ทางเลือกผลงานของคนรักความเสี่ยง

ใช้ปัญหาตัวเลือกผลงานมาตรฐานตามที่แสดงใน MWG (หน้า 188-189) แต่ด้วยผู้ตัดสินใจที่รักความเสี่ยง:

มีความมั่งคั่งเริ่มต้น $w$
ลงทุนจำนวนในสินทรัพย์ที่มีความเสี่ยงด้วยอัตราผลตอบแทนรวมแบบสุ่มโดยที่ถูกกระจายตาม cdfและ $\alpha$ $z$ $z$ $F$ $\int zdF(z)>1$

ตัดสินใจแก้ปัญหาต่อไปนี้ ที่ , 0

max_{α \in [0, w]} \int u (w - α + α z) d F (z),

$\max_{\alpha\in[0,w]} \int u(w-\alpha +\alpha z) dF(z),$

u^{'} > 0

$u'>0$

u^{″} > 0

$u''>0$

เป็นความจริงไหมว่าทางออกที่ดีที่สุดคือ $\alpha^*=w$ ?

โปรดทราบว่าเนื่องจาก $u$ เป็นนูนเงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรกตามปกติจึงไม่เพียงพอสำหรับสูงสุด

คำตอบที่ได้โดยสัญชาตญาณควรเป็นใช่ แต่เหตุผลคืออะไรกันแน่

decision-theory risk

— เฮอร์เค
แหล่งที่มา

เนื่องจากเรากำลังสงสัยวิธีแก้ปัญหามุมจึงควรเขียนปัญหาอย่างชัดเจนด้วยข้อ จำกัด ยิ่งไปกว่านั้นให้ใช้เงื่อนไข Fritz John ( FJ ) แทนเงื่อนไข Karush-Kuhn-Tucker ( KKT ) เราจะพูดถึงความแตกต่างเมื่อเราไปพร้อมกัน

max_{α} \int u [w + α (z - 1)] d F (z), s.t. w - α \geq 0

$\max_{\alpha} \int u[w+\alpha(z-1)] dF(z),\;\; \text{s.t.}\;\; w-\alpha \geq 0$

ลากรองจ์ภายใต้สูตร Firtz John คือ

L_{F J} = λ_{0} \int u [w + α (z - 1)] d F (z) + λ_{1} (w - α)

$L_{FJ} = \lambda_0\int u[w+\alpha(z-1)] dF(z)\; + \; \lambda_1(w-\alpha)$

องค์ประกอบใหม่เป็นตัวคูณในฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์\โดยไม่สูญเสียความสามารถทั่วไปเราสามารถระบุได้ $\lambda_0$

λ_{0} \in {0, 1}, λ_{0} + λ_{1} \neq 0

$\lambda_0 \in \{0,1\},\;\; \lambda_0 + \lambda_1 \neq 0$

อะไรคือสิ่งที่เราได้รับที่นี่เมื่อเทียบกับที่รู้จักอย่างกว้างขวางมากขึ้นและใช้KKT -conditions? หากวิธีการแก้ปัญหามีความจำเป็นที่เราได้รับKKTเงื่อนไขมีคุณสมบัติข้อ จำกัด ความพึงพอใจ หากวิธีการแก้ปัญหาจำเป็นที่มันจะสะท้อนถึงกรณีพิเศษอื่น ๆ กรณีที่คุณสมบัติการ จำกัด ไม่สามารถถือได้ $\lambda_0 =1$ $\lambda_0 =0$

(ตัวอย่างมาตรฐานคือกรณีที่เซตที่เป็นไปได้สำหรับ ถูกลดลงเป็นจุดเดียวเนื่องจากข้อ จำกัด ที่กำหนดจากนั้นเราจะพบว่าทางออกเดียวที่บอกว่าซึ่งมีคำอธิบายที่เข้าใจง่าย: ifสามารถรับหนึ่งค่าเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นเนื่องจากข้อ จำกัด จากนั้นฟังก์ชันวัตถุประสงค์ "ไม่มีบทบาท" ในการกำหนดและดังนั้นจึงได้รับตัวคูณเป็นศูนย์) $\alpha$ $\lambda_0=0$ $\alpha$ $\alpha$

กลับไปที่ปัญหาของเรา เงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรกคือ

\frac{\partial L_{F J}}{\partial α} = λ_{0} \int u^{'} [w + α (z - 1)] \cdot (z - 1) d F (z) - λ_{1} \leq 0

