดสีแดง เส้นประสีดำคือ isoquants ของ Z สำหรับ Z = 100, Z = 150 และ Z = 200

พื้นที่ที่เป็นไปได้นั้นประกอบด้วยแกน x และ y, เส้นสีฟ้าจากแกน y ไปจนถึงทางข้ามและเส้นสีส้มจากจุดนั้นไปยังแกน x

ให้เราผ่อนคลายข้อ จำกัด ของคุณทีละหน่วยตามที่คุณเสนอ ในสาระสำคัญนี่หมายความว่าข้อ จำกัด กลายเป็นและเมื่อเราวาดข้อ จำกัด ใหม่ที่เราได้รับ:K + 2 S ≤ $K+2S\leq6$$K+2S\leq7$

ปรากฎว่าข้อ จำกัด ใหม่ไม่ได้มีบทบาทในการกำหนดที่เหมาะสมอีกต่อไป! ที่เหมาะสมจะถูกกำหนดในขณะนี้โดยข้อ จำกัด :และ2K2 K + 3 S ≤ $S\geq0$$2K+3S\leq10$

คำตอบสำหรับคำถามของคุณควรชัดเจนแล้ว: ราคาเงามีผลจนถึงจุดที่การรวมกันของข้อ จำกัด เฉพาะยังคงกำหนดค่าที่เหมาะสม ในกรณีนี้หมายความว่าคุณสามารถเพิ่ม 6 ถึง , สำหรับการเพิ่มที่สอดคล้องกันในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ หลังจาก จุดนั้นการรวมกันของข้อ จำกัด ไม่ได้กำหนดค่าที่เหมาะสมอีกต่อไป 10∗$6\frac{2}{3}$$10*\frac{2}{3}=\frac{20}{3}$

ในฐานะที่เป็นจุดด้านให้ฉันเพิ่มว่าอย่างน้อยแก้ Excel (และฉันคาดว่านักแก้ปัญหาอื่น ๆ อีกมากมาย) รายงานถึงจุดที่คุณสามารถผ่อนคลายข้อ จำกัด ก่อนที่จะถูกกำหนดโดยข้อ จำกัด อื่น