การหายูทิลิตี้ส่วนบุคคล

มีตัวแทน N ที่อาศัยอยู่ในระบบเศรษฐกิจที่มีสองสินค้าเป็น$X$และY$Y$การตั้งค่าของพวกเขาอธิบายโดยฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ต่อไปนี้$u(X,Y) = 2 \sqrt{XY}$ Y ตัวแทนแต่ละเป็น endowed กับ 1 หน่วย$X$และ$y_{i}$หน่วยY$Y$หน่วยของแต่ละ$Y$เป็นขายสำหรับ$p$หน่วยX$X$

คำถามคือการแสดงให้เห็นว่าตัวแทนแต่ละคนได้รับประโยชน์จาก$\frac{1 + py_{i}}{\sqrt p}$พี

นี่คือสิ่งที่ฉันได้ลอง:

ตัวแทนเลือก$X,Y$เพื่อเพิ่ม$2\sqrt{XY}$อาจมีการ$X + pY = 1 + p y_{i}$ดังนั้นผมจึงได้แสดงข้อ จำกัด ของทรัพยากรในหน่วยของดีเอ็กซ์$X$LHS คือสิ่งที่ตัวแทนสามารถซื้อและ RHS เป็นเงินบริจาคที่ยังแสดงในหน่วยของX$X$

จากนั้นฉันจัดเรียงข้อ จำกัด ในรูปของ$Y$อีกครั้งคือ$Y = \frac{1}{p} + y_{i} - \frac{X}{p}$และทดแทนนี้ในฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ที่มีการเสียค่าใช้จ่ายที่เกี่ยวกับ$X$แล้วแทนค่าที่ดีที่สุดของ$X$กลับมาในฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ที่จะได้รับการแสดงออกในแง่ของ$y_{i}$ฉัน อย่างไรก็ตามการแสดงออกไม่ใช่สิ่งที่ฉันควรจะได้รับ

หากใครต้องการตรวจสอบพีชคณิตของฉันนี่คือ:

ฟังก์ชั่นยูทิลิตี้กลายเป็น$2\sqrt {(X/p) + Xy_{i} - X^2/p}$$X$$X^* = (1/2)(1 + y_{i}p)$$2\sqrt{X^*y_{i}}$$\frac{1 + py_{i}}{\sqrt p}$

ความคิดใด ๆ ที่ฉันผิด

$2\sqrt{x^*y^*}$$2\sqrt{x^*y_i}$

$u(x,y)=Ax^\alpha y^\beta$$p_xx+p_yy=m$

$$\begin{equation} x^*=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\frac{m}{p_1} \quad\text{and}\quad y^*=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\frac{m}{p_2}. \end{equation}$$

$A,\alpha,\beta,p_x,p_y,m$

$$\begin{equation} A=2,\quad\alpha=\beta=\frac12,\quad p_x=1,\quad p_y=p,\quad m=1+py_i. \end{equation}$$ $$\begin{equation} x^*=\frac{1+py_i}{2},\quad y^*=\frac{1+py_i}{2p}. \end{equation}$$ $$\begin{equation} u(x^*,y^*)=2\sqrt{\frac{1+py_i}{2}\cdot \frac{1+py_i}{2p}}=\frac{1+py_i}{\sqrt p} \end{equation}$$