$\frac {\partial L_{FJ}}{\partial \alpha} = \lambda_0\int u'[w+\alpha(z-1)]\cdot (z-1) dF(z) - \lambda_1 \leq 0$

(โปรดสังเกตว่า "ต่ำกว่าหรือเท่ากับศูนย์" ซึ่งเป็นกรณีเมื่อปรับให้เหมาะสมภายใต้ข้อ จำกัด ความไม่เสมอภาคมากกว่าเพียงแค่ "เท่ากับ")

ครั้งแรกที่เราสร้างที่ 0 เนื่องจากและนูน (เข้มงวด) ของฟังก์ชันยูทิลิตี้และสมมติฐานที่เรามี (ใช้ความไม่เท่าเทียมกันของเซ่น) $\alpha^* >0$ $u'>0$ $u''>0$ $E(z) >1$

E [u (w + α (z - 1))] > u (w + α (E (z) - 1))] > u (w + 0 \cdot (E (z) - 1)) = u (w)

$E[u(w+\alpha(z-1))] > u(w+\alpha(E(z)-1))] > u(w + 0\cdot(E(z)-1))=u(w)$

ตอนนี้เราหันไปตรวจสอบกรณีต่างๆ เนื่องจากตัวคูณสองตัวไม่สามารถเป็นทั้งศูนย์ได้และรับเพียงสองค่าจึงมีการรวมกันที่เป็นไปได้สามแบบ $\lambda_0$

ตรวจสอบกรณีที่ 1 $\lambda_0 =1$
จากนั้นในหลักการสามารถเป็นศูนย์หรือบวก ตรวจสอบกรณีที่คือข้อ จำกัด ที่ไม่ผูกพันซึ่งหมายความว่า<W ด้วยตัวคูณทวีคูณผู้สมัครนี้เงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรกจะกลายเป็น $\lambda_1$ $\lambda_1 =0$ $\alpha^* < w$ $\{\lambda_0=1,\lambda_1=0\}$

\int u^{'} [w + α (z - 1)] \cdot (z - 1) d F (z) \leq 0 \Rightarrow E (z u^{'}) - E (u^{'}) \leq 0

$\int u'[w+\alpha(z-1)]\cdot (z-1) dF(z) \leq 0 \Rightarrow E(zu') - E(u') \leq 0$

ตั้งแต่0 นอกจากนี้เนื่องจากเรามีสิ่งนั้น $u'>0 \Rightarrow E(u') > 0$ $E(z)>1$

E (u^{'}) < E (u^{'}) E (z) \Rightarrow E (z u^{'}) < E (u^{'}) E (z) \Rightarrow Cov (z, u^{'}) < 0

$E(u')< E(u')E(z) \Rightarrow E(zu') < E(u')E(z) \Rightarrow \text{Cov}(z, u')<0$

แต่นี้ไม่สามารถถือเพราะตั้งแต่และเรามีที่จะเป็นอย่างเคร่งครัดเพิ่มขึ้นในZดังนั้นความแปรปรวนร่วมของและไม่สามารถเป็นค่าลบได้ แต่แล้วคู่ของค่าตัวคูณไม่สามารถแก้ปัญหานี้เกิดขึ้นเนื่องจากสมมติฐาน 0 $\alpha^*>0$ $u''>0$ $u'$ $z$ $z$ $u'$ $\{\lambda_0=1,\lambda_1=0\}$ $u''>0$

เราจะเหลือกรณี หรือ\} ในทั้งสองกรณีนี้คือข้อ จำกัด มีผลผูกพันคือเราจะมีW QED $\{\lambda_0=1,\lambda_1>0\}$ $\{\lambda_0=0,\lambda_1>0\}$ $\lambda_1 >0$ $\alpha^* = w$

อ้างอิง

เงื่อนไข Fritz John ได้รับการระบุไว้ใน " F. JOHN. ปัญหา Extremum กับความไม่เท่าเทียมเป็นเงื่อนไขด้านใน" การศึกษาและบทความ, Courant Anniversary Volume " (KO Friedrichs, OE Neugebauer และ JJ Stoker, eds.), pp. 187-204 . Wiley (Interscience), New York, 1948 "

และได้รับการสรุปใน

" Mangasarian, OL, & Fromovitz, S. (1967). Fritz John เงื่อนไขการมองโลกในแง่ดีที่จำเป็นในการปรากฏตัวของข้อ จำกัด ความเสมอภาคและความไม่เท่าเทียมกันวารสารการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และการประยุกต์ 17, 1, 37-47

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา