มีวิธีใดที่จะเชื่อมโยงทฤษฎีบทของ Berge ไปสู่ทฤษฎีบทของซองจดหมายได้หรือไม่?

8

ทฤษฎีบทของ Berge กล่าว

ปล่อย ,เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องร่วมกันต่อเนื่อง (ทั้งคู่ hemicontinuous บนและล่าง) กระชับมูลค่าจดหมายฟังก์ชันขยายและ maximizer คือ จากนั้นต่อเนื่องและคือ hemicontinuous ตอนบน $X \in \mathbb R^m, \Theta \in \mathbb R^n$ $f : X \times \Theta \to \mathbb R$ $C : \Theta \rightrightarrows X$
$V (θ) := max_{x \in X} f (x, θ)$ $V(\theta) := \max_{x \in X}f(x, \theta)$ $C^{*} (θ) := {x \in C (θ) ∣ f (x, θ) = V (θ)}$ $C^\ast(\theta):=\{x \in C(\theta) \mid f(x, \theta )=V(\theta)\}$ $V : \Theta \to \mathbb R$ $C^\ast :\Theta \rightrightarrows X$

ตามการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์จุลภาคของ Varian (1992) หน้า 490 ทฤษฎีบทซองจดหมายเป็นเพียง:

$\frac{d M (a)}{d a} = \frac{\partial f (x, a)}{\partial a} ∣_{x = x (a)}$ $\frac{dM(a)}{da}=\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\mid_{x=x(a)}$

$x(a)$ เป็น Maximizer ของ $f(\cdot, a)$ เป็น)

ดูเหมือนว่าฉันกับทฤษฎีบทของซองจดหมายจะนำทฤษฎีบทของ Berge มาใช้ แต่การสืบทอดนั้นดูง่ายกว่า มีความสัมพันธ์ระหว่างสองหรือไม่?

mathematical-economics academic-graduate optimization

— Epicurus
แหล่งที่มา

มันดูเหมือนว่าทั้งสองจะถูกลุ่มหลงกับเป้าหมายเดียวกัน Berge's สร้างคุณสมบัติของฟังก์ชันค่าและชุด maximizers ซองจดหมายเกี่ยวข้องกับการแสดงผลของการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์คือ ... บางทีคุณอาจอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับประเภทของการเชื่อมต่อระหว่างสองสิ่งที่คุณสนใจ

— Alecos Papadopoulos

@AlcosPapadopoulos ขอบคุณสำหรับความไม่ชัดเจนของคำถามของฉัน ตอนนี้ฉันพบว่าภารกิจนี้เกิดขึ้นจากความทรงจำที่คลุมเครือของข้อเสนอที่ 2 ของฉันในลูคัส (1978) ตอนนี้ฉันสามารถกำหนดได้อย่างแม่นยำมากขึ้น เงื่อนไขประเภทใดเกี่ยวกับฟังก์ชันอรรถประโยชน์และข้อ จำกัด ทำให้เราสามารถใช้ทฤษฎีบทของซองจดหมายได้หลังจากที่เราสร้างความต่อเนื่องของฟังก์ชันค่าตามทฤษฎีบทของ Berge แล้วเท่านั้น people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

— Epicurus

ฉันไม่คิดว่าคุณจำเป็นต้อง "สร้างความต่อเนื่องของฟังก์ชันค่า" เพื่อใช้ทฤษฎีบทซองจดหมาย มันคิดว่าส่วนที่สำคัญคือประเด็นเกี่ยวกับการควบคุม * ดูทฤษฎีบทที่ 2 ในหน้า Wikipedia ที่นั่นความต่อเนื่องของ V คือผลลัพธ์ ไม่ว่าในกรณีใดหน้าวิกิพีเดียจะระบุทฤษฎีบทอย่างเต็มที่ มันจะบอกคุณว่าคุณต้องใช้ทฤษฎีบทอย่างไร en.wikipedia.org/wiki/Envelope_theorem

C^{*}

$C^*$

— jmbejara

6

พวกเขามีความเกี่ยวข้องและมักจะตกอยู่ในการสนทนาเดียวกัน แต่เป็น @Alcos กล่าวถึงในความคิดเห็นทฤษฎีบททั้งสองแสดงสิ่งที่แตกต่างกัน

ฉันคิดว่าการเชื่อมต่อที่คุณหลังจากเป็นความจริงที่ว่าถ้าอนุพันธ์ อยู่ ดังนั้นเนื่องจากความแตกต่างหมายถึงความต่อเนื่องคุณอาจได้รับส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทของค่าสูงสุด อย่างไรก็ตามในการเปรียบเทียบและเปรียบเทียบทฤษฎีบทสองทฤษฎีคุณจะต้องไม่ดูผลลัพธ์ คุณต้องดูที่สมมติฐานด้วยเช่นกัน ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทของค่าสูงสุดไม่ถือว่ามีความแตกต่างใด ๆ ทฤษฎีบทของซองจดหมายทำ (อย่างน้อยก็บางรูปแบบ) ไม่ว่าในกรณีใด ๆ สมมติฐานที่เข้ากันจะแตกต่างกันไป (บางคนที่แข็งแกร่งกว่าและอ่อนแอกว่า)

{\frac{\partial ฉ (x, a)}{\partial a} |}_{x = x (a)}

$\left .\frac{\partial f(x, a)}{\partial a} \right |_{x=x(a)}$

นอกจากนี้ยังมีสิ่งนี้ ทฤษฎีบทของซองจดหมายไม่ได้บอกอะไรคุณเกี่ยวกับฟังก์ชั่นการควบคุม ดังนั้นคุณจะไม่สามารถได้รับผลลัพธ์ที่เป็น hemicontinuous ส่วนบนแน่นอน $C^*$

— jmbejara
แหล่งที่มา

4

การอ้างอิง OP จากความคิดเห็น

เงื่อนไขประเภทใดเกี่ยวกับฟังก์ชันอรรถประโยชน์และข้อ จำกัด ทำให้เราสามารถใช้ทฤษฎีบทของซองจดหมายได้หลังจากที่เราสร้างความต่อเนื่องของฟังก์ชันค่าตามทฤษฎีบทของ Berge แล้วเท่านั้น people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

ในบทความ Lucas (1978) ที่อ้างถึงข้อเสนอที่ 1 กำหนดว่า

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

โดยที่เป็นฟังก์ชันค่าและคือคำจำกัดความ ดังนั้นปรากฏว่ามันเป็นความต่อเนื่องของฟังก์ชั่นราคาที่แยกออกมาเป็นเงื่อนไขที่นี่ แต่ก่อนหน้าในเอกสารลูคัสกำหนดฟังก์ชั่นยูทิลิตี้เป็นฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่เชิงลบซึ่งเป็น $v(z,y;p)$ $(i)$

differentiable อย่างต่อเนื่อง, ขอบเขต, การเพิ่มและเว้าอย่างเคร่งครัด

ข้อเสนอที่ 2 ของกระดาษสร้างความแตกต่างของฟังก์ชั่นค่าโดยไม่ต้องมีข้อสมมติฐานเพิ่มเติม

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา