คำถามเกี่ยวกับผู้ขายน้อยราย

พิจารณาผู้ขายน้อยรายระหว่าง บริษัท ที่เหมือนกันสอง บริษัท ที่ผลิตสินค้าที่เป็นเนื้อเดียวกันกับต้นทุนส่วนเพิ่มคงที่ซึ่ง บริษัท เผชิญกับความต้องการของตลาดเชิงเส้น หมายถึง บริษัท ที่ตอบสนองฉันที่ดีที่สุดได้รับการส่งออกโดย บริษัท เจสำหรับฉัน j = 1,2 และJ ให้แสดงถึงตัวเลือกผลลัพธ์ของ Cournot ดุลซึ่ง บริษัท เลือกเอาต์พุตพร้อมกัน สมมติว่าตอนนี้เป็นเซ็ตอัพ Stackelberg ที่ บริษัท 2 สังเกตการเลือกของ บริษัท 1 ก่อนที่จะทำการเลือกผลลัพธ์ของตนเอง$B_i(q_j)$$i\not= j$$q_c$

พิจารณาคู่ต่อไปของกลยุทธ์ในการตั้งค่า Stackelberg: บริษัท 1 เลือกq_cบริษัท 2 เลือกถ้า บริษัท 1 Choosesบริษัท มิฉะนั้น 2 เลือก>>$q_c$$q_c$$q_c$$q^*_2 >>q_c$

(A) แสดงให้เห็นว่ากลยุทธ์ที่อธิบายไว้ข้างต้นถือเป็นความสมดุลของแนชในเกมหรือไม่

(B) แสดงให้เห็นว่ากลยุทธ์ที่อธิบายไว้ข้างต้นถือเป็นความสมดุลที่สมบูรณ์แบบในเกมหรือไม่

---

สิ่งที่ฉันทำคือ

ฟังก์ชันอุปสงค์ผกผันการรั่วไหลและ$p=a-bq$$q=q_1+q_2$

และเนื่องจากต้นทุนส่วนเพิ่มเป็นค่าคงที่ c ดังนั้นฟังก์ชันค่าใช้จ่ายจะ$cq_i$

ก่อนอื่นฉันพบความสมดุลของ Cournot$q_c$

ฉันได้รับจากปัญหาการเพิ่มผลกำไรสูงสุด

$$q_c=\frac{a-c}{3b}$$

สำหรับทั้งสอง บริษัท

ประการที่สองเนื่องจาก บริษัท 2 ยังมีตัวเลือก$q_2^* >> q_c$

งั้นลองสมมุติว่า$q_2^* = \frac{a-c}{2b}>>\frac{a-c}{3b}=q_c$

จากนั้นเพื่อรับการตั้งค่า Stackelberg โดยวิธีการเหนี่ยวนำย้อนหลัง

ลองคำนวณซึ่งเป็นปริมาณของ บริษัท 1 เมื่อ บริษัท 2 เลือกq ∗ 2 = a - $q^*_1$ .$q_2^*=\frac{a-c}{2b}$

$$\pi_1=(a-bq_1-b(\frac{a-c}{2b}))q_1-cq_1$$

โดย FOC

$$q_1^*=\frac{a-c}{4b}$$

และ

$$q^*_1<< q_c$$

ประการที่สามฉันคำนวณกำไรสำหรับสี่กรณี

กรณีที่ 1: ปริมาณและ บริษัท ปริมาณ firm1 2 มีทั้ง$q_c$

จากนั้นกำไรของทั้งสอง บริษัท จะเท่ากันและเท่ากับ$\frac{(a-c)^2}{9b}$

กรณีที่ 2: ปริมาณของ firm1 คือปริมาณของ บริษัท 2 คือq $q_1^*$$q_c$

จากนั้น

กำไรของ บริษัท 1 = $\frac{5(a-c)^2}{48b}$

กำไรของ บริษัท 2 = $\frac{5(a-c)^2}{36b}$

กรณีที่ 3: ปริมาณของ firm1 คือปริมาณของ บริษัท 2 คือq ∗ $q_c$$q_2^*$

จากนั้น

กำไรของ บริษัท 1 = $\frac{(a-c)^2}{18b}$

กำไรของ บริษัท 2 = $\frac{5(a-c)^2}{12b}$

กรณีที่ 4: ปริมาณของบริษัท1คือปริมาณของ บริษัท 2 คือq ∗ $q_1^*$$q_2^*$

จากนั้น

กำไรของ บริษัท 1 = $\frac{(a-c)^2}{16b}$

กำไรของ บริษัท 2 = $\frac{(a-c)^2}{8b}$

ทีนี้ลองดูที่ส่วน (A)

ฉันสร้างตารางต่อไปนี้

โต๊ะ

$(q_c, q_c)$$(q_1^*, q_2^*)$

ต่อไปลองดูที่ส่วน (B)

ฉันสร้างทรีในกรณีนี้

ต้นไม้

เมื่อเราดูที่โต๊ะ

ประการแรกคือสำหรับ บริษัท 2

$q_c$$q_2^*$$q-c$

$q_2^*$$q_c$$q^*_2$

$q_c$$(a-c)^2/9b$$q^*_1$$(a-c)^2/16b$$q_c$

$(q_c,q_cq_c)$

$(q_1^*,q_2^*)$

---

ฉันแก้คำถามนี้ด้วยวิธีนี้ แต่ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับวิธีการของฉัน กรุณาแบ่งปันความคิดของคุณกับฉัน ฉันจะมีความสุขถ้าพูดอะไรบางอย่างเกี่ยวกับการแก้ปัญหาของฉัน ขอขอบคุณ.

