คุณสมบัติ Submodularity ในเกมแออัด?

ให้ $G$ เป็น $n$ -players และ $m$ -elements เกมแออัด

สำหรับสมดุล $e$ แสดงโดย

S U P (e) ≜< s u p_{1} (e), s u p_{2} (e), \dots, s u p_{n} (e) >

$SUP(e)\triangleq<sup_1(e),sup_2(e),\ldots, sup_n(e)>$

ที่มีการสนับสนุนของผู้เล่นที่เล่น (ชุดของกลยุทธ์ที่เล่นด้วยความน่าจะเป็นเชิงบวก) $sup_i(e)$ $i$ $e$ $i$

นอกจากนี้เรายังบอกว่า iffนั่นคือผู้เล่นทุกคนในสุ่มการกระทำของเขาในส่วนย่อย การกระทำของเขาจะได้รับเลือกให้เล่นe' $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ $\forall i\in[n]: sup_i(e)\subseteq sup_i(e')$ $e$ $e'$

หนึ่งคำจำกัดความสุดท้ายคือต้นทุนทางสังคม,ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของต้นทุนสำหรับผู้เล่น $SC(e)$

Letสอง (อาจผสม) equilibriums สำหรับG $e,e'$ $G$

ไม่บ่งบอกถึง ?
$S U P (e) \subseteq S U P (e^{'})$ $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ $S C (e) \leq S C (e^{'})$ $SC(e) \leq SC(e')$

game-theory nash-equilibrium congestion-games

— RB
แหล่งที่มา

คุณหมายถึงหรือไม่ โดยสัญชาตญาณเราจะคิดว่าการมุ่งเน้นที่ความสมดุลจะมีองค์ประกอบน้อยกว่าจะนำไปสู่องค์ประกอบที่มีความแออัดมากขึ้น

S C (e) \geq S C (e^{'})

$SC(e)\geq SC(e')$

— แพร่หลาย

@ แพร่หลาย - ฉันคิดว่ามันค่อนข้างตรงกันข้าม ผู้เล่นแต่ละคนมีสมาธิในองค์ประกอบที่น้อยลงซึ่งหมายความว่าผู้เล่นน้อยลงจะใช้แต่ละองค์ประกอบ ความจริงที่ว่าผู้เล่นแต่ละคนตอนนี้เลือกชุดย่อยขององค์ประกอบและนี่คือความสมดุลอาจหมายถึงสังคมได้รับจากมัน (มิฉะนั้นดูเหมือนว่าผู้เล่นมีแนวโน้มที่จะเบี่ยงเบนกลับไปใช้องค์ประกอบเพิ่มเติม)

— RB

ขึ้นอยู่กับฟังก์ชั่นค่าใช้จ่าย (ล่าช้า) เกมดังกล่าวมีการระบุอย่างไม่สมบูรณ์เนื่องจากการจ่ายเงิน (ค่าใช้จ่าย) ขาดไป

— Sander Heinsalu

เรื่องนี้เป็นโดยทั่วไปไม่เป็นความจริง หนึ่งสามารถแสดงให้เห็นว่ามันเป็นความจริงในกรณีที่และ 2 นี่ฉันแสดงตัวอย่างเคาน์เตอร์เมื่อและ 2 $n=2$ $m=2$ $n=3$ $m=2$

ความคิดเห็นสั้น ๆ เราสามารถเรียบเรียงคำถามใหม่ด้วยคำพูด: ทำสมดุลของแนชนั่นคือ "สุ่มมากขึ้น" (กับ ) มีประสิทธิภาพน้อยลงหรือไม่ อย่างสังหรณ์ใจเมื่อมีการเล่นกลยุทธ์ที่หลากหลายมากขึ้นผลลัพธ์ที่ได้รับนั้นสุ่มมากขึ้นและไม่มีประสิทธิภาพมากนักเนื่องจากขาดการประสานงานระหว่างตัวแทน เมื่อตัวแทนเล่นกลยุทธ์ที่บริสุทธิ์เราสามารถคิดได้ว่าเราจะลดปัญหาการประสานงานเนื่องจากเราพิจารณาถึงดุลยภาพของแนช สัญชาตญาณนี้ไม่ถือถ้าเรื่องที่เป็นเท็จที่ผมจะแสดงเมื่อและ 2 $e'$ $e$ $n=3$ $m=2$

แสดงว่าและเป็นการกระทำที่เป็นไปได้สองอย่าง ฟังก์ชั่นการหน่วงเวลามีการกำหนดดังต่อไปนี้: , , และ , , 7มันหมายความว่าเมื่อไหร่ $A$ $B$ $d_A(1)=5$ $d_A(2)=7$ $d_A(3)=10$ $d_B(1)=1$ $d_B(2)=6$ $d_B(3)=7$ ตัวแทนเล่น (resp. ) พวกเขาได้รับผลตอบแทน (resp. ) เกมนี้เป็นเกมที่มีความแออัด (สมมาตร) ตราบใดที่ฟังก์ชั่นความล่าช้าเพิ่มขึ้น $x$ $A$ $B$ $-d_A(x)$ $-d_B(x)$

กําหนดเป็นสมดุลเมื่อ 1 ตัวแทนเล่นและตัวแทน 2 เล่นBกำหนดเป็นสมดุลเมื่อ 1 ตัวแทนมักจะเล่นและ 2 คนอื่น ๆ เล่นกับความน่าจะและมีความน่าจะเป็น 3มันสอดคล้องกับคุณสมบัติ ) $e$ $A$ $B$ $e'$ $B$ $A$ $\mu=2/3$ $B$ $1-\mu=1/3$ $sup(e) \subseteq sup(e')$

อันดับแรกเราแสดงว่าคือสมดุลของแนช เอเจนต์ที่เล่นกำลังเพิ่มผลตอบแทนของเธอสูงสุดเนื่องจากกลยุทธ์ของผู้เล่นอื่นเมื่อเลือกนั้นดีกว่าการเลือก , (เช่น ) ตัวแทนทั้งสองที่เล่นกำลังเล่นอย่างเหมาะสมหาก (เช่น ) $e$ $A$ $A$ $B$ $d_A(1)<d_B(3)$ $5<7$ $B$ $d_B(2)<d_A(2)$ $6<7$ $e$ จึงเป็นสมดุลของแนชและค่าใช้จ่ายทางสังคมของมันคือ . $d_A(1)+2d_B(2)=17=\frac{153}{9}$

ประการที่สองเราแสดงว่าเป็นดุลยภาพของแนช บนมือข้างหนึ่งตัวแทนผู้เล่นเป็นการเพิ่มของเธอผลตอบแทนเมื่อทั้งสองคนอื่นเล่นกลยุทธ์ผสมถ้าเธอจะดีกว่าเล่นกว่า, $e'$ $B$ $B$ $A$ เช่น

(1 - μ)^{2} d_{B} (3) + 2 μ (1 - μ) d_{B} (2) + μ^{2} d_{B} (1) < (1 - μ)^{2} d_{A} (1) + 2 μ (1 - μ) d_{A} (2) + μ^{2} d_{A} (3)

$(1-\mu)^2d_B(3)+2\mu(1-\mu)d_B(2)+\mu^2d_B(1)<(1-\mu)^2d_A(1)+2\mu(1-\mu)d_A(2)+\mu^2d_A(3)$

ซึ่งเป็นเรื่องจริง ในทางกลับกันตัวแทนแต่ละคนที่เล่นกลยุทธ์ผสมนั้นไม่สนใจในการเลือก

หรือ

หาก

เช่น

\frac{1}{9} 5 + \frac{4}{9} 7 + \frac{4}{9} 10 < \frac{1}{9} 7 + \frac{4}{9} 6 + \frac{4}{9} 1

$\frac{1}{9}5+\frac{4}{9}7+\frac{4}{9}10<\frac{1}{9}7+\frac{4}{9}6+\frac{4}{9}1$

A

$A$

B

$B$

μ d_{A} (2) + (1 - μ) d_{A} (1) = μ d_{B} (2) + (1 - μ) d_{B} (3)

$\mu d_A(2)+(1-\mu)d_A(1)=\mu d_B(2)+(1-\mu)d_B(3)$

คือสมดุลของแนชและต้นทุนทางสังคมคือ

\frac{19}{3} = \frac{19}{3}

$\frac{19}{3}=\frac{19}{3}$

e^{'}

$e'$

ซึ่งเท่ากับ

(1 - μ)^{2} [3 d_{B} (3)] + 2 μ (1 - μ) [d_{A} (1) + 2 d_{B} (2)] + μ^{2} [2 d_{A} (2) + d_{B} (1)]

$(1-\mu)^2 [3d_B(3)]+2\mu(1-\mu)[d_A(1)+2d_B(2)]+\mu^2[2d_A(2)+d_B(1)]$

\frac{1}{9} 21 + \frac{4}{9} 17 + \frac{4}{9} 15 = \frac{149}{9}

$\frac{1}{9}21+\frac{4}{9}17+\frac{4}{9}15=\frac{149}{9}$

สุดท้ายเราได้แสดงให้เห็นว่าแต่ )ความสมดุลของกลยุทธ์แนชส่งผลให้ต้นทุนทางสังคมต่ำกว่ากลยุทธ์ที่บริสุทธิ์ $sup(e) \subseteq sup(e')$ $SC(e) > SC(e')$

— GuiWil
แหล่งที่มา