รูปแบบการลดลงของแบบจำลองเศรษฐมิติปัญหาการระบุและการทดสอบ

การค้นหาความช่วยเหลือเพื่อทำความเข้าใจปัญหาต่อไปนี้และวิธีการใช้แบบฟอร์มที่ลดลงในเศรษฐมิติ

พิจารณารูปแบบเพื่อสุขภาพของแต่ละบุคคล:

h e a l t h = b_{0} + (b_{1}) a g e + (b_{2}) w e i g h t + (b_{3}) h e i g h t + (b_{4}) m a l e + (b_{5}) w o r k + (b_{6}) e x e r c i s e + u

$health = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + (b_6)exercise + u$

สมมติว่าตัวแปรทั้งหมดในสมการที่มีข้อยกเว้นของการออกกำลังกายไม่มีความสัมพันธ์กับคุณ

A) เขียนแบบฟอร์มที่ลดลงสำหรับการออกกำลังกายและระบุเงื่อนไขที่ระบุพารามิเตอร์ของสมการ

B) สมมติฐานการพิสูจน์ตัวบุคคลในส่วนคสามารถทดสอบได้อย่างไร?

ถือว่าถูกต้องหรือไม่:

e x e r c i s e = b_{0} + (b_{1}) a g e + (b_{2}) w e i g h t + (b_{3}) h e i g h t + (b_{4}) m a l e + (b_{5}) w o r k + u

$exercise = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + u$ เป็นรูปแบบที่ลดลง?

และเป็นเงื่อนไขในการระบุพารามิเตอร์อย่างง่าย ๆ

$E(exercise|u)=0$

และฉันจะทดสอบได้อย่างไร แต่สิ่งที่ดีสำหรับมันคืออะไร?

econometrics

— Clemente Cortile
แหล่งที่มา

คำตอบ:

นี่เป็นคำถามมาตรฐานมากสำหรับตัวแปรเชิงเครื่องมือของตัวแบบเชิงเส้นเดียวสมการ ได้รับพื้นฐานของคำถามของคุณตัวแปรเพียงภายนอกคือการออกกำลังกาย ในการตอบคำถามนี้โดยเฉพาะคุณต้องมีตัวแปร exogeous ซึ่งzที่ตรงตามเงื่อนไขสองข้อ:

COV (Z, U) = 0
จะต้องมีความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรภายนอกและตัวแปรภายนอกนี้ที่คุณเสนอ แต่มันไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของแบบจำลองที่ตั้งขึ้นจริง (โมเดลโครงสร้าง) ในคำอื่น ๆ $e x e r c i s e = β_{0} + β_{1} a g e + β_{2} w e i g h t + β_{3} h e i g h t + β_{4} m a l e + β_{5} w o r k + ϕ z + ε_{e x e r c i s e}$ $exercise=\beta_0+\beta_1 age +\beta_2 weight + \beta_3 height + \beta_4 male + \beta_5 work + \phi z + \varepsilon_{exercise}$ กับ $\phi\ne 0$ , $\mathbb{E}\,( \varepsilon_{exercise})=0$ และ orthogonal กับตัวแปรอธิบายทั้งหมดของคุณ (นอกเหนือจากการออกกำลังกาย) และถึง z

ก่อนที่จะไปพูด โดยรูปแบบโครงสร้างฉันหมายความว่าต่อไปนี้ Wooldridge และ Goldberger ประชุมแบบคติ นั่นคือรูปแบบที่ระบุความสัมพันธ์เชิงสาเหตุระหว่างสุขภาพและเพื่อนร่วมทุนของคุณ นี่คือความแตกต่างที่สำคัญและไม่เห็นด้วยกับคำตอบก่อนหน้า

ตอนนี้กลับมาที่ปัญหาสภาพ 2 คือสิ่งที่อยู่ในวรรณคดี - สมการพร้อมกันเรียกว่าสมการรูปแบบลดลงซึ่งไม่ได้เป็นเพียงการฉายภาพเชิงเส้นตรงของภายนอกกับตัวแปรภายนอกทั้งหมดรวมถึง z

ตอนนี้เสียบแบบฟอร์มลดขนาดลงในแบบจำลองที่คุณกำหนดไว้แล้วคุณจะได้รับ

h e a l t h = α_{0} + α_{1} a g e + α_{2} w e i g h t + α_{3} h e i g h t + α_{4} m a l e + α_{5} w o r k + δ z + ν

$health=\alpha_0 + \alpha_1 age + \alpha_2 weight + \alpha_3 height + \alpha_4 male + \alpha_5 work + \delta z + \nu$ ที่ไหน

α_{i} = b_{i} + b_{6} β_{i}, \forall i \in {1, \dots, 5}

$\alpha_i = b_i + b_6\beta_i,\: \forall i \in \{1,\dots,5\}$ ,

δ = b_{6} ϕ

$\delta=b_6\phi$ และ

ν = u + b_{6} ε_{e x e r c i s e}

$\nu = u+b_6\varepsilon_{exercise}$ . ตามนิยามของการฉายภาพเชิงเส้น

ν

$\nu$ ไม่มีการเชื่อมโยงกับตัวแปรอธิบายทั้งหมดและดังนั้น OLS ของสมการสุดท้ายนี้จะสร้างการประมาณที่สอดคล้องกันสำหรับ

α_{i}

$\alpha_i$ และ

δ

$\delta$ ไม่ใช่รากฐาน

b_{i}

$b_i$ ในรูปแบบที่แท้จริง

บัตรประจำตัวต้องบิตของการจัดการในรูปแบบเมทริกซ์ แต่เป็นหลักจะช่วยลดการที่เรียกว่าสภาพยศ กำหนด $\mathbf{b}=(b_0,\dots,b_6)'$ และ $\mathbf{x}=(1, age, \dots, exercise)'$ เพื่อให้โมเดลโครงสร้างของคุณคือ $health=\mathbf{x}'\mathbf{b}+u$ . ตอนนี้กำหนด $\mathbf{z}\equiv(1,age,\dots,work,z)'$ . โดยเงื่อนไข 1 (cov (z, u) = 0 ดังนั้น E (z, u) = 0)

E (z u) = 0

$\mathbb{E}(\mathbf{z}u)=0$ ถ้าคุณคูณด้านบอทของโมเดลโครงสร้างด้วย

z

$\mathbf{z}$ และรับความคาดหวังของคุณ

E (z x^{'}) b = E (z y)

$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')\mathbf{b}=\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$ สภาพยศระบุว่า

E (z x^{'})

$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')$ เป็นอันดับคอลัมน์แบบเต็ม ในตัวอย่างนี้และเงื่อนไขที่กำหนดใน z นี่เท่ากับ

r a n k (E (z x^{'}) = 6

$rank(\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')=6$ . ดังนั้นเราจึงมี 6 สมการใน 6 นิรนาม ดังนั้นจึงมีทางออกที่เป็นเอกลักษณ์สำหรับระบบคือ

b

$\mathbf{b}$ มีการระบุและเท่ากับ

[E (z x^{'})]^{- 1} E (z y)

$[\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')]^{-1}\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$ ตามที่ต้องการ

หมายเหตุ: เงื่อนไข 1 มีประโยชน์ในการรับเงื่อนไขโมเมนต์ แต่แบบจำลองที่ลดลงด้วย $\phi$ เป็นสิ่งสำคัญสำหรับเงื่อนไขอันดับ เงื่อนไขทั้งสองเป็นปกติ

ณ จุดนี้มันควรจะชัดเจนว่าทำไมเราถึงต้องการสิ่งนี้ ในอีกด้านหนึ่งหากไม่มีตัวประมาณ z OLS ของตัวแบบที่แท้จริงจะสร้างตัวประมาณที่ไม่สอดคล้องกันไม่เพียงเท่านั้น $b_6$ แต่สำหรับทุกคน $b_i$ . ในอีกทางหนึ่ง (และค่อนข้างเกี่ยวข้องกัน) พารามิเตอร์ของเราจะระบุเฉพาะเพื่อให้เรามั่นใจว่าเรากำลังประเมินความสัมพันธ์เชิงสาเหตุที่แท้จริงตามที่ระบุไว้ในแบบจำลองที่แท้จริงของเรา

ในการทดสอบเงื่อนไข 2 (z และการออกกำลังกายมีความสัมพันธ์บางส่วน) สามารถทดสอบได้โดยตรงและคุณควรรายงานขั้นตอนนั้นตรงข้ามกับความคิดเห็นในคำตอบก่อนหน้า มีวรรณคดีขนาดใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับขั้นตอนนี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งวรรณกรรมเครื่องดนตรีที่อ่อนแอ

เงื่อนไขที่สองไม่สามารถทดสอบได้โดยตรงอย่างไรก็ตาม บางครั้งคุณอาจเรียกใช้ทฤษฎีเศรษฐศาสตร์เพื่อพิสูจน์หรือให้สมมติฐานทางเลือกที่สนับสนุนการใช้ z

— MauOlivares
แหล่งที่มา

คำถามไม่สมเหตุสมผลกับฉันตามที่ระบุไว้ หากปัญหาบอกว่าการออกกำลังกายนั้นเกิดจากภายนอก (มีความสัมพันธ์กับคำผิดพลาด) คุณจะไม่สามารถคาดเดาสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ นอกจากนี้หนึ่งมักจะพูดเกี่ยวกับรูปแบบลดลงกับโครงสร้างในบริบทของการประมาณค่า IV หากการออกกำลังกายภายนอกคุณต้องใช้เครื่องมือสำหรับมัน (ตัวแปรที่ทำนายการออกกำลังกาย แต่ไม่ส่งผลกระทบต่อสุขภาพอย่างอื่น) เพื่อให้ได้ผลเชิงสาเหตุ ตัวอย่างเช่นหากบางคนในตัวอย่างของคุณได้รับคูปองสมาชิกยิมแบบสุ่มนั่นอาจเป็นเครื่องมือที่ถูกต้อง

สมมติฐานการระบุจะเป็น

คูปองทำนายการออกกำลังกายจริงๆ
คูปองนี้เป็นมุมฉากถึง $u$

สิ่งที่เรียกว่ารูปแบบโครงสร้างจะเป็นสมการสองแบบหนึ่งแบบจำลองแรกของคุณแบบฝึกหัดอื่น ๆบนคูปองและตัวแปรอธิบายอื่น ๆ จากแบบจำลองดั้งเดิม (ระยะแรก) รูปแบบที่ลดลงจะเป็นเมื่อคุณแทนที่ระยะแรกเป็นสมการหลักดังนั้นคุณจะมีสุขภาพที่อายุน้ำหนัก ... การทำงานและคูปอง (แต่ไม่ใช่การออกกำลังกายตามที่ถูกแทนที่) รูปแบบที่ลดลงบางครั้งใช้สำหรับอธิบายคุณสมบัติของการประมาณค่า IV แต่ AFAIK ไม่ได้ใช้ในทางปฏิบัติมากนัก

— ivansml
แหล่งที่มา