คุณได้แก้ไขส่วน Cournot อย่างถูกต้อง แต่จากนั้นคุณก็ออกไปนอกถนนโดยสิ้นเชิงด้วยเศรษฐศาสตร์ที่ผิดพลาดสำหรับคณิตศาสตร์ สิ่งนี้มักจะเกิดขึ้น

$q^*_2$$\frac{a-c}{2b}$

ประการที่สองคุณไม่ได้ถูกขอให้แก้ปัญหาสำหรับ SPNE คุณเพียงแค่ขอให้แสดงว่ากลยุทธ์เฉพาะนั้นคือ SPNE หรือไม่

$q_2$$q_2(q_1)$

นี่คือวิธีที่คุณแก้ปัญหาประเภทนี้:

1. $q_c = q^*_1 = q^*_2 = \frac{a-c}{3b}$

ตอนนี้คุณควรเข้าใจกลยุทธ์ในเชิงเศรษฐศาสตร์ก่อนที่จะแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ เมื่อ Firm 1 มีข้อได้เปรียบผู้เสนอญัตติแรกก็สามารถ (และจะ) ครองตลาดทั้งหมดโดยการผลิตมากขึ้นและไม่ปล่อยให้พื้นที่สำหรับ บริษัท 2 ซึ่งเข้ามาหลังจาก บริษัท 1 ดังนั้น บริษัท 2 มีสองตัวเลือก:

(a) อย่าปรับเปลี่ยนและขายอะไรและทำกำไรให้เป็นศูนย์

หรือ

(b) พยายามข่มขู่ บริษัท ที่ 1 ไม่ให้ครองตลาดทั้งหมดและอาจทำกำไรในเชิงบวก

เห็นได้ชัดว่ามันเลือก (b) สิ่งที่กลยุทธ์ (ในคำถาม) กล่าวนั้นมีดังต่อไปนี้: หากคุณเบี่ยงเบนจากดุลยภาพของกูร์โนต์ฉันจะผลิตได้มากขึ้นและทำให้การผลิตสูงมากจนราคาจะลดลงเหลือศูนย์และเราทั้งคู่จะไม่ทำกำไรใด ๆ . ตอนนี้เราต้องดูว่าภัยคุกคามนี้น่าเชื่อถือหรือไม่

ก่อนที่เราจะดำเนินการโปรดจำไว้ว่าทางลัดต่อไปนี้: ภัยคุกคามที่ไม่น่าเชื่อถือมักจะเป็นดุลยภาพของแนชและไม่เคยเป็นสมดุล subgame-Perfect

2.a. แสดงว่าการผลิตน้อยกว่ากูร์โนต์นั้นแย่กว่าการผลิตกูร์โนต์อย่างแน่นอน:

$q_1 = q_2 = q_c$

$\pi_1 = (a-b( \frac{a-c}{3b} + \frac{a-c}{3b} - \epsilon) - c) \cdot (\frac{a-c}{3b} - \epsilon = \frac{(a-c)^2}{9b} - b\epsilon^2 < \pi_{cournot}$

ดังนั้นจะไม่สมเหตุสมผลสำหรับ Firm 1 ในการผลิตน้อยลง

2.b. แสดงให้เห็นว่าการผลิตมากกว่า Cournot นั้นแย่กว่า Cournot เนื่องจาก Firm 2 จะตอบกลับด้วยปริมาณที่สูงขึ้น:

$\pi_1 = (a-b(\frac{a-c}{3b} + \epsilon + \frac{a-c}{3b} + \delta) - c)(\frac{a-c}{3b} + \epsilon) = (\frac{a-c}{3} - b\epsilon - b\delta)(\frac{a-c}{3b} + \epsilon) = \frac{(a-c)^2}{9b} - b \epsilon^2 - \frac{a-c}{3b} b \delta - b\delta\epsilon< \frac{(a-c)^2}{9b} = \pi_{cournot}$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าโปรไฟล์กลยุทธ์ต่อไปนี้:

$q_1 = \frac{a-c}{3b}$$q_2(q_1) = \begin{cases} q_c, & q_1 = q_c \\ q_c+\epsilon, \forall\epsilon>0&q_1\neq q_c \end{cases} \}$

คือสมดุลของแนช นั่นคือภัยคุกคามที่ไม่น่าเชื่อถือโดย บริษัท 2 ซึ่งขู่ว่าจะล้มละลายทั้งสอง บริษัท หาก บริษัท 1 ไม่เล่นตามกฎทำงานและบังคับให้ บริษัท 1 เล่นตามกฎ Cournot แม้ว่าจะมีข้อได้เปรียบเป็นผู้เสนอญัตติคนแรก .

คำตอบของส่วน (A) คือใช่

ตอนนี้เราต้องตรวจสอบว่าโปรไฟล์กลยุทธ์นี้เป็น Subgame-Perfect หรือไม่ (จำได้ว่าเราจะไม่ถูกขอให้แก้ปัญหาสำหรับสมดุลย่อยยับที่สมบูรณ์แบบทั้งหมดเพียงตรวจสอบสิ่งที่มีอยู่เดิม)

3. แสดงให้เห็นว่าในเกมย่อยที่เหมาะสมกลยุทธ์นี้ไม่ใช่สมดุลของแนช

ตอนนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าภัยคุกคามนี้ไม่น่าเชื่อถือ ในการทำเช่นนั้นให้ระบุ subgame ที่เหมาะสมเท่านั้น: ตัวที่ Firm 2 เลือก quanity จากการเลือกของ Firm 1 ได้ถูกทำไปแล้ว

$q_1 = q_c + \epsilon$$q_2 = q_c + \delta$$q_c$

คำตอบของ (b) คือไม่ กลยุทธ์ของ บริษัท 2 ไม่ใช่สมดุลของแนชในเกมย่อยซึ่งเลือกปริมาณ