Subgame Perfect Nash ดุลยภาพ: เกมสองด่าน

3

องค์กรการกุศลได้รับการจัดอันดับตามสัดส่วนของงบประมาณรวมที่ใช้ไปกับโปรแกรม (สิ่งที่ตรงกับผู้รับบริการของพวกเขา) เทียบกับเงินที่ใช้ไปกับการบริหาร (เช่นเงินเดือนที่จ่ายให้กับเจ้าหน้าที่) สมมติว่ามีองค์กรการกุศลที่ใช้ P กับโปรแกรมและ S ในการบริหาร (เงินเดือน) ดังนั้นงบประมาณรวมของมันคือ B = S + P และสัดส่วน P / B ไปที่โปรแกรม ผู้จัดการขององค์กรการกุศลใส่ใจเกี่ยวกับชื่อเสียงขององค์กรการกุศล (อันดับ) แต่ยังใส่ใจเกี่ยวกับเงินเดือนของเขา ดังนั้นคิดว่าเขาเพิ่ม $Q =(P/B)^a$ $S^{1-a}$ , $0 <a< 1$ 1

ผู้บริจาคเพื่อการกุศลเพียงอย่างเดียวคือผู้เล่นที่ 1 และ 2 ที่สนใจเกี่ยวกับจำนวนเงินทั้งหมดที่ไปยังผู้รับการบริการการกุศล ผู้บริจาค k มีงบประมาณ W และฟังก์ชันยูทิลิตี้ $U_k$ = $c_k$ P โดยที่ $c_k$ คือจำนวนเงินดอลลาร์ที่ใช้กับสินค้าส่วนตัว ให้การบริจาคของผู้เล่น k เพื่อการกุศลเป็น $D_k$ , k = 1, 2 ระยะเวลาของการกระทำมีดังนี้: ในขั้นตอนที่ 1 ผู้บริจาคเลือก $D_1$ และ $D_2$ พร้อมกันและในระยะที่ 2 องค์กรการกุศลจะเลือก S และ P

a) ค้นหาสมดุลที่สมบูรณ์แบบของเกมย่อยของเกมนี้

b) มีคนหอยที่ผู้บริจาคบริจาคน้อยลงเพื่อการกุศลเมื่อระดับประสิทธิภาพของการกุศลเพิ่มขึ้น (จากมุมมองของพวกเขา) ตรวจสอบความถูกต้องของการอ้างสิทธิ์นี้ในแบบจำลองที่เรียบง่ายนี้และให้สัญชาตญาณสำหรับคำตอบ

c) ตอนนี้คิดว่านอกเหนือไปจากองค์กรการกุศลที่ข้างต้นมีเป็นองค์กรการกุศลอื่นซึ่งเป็นเหมือนเพื่อการกุศลครั้งแรกยกเว้นว่าฟังก์ชันวัตถุประสงค์ผู้จัดการคือ $Q =(P/B)^b$ $S^{1-b}$ , $0 <b< 1$ 1เรียกการกุศลประเภท a และ b สมมติว่า a> b แสดงการบริจาคผู้เล่น k เพื่อการกุศล j เป็น $D_k^j$ , k = 1, 2 และ j = a, b อะไรคือสมดุลของแนชในเกมย่อยที่สมบูรณ์แบบของเกม? (คำแนะนำ: เขียนเงื่อนไข Kuhn-Tucker ของผู้บริจาค)

สิ่งที่ฉันทำคือ

สำหรับก) ฉันเริ่มจากเกมระยะที่ 2 และเพิ่มฟังก์ชั่นยูทิลิตี้การกุศลให้ได้มากที่สุด

สูงสุด $(P/B)^a$ $S^{1-a}$

st B = S + P

ปัญหาที่ไม่มีข้อ จำกัด จะกลายเป็น:
สูงสุด $(P/B)^a$ $(B-P)^{1-a}$

รับ FOC wrt P เราจะได้ P * = aB

จากนั้นไปในสถานะที่ 1 ฉันพิจารณาว่าฟังก์ชันตอบสนองที่ดีที่สุดแล้วตอนที่ 1 ต้องการเพิ่มสูงสุด

สูงสุด (W -D1) (D1 + D2)

ฟังก์ชั่นตอบสนองที่ดีที่สุดสำหรับผู้บริจาค 1 คือ D1 = (W- D2) / 2 ทำแบบเดียวกันกับผู้บริจาค 2 ฟังก์ชันการตอบสนอง besr คือ D2 = (W- D1) / 2 การแก้ปัญหาตัวเลือกที่ดีที่สุดคือ D1 * = D2 * = W / 3 กลับไปที่สเตจ 1 และแทนที่, P * = 2W / 3, B * = 2W / 3a และ S * = 2W (1-a) / 3a นี่คือดุลยภาพของแนช

สำหรับส่วน b)

