ฟังก์ชั่นความต้องการนี้จะตอบสนองความจริงที่อ่อนแอได้อย่างไรถ้ามันไม่เป็นไปตามเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ?

ให้สำหรับเป็นฟังก์ชันอุปสงค์ k=1 ...$x_k = \frac{w}{\sum{p_l}}$$k = 1...L$

ฟังก์ชันความต้องการนี้ตอบสนองความจริงที่อ่อนแอและสิ่งนี้สามารถแสดงได้อย่างง่ายดาย

เมทริกซ์ slutsky เป็น คูณเมทริกซ์สำหรับทุก ๆ (p, w) ในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์จุลภาคของ Mas-Colell หน้า 35 และในเอกสารนี้ - https://www.jstor.org/stable/1911539เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความจริงที่อ่อนแอที่จะถือคือ (i) S (p, w) คือ เชิงลบกึ่งชัดเจนและ (ii)เมื่อใดก็ตามที่สำหรับการใด ๆ เกลา ,0$L \times L$$0$v ≠ α p α v ≠ $v^TS(p,w)v < 0$$v \neq \alpha p$$\alpha$$v \neq 0$

ชัดเจน (i) พอใจสำหรับฟังก์ชั่นอุปสงค์และเมทริกซ์ slutsky แต่พิจารณาเวกเตอร์ราคา1] เมทริกซ์ slutsky ยังคงเป็นเมทริกซ์ของศูนย์ พิจารณา1] ซึ่งเป็นไม่น้อยกว่า 0. ทราบว่าไม่ได้สัดส่วนกับพีดูเหมือนว่าจะเป็นการละเมิด (ii) ฉันไปผิดที่ไหนv = [ 2 , 1 , 1 ... 1 ] v T S ( p , w ) v = $[1,1,1,...1]$$v=[2,1,1...1]$$v^TS(p,w)v = 0$$v$$p$

นี่คือแบบฝึกหัด 2.F.17 จากทฤษฎีเศรษฐศาสตร์จุลภาคของ Mas-Colell

ผลการเทียบเท่าของคุณไม่ถูกต้อง ผลลัพธ์ที่ถูกต้องคือ:

1. ถ้าไปตามกฎของ Walras ความสม่ำเสมอขององศาเป็นศูนย์และสัจพจน์ที่อ่อนแอแล้วเมทริกซ์ Slutsky จะเป็นค่าลบ semidefinite นั่นคือสำหรับเวกเตอร์ใด ๆ.v ⋅ S ( p , w ) v ≤ 0 $x(p,w)$$v \cdot S(p,w) v \leq 0$$v$
2. ถ้าเมทริกซ์ Slutsky เป็นลบแน่นอนสำหรับเวกเตอร์ทุกตัวที่ไม่ได้สัดส่วนกับนั่นคือถ้าสำหรับเวกเตอร์ดังกล่าวและถ้าพอใจของ Walras กฎหมายและความเป็นเนื้อเดียวกันของระดับศูนย์จากนั้นก็ตอบสนองความจริงที่อ่อนแอp v ⋅ S ( p , w ) v < 0 v x ( p , w $v$$p$$v \cdot S(p,w) v < 0$$v$$x(p,w)$

ดังนั้นจึงไม่มีความขัดแย้งในความจริงที่ว่าฟังก์ชั่นความต้องการของคุณตรงกับความจริงที่อ่อนแอในขณะที่เมทริกซ์ Slutsky ของมันเป็นเพียง semidefinite เชิงลบ (และไม่เชิงลบแน่นอน)