การพิสูจน์ว่าไม่มีโอกาสในการเก็งกำไรเนื่องจาก 3 สถานะและ 2 สินทรัพย์

สมมติว่ามี 3 สถานะของโลก: w1, w2 และ w3 สมมติว่ามีสองสินทรัพย์: สินทรัพย์ที่ไม่มีความเสี่ยงส่งคืน Rf ในแต่ละรัฐและสินทรัพย์เสี่ยงที่มี Return R1 ในสถานะ w1, R2 ในสถานะ w2 และ R3 ในสถานะ W3 สมมติว่าความน่าจะเป็นคือ 1/4 สำหรับสถานะ w1, 1/2 สำหรับสถานะ w2 และ 1/4 สำหรับสถานะ w3 สมมติ Rf = 1.0 และ R1 = 1.1, R2 = 1.0 และ R3 = 0.9

(a) พิสูจน์ว่าไม่มีโอกาสในการเก็งกำไร (b) อธิบายตระกูลเวกเตอร์ราคาหนึ่งมิติตระกูล (q1, q2, q3)>

สำหรับ (a) ฉันเชื่อว่านี่เทียบเท่ากับการแสดงว่ามีเวกเตอร์ราคาของรัฐ

ฉันรู้ p = Xq แต่เนื่องจากเราได้รับเพียงสองเนื้อหา X ไม่มีการผกผันดังนั้นฉันจึงไม่รู้วิธีคำนวณ q นอกจากนี้เราจะไม่ได้รับ p ฉันจะแสดงเวกเตอร์ราคาสถานะได้อย่างไร

ก่อนอื่นคุณจะได้รับ . คุณสามารถคิดถึงผลตอบแทนเป็นหลักทรัพย์ที่มีค่าใช้จ่าย 1 ในช่วงเวลาปัจจุบันและจ่ายผลตอบแทนในงวดถัดไป เวกเตอร์ราคาและเมทริกซ์ผลตอบแทนจึงเป็น และเราต้องการที่จะหาเวกเตอร์บวกของราคาดังกล่าวว่ารัฐXq เนื่องจากระบบไม่ได้ถูกระบุว่าสามารถมีเวกเตอร์จำนวนมากได้ แต่ตราบใดที่บางส่วนนั้นเป็นค่าบวกเราสามารถมั่นใจได้ว่าไม่มีการเก็งกำไร ในการคำนวณจริงวิธีหนึ่งก็คือให้ถือว่าเป็นพารามิเตอร์แก้หาเป็นฟังก์ชันของ$p$$R$

$$p = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \ X = \begin{bmatrix} 1.1 & 1.0 & 0.9 \\ 1.0 & 1.0 & 1.0 \end{bmatrix}$$ $q$$p = Xq$$q_3$$q_1, q_2$$q_3$จากนั้นลองค้นหาเช่นนั้นโดยนัยค่าเป็นค่าบวก แต่ในกรณีนี้มันง่ายที่จะเห็นว่าทำงานได้$q_3 > 0$$q_1,q_2$$q = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$