The d Q / d (P / Q) = a > 0 $( P/ B)^{a-1}$ $S^{1-a}$

และ Q / d = a (a-1) <0 $d ^2$ $(P/Q)^2$ $(P/B)^{a-2}$ $S^{1-a}$

แต่ฉันติดอยู่และฉันไม่รู้วิธีตีความมัน

สำหรับส่วนค) เงื่อนไขของผู้บริจาคคือ Kuhn-Tucher คือ:

+ + $D_1^a$ $D_2^a$ $\geq$ $D_1^b$ $D_2^b$

+ $D_1^a$ $D_2^a$ $\geq 0$

+ $D_1^b$ $D_2^b$ $\geq 0$

แต่ถ้าฉันเสียบมันเข้ากับปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพสูงสุดของผู้บริจาคฉันจะไม่ได้ผลลัพธ์

ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชม. ขอขอบคุณ

microeconomics game-theory self-study

— Stefanos Makridis
แหล่งที่มา

4

ก่อนอื่นเราจะพบกลยุทธ์ของผู้จัดการ ผู้จัดการองค์กรการกุศลเลือกและโดยการแก้ปัญหาต่อไปนี้: $S$ $P$

ที่2การแก้ปัญหานั้นเราได้รับกลยุทธ์ของผู้จัดการในการบริจาคเป็น:

\begin{array}{rcl} \underset{S, P}{สูงสุด} & \frac{P^{a} S^{1 - a}}{B^{a}} \\ เซนต์ & P + S = B \end{array}

$\begin{eqnarray*} \max_{S, P} & \ \frac{P^a S^{1-a}}{B^a} \\ \text{s.t.} & \ P+S = B \end{eqnarray*}$

B = D_{1} + D_{2}

$B = D_1+ D_2$

D_{1}, D_{2}

$D_1, D_2$

ได้รับกลยุทธ์การกุศลของผู้บริจาคที่ 1 และ 2 เลือกบริจาค

และ

ในลักษณะที่ว่า

\begin{array}{rcl} P & = & a B = a (D_{1} + D_{2}) \\ S & = & (1 - a) B = (1 - a) (D_{1} + D_{2}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} P &=& aB = a(D_1+D_2)\\S &= &(1-a)B = (1-a)(D_1+D_2) \end{eqnarray*}$

D_{1}^{*}

$D_1^*$

D_{2}^{*}

$D_2^*$

แก้ได้ $D_1^*$ $\begin{array}{rcl} \underset{ค_{1}, D_{1}}{สูงสุด} & ค_{1} a (D_{1} + D_{2}^{* * * *}) \\ เซนต์ & ค_{1} + D_{1} = W \end{array}$ $\begin{eqnarray*} \max_{c_1, D_1} & \ c_1a(D_1+D_2^*) \\ \text{s.t.} & \ c_1 + D_1 = W \end{eqnarray*}$
แก้ได้ $D_2^*$ $\begin{array}{rcl} \underset{ค_{2}, D_{2}}{สูงสุด} & ค_{1} a (D_{1}^{* * * *} + D_{2}) \\ เซนต์ & ค_{1} + D_{2} = W \end{array}$ $\begin{eqnarray*} \max_{c_2, D_2} & \ c_1a(D_1^*+D_2) \\ \text{s.t.} & \ c_1 + D_2 = W \end{eqnarray*}$

การแก้ปัญหาพวกเราจะได้ . ดังนั้นกลยุทธ์การตอบสนองของผู้จัดการให้ผลตอบแทนที่ $D_1^* = D_2^* = \dfrac{W}{3}$ ใช้กับโปรแกรมในผลลัพธ์ดุลยภาพ ประโยชน์ของผู้บริจาคทั้งสองในภาวะสมดุลเท่ากับ $P^* = \dfrac{2aW}{3}$ . $\dfrac{4aW^2}{9}$

อย่างไรก็ตามความสมดุลที่เราพบไม่มีประสิทธิภาพ หากเราพิจารณาแผนการบริจาคทางเลือก , การใช้จ่ายจำนวนเงินที่เกี่ยวกับโปรแกรมจะไปถึง Wยูทิลิตี้ของผู้บริจาคทั้งสองจะ $D_1' = D_2' = \dfrac{W}{2}$ $P' = aW$ ซึ่งสูงกว่าเมื่อก่อน ผู้จัดการก็จะดีขึ้นเพราะเขาได้รับเงินบริจาคสูงขึ้น $\dfrac{aW^2}{2}$

ตอนนี้คุณสามารถลอง (c) ด้วยตัวคุณเอง

— Amit
แหล่งที่มา

4

ในส่วน a, ถ้า , SGPE ควรเป็น $B = D_1 + D_2$

$\left\lbrace D_1 = \frac{W}{3},\ D_2 = \frac{W}{3}, \left\lbrace P = \alpha (D_1 + D_2), \ S = (1 - \alpha) (D_1 + D_2) \right\rbrace \right\rbrace$

$P = \alpha \frac{2W}{3}$

— TG
แหล่งที่มา