เรารู้ว่าฟังก์ชันยูทิลิตี้เป็น quasilinear (QL) wrt 1 ดีหรือไม่ความต้องการสินค้าอื่น ๆ นั้นไม่ขึ้นอยู่กับรายได้ (ไม่มีผลกระทบต่อรายได้ของสินค้า )$(2,\dots, N)$

แต่ความหมายย้อนกลับก็เป็นจริงเช่นกัน: เราสามารถพูดได้ว่าถ้าสินค้าทั้งหมดมีฟังก์ชั่นความต้องการที่เป็นอิสระจากรายได้แล้วฟังก์ชั่นยูทิลิตี้จะต้องเป็น quasilinear?

ฉันได้ค้นหาหนังสือเรียนระดับจุลภาคมาตรฐานทั้งหมดแล้ว แต่ยังไม่ได้รับคำตอบ ฉันเห็นหนังสือที่กำหนด (ค่อนข้างเป็นลักษณะ) QL โดยเพียงด้านหนึ่งของความหมาย (เช่น QL หมายถึงไม่มีรายได้ผล) แต่จะเงียบเกี่ยวกับที่อื่น

การอ้างอิงใด ๆ ในเรื่องนี้จะเป็นประโยชน์อย่างมาก

การอ้างสิทธิ์ของคุณเป็นจริงหรือไม่

$m$$c$

ฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ที่ได้รับจาก

$$U(m,c) = m + f(c)$$ $f$

$w$$p, p_c$

$$\max_{m,c} U(m,c) \text{ s.t. } pm + p_c c = w\\ = \max_c f(c) + \frac{w}{p} - \frac{p_c}{p}c\\ \Rightarrow f'(c) = \frac{p_c}{p}$$

ดังนั้นจำนวนที่เหมาะสมสำหรับการบริโภคของเป็นอิสระจากระดับความมั่งคั่ง , ถ้าการแก้ปัญหาภายในที่มีคุณสมบัติเป็นวิธีการแก้ปัญหาระดับโลก - ซึ่งมันไม่สำหรับระดับความมั่งคั่งสูงพอสมควร ฉันไม่ได้มาจากพื้นหลังไมโคร แต่ฉันคิดว่านี้มีคุณสมบัติเป็นผลไม่มีรายได้สำหรับการไม่เชิงเส้นที่ดี$c$$w$

ปรีชาคือว่านอกเหนือจากเกณฑ์รายได้แล้วคุณมีสถานที่บริโภคที่เหมาะสมที่สุดของคุณซึ่งระบุโดย FOC ก่อนหน้า การมีรายได้ที่สูงขึ้นจะทำให้คุณต้องการประหยัดเงินไม่ใช่ใส่ลงไปในการบริโภค$c^*$

แล้วอินเวอร์สล่ะ?

ตอนนี้เราได้สัญชาตญาณแล้วเราสามารถลองทำย้อนหลังได้ เราต้องการอะไร ที่

$$\exists c^* : U(m+\epsilon, c^*) > U(m, c^* + \frac{p}{p_c}\epsilon) \,\forall \epsilon > 0$$

หนึ่งสามารถแสดง (ทำมันได้!) ว่าถ้าเป็นเว้าในในที่สุดค่าส่วนเพิ่มของการเพิ่ม (สำหรับขนาดใหญ่พอที่ ) มีขนาดเล็กกว่าการลงทุนลงในค$U$$m$$m$$\epsilon$$c$

ในทางตรงกันข้ามถ้าเป็น additively แยกกันไม่ออกในและเพิ่ม แต่นูนเราจะ - หลังจากเกณฑ์ - เสมอลงทุนทั้งหมดลงและตั้ง 0 นอกจากนี้ที่นี่หลังจากเกณฑ์นั้นสถานที่ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับนั้นไม่ขึ้นอยู่กับระดับความมั่งคั่ง: ไม่มีผลกระทบด้านรายได้$U$$(m,c)$$m$$m$$c=0$$c$

อีกตัวอย่างหนึ่งคือการลดอรรถประโยชน์ในซึ่งจะทำให้เราตั้งค่าเป็นอิสระจากระดับความมั่งคั่งให้ต่ำสุดทั่วโลก (มักเป็น 0)$c$

คุณจะเห็นว่าถ้าคุณให้คลาสยูทิลิตี้ฟังก์ชั่นยูทิลิตี้อาจมีหลายกรณีที่ถูกต้อง

การอ้างสิทธิ์ครั้งแรกนั้นถูกต้องหรือไม่ ฉันคิดว่ามันขึ้นอยู่กับว่าคุณหมายถึงอะไรโดยผลกระทบรายได้

กล่าวว่ารูปแบบยูทิลิตี้กึ่งเชิงเส้นของคุณคือ: Sayและอื่น ๆ เพื่อความมั่งคั่งV หากครัวเรือนต้องการซื้อถึงอย่างเข้มงวดและไม่ซื้อแต่คือซื้อเกินกว่านั้น ดังนั้นความต้องการมีดังนี้:

$$U(x,v) = x + \ln(v)$$ $P_v = P_x=1$$w = P_v\cdot v + P_x \cdot x = x + v$$0<w\leq 1$$v$$x$$x$$w>1$$x$$x$ $$w<1: x^* = 0$$ $$w<1: v^* = w$$ $$w\geq1: x^* = w-1$$ $$w\geq1: v^* = 1$$

ดังนั้นความต้องการร่อแร่สำหรับขึ้นอยู่กับน้ำหนัก$x/v$$w$

Blockquote สมมติว่ารูปแบบยูทิลิตี้กึ่งเชิงเส้นของคุณคือ: U (x, v) = x + ln (v) Say Pv = Px = 1 และเพื่อความมั่งคั่ง w = Pv⋅v + Px⋅x = x + v หาก 01 เป็นค่าเฉพาะเอ็กซ์จะถูกซื้อเกินกว่านั้น ดังนั้นความต้องการ x มีดังนี้: w <1: x ∗ = 0 w <1: v ∗ = w w≥1: x ∗ = w − 1 w≥1: v ∗ = 1

มันสมเหตุสมผลขนาดไหน หากคุณจัดสรร v = w และ x = 0 เมื่อ w <1 ดังนั้น U (0, v = w <1) <0 เป็น ln (v) สำหรับ v <1 จะเป็นค่าลบ