ในการตีความค่าสัมประสิทธิ์ในรูปแบบบันทึกการทำงานเป็นค่าเฉลี่ย

ในรูปแบบการถดถอยเชิงเส้นและเพื่อให้เรามีความสามารถในการตีความβ ฉันเป็นΔ E ( Y |ทั้งหมดคงยกเว้น  x ฉัน ) = β ฉัน Δ xฉัน ฉันกำลังคิดในการเปลี่ยนแปลงที่ไม่ต่อเนื่อง ดังนั้นเราสามารถตีความตัวประมาณของβ iเป็นการประมาณว่าเกิดอะไรขึ้นโดยเฉลี่ย$E(y|X)=x'\beta$$\beta_i$$\Delta E(y|\text{all fixed except } x_i)=\beta_i \Delta x_i$$\beta_i$

ผมสงสัยว่าถ้าการตีความของตัวประมาณค่าสัมประสิทธิ์นี้ถูกเก็บรักษาไว้ยังเมื่อเรามีรูปแบบการเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบ ... $E(\%\Delta y|\text{all fixed except } x_i)\approx \beta_i \%\Delta x_i$

ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชม

คำตอบสั้น ๆ คือไม่มีนี้ไม่ได้ดังนั้นเมื่อตัวแปรที่อยู่ในการเข้าสู่ระบบถ้าคุณกำหนดเป็น (100 ครั้ง) เข้าสู่ระบบที่แตกต่างกัน เหตุผลก็คือว่าE ( เข้าสู่ระบบY ) ≠ เข้าสู่ระบบE ( Y )$\%\Delta$$E(\log y) \ne \log E(y)$

เราไม่จำเป็นต้องมีรูปแบบการถดถอยพหุคูณเพื่อแสดงนี้เพื่อพิจารณา U มันเป็นตัวแปรตามในบันทึกที่สำคัญดังนั้นอย่าให้เรานำ log ไปที่xเพื่อหาค่าความกะทัดรัด$\log(y)=\beta_0 + \beta_1 x + u$$x$

มันเป็นความจริงว่าถ้าΔ U = 0 ( ceteris paribus ) เมื่อเบต้า1 Δ x ≈ 0 แต่เราไม่สามารถตีความในแง่ของE ( Y | x ) เหตุผลดังต่อไปนี้$\%\Delta y \approx 100 \beta_1 \Delta x$$\Delta u = 0$$\beta_1 \Delta x \approx 0$$E(y|x)$

ที่คุณสามารถดูเรามี ) เมื่อxเพิ่มขึ้นจากx 1เป็นx 1 + Δ x , yเพิ่มขึ้นจากy 1 = exp ( β 0 + β 1 x 1 + u 1 )เป็นy 2 = exp { β 0 + β 1$y = \exp(\beta_0 + \beta_1 x + u)$$x$$x_1$$x_1+\Delta x$$y$$y_1 = \exp(\beta_0 + \beta_1 x_1 + u_1)$ } ที่สำคัญยูยังสามารถเปลี่ยนเพราะมึงไม่ได้จัดขึ้นคงที่ซึ่งเป็นเหตุผลที่ผมเขียน U 1และ U 2$y_2 = \exp \{ \beta_0 + \beta_1 (x_1+\Delta x)+u_2 \}$ $u$$u$$u_1$$u_2$

ทีนี้อัตราการเปลี่ยนแปลงของคืออะไร? เรามี y $y$ ที่ΔU=U2-ยู1 นี่ด้านซ้ายมือคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของปี คุณสามารถตรวจสอบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของปีจะอยู่ที่ประมาณบีตาΔ

$$\frac{y_2}{y_1} -1 = \exp(\beta \Delta x) \exp(\Delta u) -1 \approx (1+\beta \Delta x) \cdot \exp(\Delta u) -1,$$ $\Delta u = u_2-u_1$$y$$y$$\beta \Delta x$ถ้าคือถ้ามึงจะจัดขึ้นได้รับการแก้ไขเพื่อให้ประสบการณ์( Δ U ) = 1 แต่ปัญหาคือว่ายูจะไม่ได้จัดขึ้นได้รับการแก้ไขเพื่อให้ประสบการณ์( Δ ยู)อาจจะแตกต่างกันมากจาก 1 เมื่อxและยูมีความเป็นอิสระมีอัตราการเติบโตเฉลี่ยอยู่ที่ประสบการณ์( บีตาΔ x ) ⋅ E ( E Δ U ) - 1$u_1 = u_2$$u$$\exp(\Delta u) = 1$$u$$\exp(\Delta u)$$x$$u$$\exp(\beta \Delta x) \cdot E(e^{\Delta u}) -1$

วิธีการที่แตกต่างกันนี้จะมาจาก ? ถ้าU ~ N ( 0 , σ 2 )และU 1และU 2มีความเป็นอิสระร่วมกันแล้วU 2 - U 1 ~ N ( 0 , 2 σ 2 )และทำให้E ( อียู2 - U 1 ) = ประสบการณ์( σ 2 ) ตัวอย่างเช่นถ้าβ $\beta \Delta x$$u\sim N(0,\sigma^2)$$u_1$$u_2$$u_2-u_1 \sim N(0,2 \sigma^2)$$E(e^{u_2-u_1}) = \exp(\sigma^2)$และ u ∼ N ( 0 , 1 )จากนั้นอัตราการเติบโตเฉลี่ยของ yคือ exp ( 0.01 ) × e - 1 ≈ 1.75นั่นคือประมาณ 175% ซึ่งแตกต่างอย่างมากจาก 1% น่าสนใจใช่ไหม$\beta_1 \Delta x_1 = 0.01$$u\sim N(0,1)$$y$$\exp(0.01) \times e - 1 \approx 1.75$

การจำลอง:ใช้ R เพื่อทำการจำลองดังต่อไปนี้

set.seed(1)
n <- 1e6
x1 <- rnorm(n)
x2 <- x1+1
y1 <- exp(1+0.01*x1 + rnorm(n))
y2 <- exp(1+0.01*x2 + rnorm(n))
100*mean(y2/y1-1)
# 175.2406
mean(log(y2)-log(y1))
# 0.01004419

เมื่ออัตราการเติบโตเฉลี่ยไม่ใช่ 1% แต่ 175% แต่Δ E ( เข้าสู่ระบบY )จะอยู่ที่ประมาณ 0.01$\beta_1 \Delta x = 0.01 \times 1 = 0.01$$\Delta E(\log y)$

หมายเหตุ 1: การสนทนาข้างต้นสำหรับรุ่นระดับการบันทึก มีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยสำหรับรุ่นบันทึกการทำงาน

หมายเหตุ 2: ถ้าคุณกำหนดอัตราการเจริญเติบโตในขณะที่เข้าสู่ระบบแตกต่างอัตราการเจริญเติบโตที่คาดว่าจะเท่ากับการเข้าสู่ระบบที่แตกต่างกันคาดว่า = x$\beta \Delta x$